“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”的案例分析

摘? 要：涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”是一個(gè)完整的邏輯體系，其基本原理是“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”原理. 結(jié)合該原理，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一些常見的案例進(jìn)行分析探討.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);教學(xué)原理;實(shí)踐路徑

一、引言

數(shù)學(xué)是一門非常特殊的學(xué)科，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是形式化但具有抽象性的思想材料，人們能看見的只是它的形式化符號(hào)，但符號(hào)本身并不是數(shù)學(xué)材料，隱藏在符號(hào)背后的思想才是真正的數(shù)學(xué)，而這種思想本身就是抽象性的. 基于思想材料的抽象性，對(duì)其主要進(jìn)行“思想實(shí)驗(yàn)”和“思想活動(dòng)”. 數(shù)學(xué)的這種特點(diǎn)，使得數(shù)學(xué)教學(xué)本身具有區(qū)別于其他學(xué)科教學(xué)的特殊性，也使得數(shù)學(xué)教學(xué)存在著獨(dú)特的教學(xué)設(shè)計(jì)原理.

涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”是一個(gè)完整的邏輯體系，其核心是“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”原理. 基于此原理，對(duì)其他幾個(gè)原理進(jìn)行分析挖掘，提出幾點(diǎn)疑問(wèn)：如何教學(xué)生學(xué)會(huì)思考？問(wèn)題從哪里來(lái)？提出怎樣的問(wèn)題？問(wèn)題提出后如何解決？教師如何引導(dǎo)？最終如何達(dá)到引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)目的？

下面基于“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一些常見的案例進(jìn)行分析探討.

二、“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”的探討

“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”是一個(gè)完整的邏輯體系，主要包括：“用研究問(wèn)題一般方法”原理、“創(chuàng)設(shè)情境—提出問(wèn)題”原理、“用問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”原理、“從無(wú)到有探究”原理、“用啟發(fā)性提示語(yǔ)引導(dǎo)探究”原理、“反思性教學(xué)”原理、“歸納先導(dǎo)—演繹推進(jìn)”原理. 整體結(jié)構(gòu)如下圖所示.

1. 如何開展數(shù)學(xué)教學(xué)探究——“用研究問(wèn)題一般方法”原理

我們先來(lái)思考一個(gè)問(wèn)題：教學(xué)是教學(xué)生學(xué)什么？是學(xué)知識(shí)還是學(xué)思考？數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，但是學(xué)知識(shí)是學(xué)思考的必經(jīng)之路. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要教學(xué)生通過(guò)學(xué)知識(shí)來(lái)學(xué)思考. 那么，教師教學(xué)生學(xué)什么？從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，教師要教學(xué)生學(xué)提出問(wèn)題、建構(gòu)概念、尋找方法，以及研究問(wèn)題的一般方法. 這些就是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考. 荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種“再創(chuàng)造”的過(guò)程. 這說(shuō)明學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本身就是一種研究活動(dòng). 數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)新知識(shí)從“不知”到“知”的活動(dòng)，本質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種研究活動(dòng)，故研究數(shù)學(xué)教學(xué)必然要運(yùn)用研究問(wèn)題的一般方法. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該盡可能使用研究問(wèn)題的一般方法使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)處于一種研究狀態(tài). 那么，什么是研究問(wèn)題的一般方法呢？數(shù)學(xué)問(wèn)題是特殊的認(rèn)知對(duì)象，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法可以概括為六個(gè)階段的思維模型，即提出問(wèn)題、構(gòu)建概念、尋找方法、提出假設(shè)、驗(yàn)證猜想和語(yǔ)言表述. 可以發(fā)現(xiàn)，所謂研究問(wèn)題的一般方法其實(shí)是一個(gè)探究活動(dòng)的過(guò)程. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該盡可能運(yùn)用研究問(wèn)題的一般方法進(jìn)行教學(xué).

例如，在“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課中，通過(guò)觀察某地氣溫變化這樣的情境提取數(shù)學(xué)信息. 容易發(fā)現(xiàn)氣溫變化的函數(shù)圖象在某個(gè)范圍內(nèi)是“上升”或是“下降”的，這表明了函數(shù)在變化中所存在的一種普遍性質(zhì)，對(duì)其質(zhì)疑、聯(lián)想進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題：如何用數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言來(lái)刻畫這種性質(zhì)？（提出問(wèn)題） 在這個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，建構(gòu)與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論和工具，為解決后續(xù)問(wèn)題做好前期準(zhǔn)備：數(shù)學(xué)上把函數(shù)的這種“上升”或是“下降”的性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性，即“單調(diào)增”和“單調(diào)減”.（建構(gòu)概念）仔細(xì)思考可以發(fā)現(xiàn)，這樣的文字（定性）描述是不夠精確的，因此考慮用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言（定量）描述. 繼續(xù)思考，得到新的問(wèn)題：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言更加精確地描述這種性質(zhì).（尋找方法）在已有的概念、法則、結(jié)論的基礎(chǔ)上尋找合適的方法解決問(wèn)題：初步嘗試圖形化符號(hào)[“↑”]和[“↓”]，發(fā)現(xiàn)仍然會(huì)產(chǎn)生歧義. 于是轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，數(shù)量最不容易產(chǎn)生歧義，從而將圖形化符號(hào)數(shù)字化，提出關(guān)于上述問(wèn)題的一個(gè)解答：對(duì)[?x1，x2∈a，b]，且[x1<x2]，如果有[fx1<][fx2]，那么就稱[fx]在[a，b]上是單調(diào)遞增（提出假設(shè)）. 結(jié)合已有的數(shù)學(xué)概念、法則等，經(jīng)過(guò)一系列分析過(guò)程，通過(guò)舉例（如通過(guò)一些已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)去驗(yàn)證或反駁該解答是否符合要求），最終產(chǎn)生正確結(jié)論（驗(yàn)證猜想）. 驗(yàn)證所提供的解答之后，得到正確的定義，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)論準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái)，即得到上述單調(diào)遞增的定義，單調(diào)遞減的定義可以類似得到（語(yǔ)言表述）.

2. 問(wèn)題從哪里來(lái)——“創(chuàng)設(shè)情境—提出問(wèn)題”原理

在“用研究問(wèn)題一般方法”原理中，我們知道需要先提出問(wèn)題. 那么，問(wèn)題從哪里來(lái)？我們不妨先思考一下：?jiǎn)栴}是為了什么？問(wèn)題服務(wù)于什么？愛因斯坦說(shuō)過(guò)，提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要. 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，也是一切研究的源泉. 沒有問(wèn)題就沒有創(chuàng)造，沒有問(wèn)題人類也就失去了活力，人類的發(fā)展就會(huì)停滯不前. 由此可見，提出問(wèn)題是為了培養(yǎng)一種創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新精神. 創(chuàng)造始于問(wèn)題，創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新精神皆起源于問(wèn)題意識(shí). 教學(xué)中能否促進(jìn)學(xué)生樹立問(wèn)題意識(shí)，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)至關(guān)重要. 著名數(shù)學(xué)教育家蘇霍姆林斯基認(rèn)為，在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該多給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程. 教學(xué)藝術(shù)遵循的最高準(zhǔn)則是學(xué)生自己提出問(wèn)題、“創(chuàng)造”知識(shí). 但是由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，其研究對(duì)象是形式化但具有抽象性的思想材料，完全由學(xué)生自己提出問(wèn)題不具有現(xiàn)實(shí)性. 因此，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平去創(chuàng)設(shè)具有探索性、啟發(fā)性的問(wèn)題情境，給予學(xué)生概念建構(gòu)的機(jī)會(huì). 需要注意的是，情境創(chuàng)設(shè)中所蘊(yùn)含的問(wèn)題要指向本節(jié)課的核心內(nèi)容和數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，從而便于學(xué)生理解并提出問(wèn)題.

函數(shù)單調(diào)性的概念建構(gòu)源自學(xué)生對(duì)圖象進(jìn)行觀察思考、產(chǎn)生疑問(wèn)、提出問(wèn)題，繼而進(jìn)行一系列研究活動(dòng). 那么，如何保證大多數(shù)學(xué)生都能夠通過(guò)觀察思考產(chǎn)生疑問(wèn)？這里就用到了知識(shí)之間的承前啟后關(guān)系. 例如，在“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”這節(jié)課中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)“以舊引新”的情境對(duì)學(xué)生設(shè)問(wèn)：學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，接下來(lái)你們想研究什么？或者你們會(huì)提出什么樣的要解決的問(wèn)題？通過(guò)設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考，引出本節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題——怎樣求任意角的三角函數(shù)，如怎樣求出度數(shù)為[3 735°]的角的三角函數(shù)值. 這樣的引入是十分“自然”的，因?yàn)槿我馊呛瘮?shù)的定義與求任意角三角函數(shù)是緊密相連的兩個(gè)課題. 通過(guò)“以舊引新”的方式創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境十分自然，利用初中階段學(xué)習(xí)的舊知識(shí)“銳角三角函數(shù)”引出新知識(shí)“任意角的三角函數(shù)的定義”，同時(shí)在下一個(gè)階段，通過(guò)舊知識(shí)“任意角的三角函數(shù)的定義”引入求“任意角三角函數(shù)值”這樣的新知識(shí). 由此可以發(fā)現(xiàn)，知識(shí)的新、舊具有相對(duì)性，知識(shí)是新知識(shí)還是舊知識(shí)取決于教學(xué)中具體的學(xué)習(xí)情境. 必須注意的是，引入情境的問(wèn)題應(yīng)該是最有自然聯(lián)系和自然承接的問(wèn)題，即先前知識(shí)與當(dāng)前知識(shí)要有一定的內(nèi)在聯(lián)系，這樣才能用先前知識(shí)作為“承前”材料，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)當(dāng)前知識(shí)的“啟后”情境.

3. 提出怎樣的問(wèn)題——“用問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”原理

提出怎樣的問(wèn)題，這就用到了“用問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”原理. 其中，包括每課問(wèn)題化、問(wèn)題結(jié)構(gòu)化、解題教學(xué)化. 那么，什么是問(wèn)題結(jié)構(gòu)？如何用它推進(jìn)？在“用研究問(wèn)題一般方法”原理中，我們談到了六個(gè)階段的思維模型. 在案例中，可以發(fā)現(xiàn)前面幾個(gè)階段的最后都產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題，且由前一個(gè)問(wèn)題的解決產(chǎn)生新的問(wèn)題，引領(lǐng)著后一個(gè)階段的發(fā)生，這些問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，形成一種思維導(dǎo)向結(jié)構(gòu)，所有問(wèn)題解決后本節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題——單調(diào)性的定義自然得到解決. 由此可見，數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開問(wèn)題，數(shù)學(xué)研究先要提出一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本身就是一種研究活動(dòng)，而這種研究活動(dòng)同樣要先提出一個(gè)問(wèn)題——目標(biāo)問(wèn)題. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中的所有問(wèn)題要形成結(jié)構(gòu)，然后運(yùn)用這樣的問(wèn)題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)，使其能夠促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展. 也就是說(shuō)，每節(jié)課都應(yīng)該先提出一個(gè)目標(biāo)問(wèn)題，并以該目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行邏輯化處理，進(jìn)一步提出一系列子問(wèn)題，最終通過(guò)子問(wèn)題的解決實(shí)現(xiàn)目標(biāo)問(wèn)題的解決.

前面談到要通過(guò)適當(dāng)?shù)那榫骋雭?lái)啟發(fā)學(xué)生自主提出問(wèn)題，進(jìn)而引發(fā)思考. 那么，基于“熟悉的”情境提出問(wèn)題之后，學(xué)生又該如何繼續(xù)完成研究活動(dòng)呢？也就是說(shuō)，教師應(yīng)該如何繼續(xù)推進(jìn)研究進(jìn)程呢？這里就用到了數(shù)學(xué)解題中的程序化思維，即通過(guò)將目標(biāo)問(wèn)題分解為一系列子問(wèn)題，再通過(guò)對(duì)子問(wèn)題的解決階段性地推進(jìn)研究進(jìn)程，最終達(dá)到目標(biāo)問(wèn)題的解決，即最終完成研究活動(dòng). 因此，解題教學(xué)能夠給予中學(xué)教學(xué)一定的啟示. 涂榮豹教授所構(gòu)建的“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”不僅可以用于前面談到的“單調(diào)性”“三角函數(shù)”等概念的教學(xué)中，在一些解題教學(xué)中也同樣適用. 例如，在“用向量法推導(dǎo)余弦定理”這節(jié)課中，通過(guò)“問(wèn)題結(jié)構(gòu)化、解題教學(xué)化”的方式，將余弦定理的概念教學(xué)轉(zhuǎn)化為解題教學(xué). 此時(shí)，新授課就變成新問(wèn)題的解題教學(xué)課，教師就可以基于本節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題（余弦定理是什么）邏輯化處理得到的子問(wèn)題，結(jié)合適當(dāng)?shù)膯l(fā)性提示語(yǔ)“按部就班”地解決子問(wèn)題，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)問(wèn)題的解決. 值得注意的是，由于授課方式的轉(zhuǎn)變，本節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題也隨之發(fā)生了形式上的改變，即目標(biāo)問(wèn)題由“如何用向量法推導(dǎo)余弦定理？”變成了“已知兩邊及其夾角，如何求夾角的對(duì)邊？”這樣一個(gè)問(wèn)題. 此時(shí)，原來(lái)的目標(biāo)問(wèn)題就變成了現(xiàn)階段目標(biāo)問(wèn)題的解題方法. 在這個(gè)過(guò)程中，教師通過(guò)問(wèn)題結(jié)構(gòu)化的方式（為什么學(xué)習(xí)余弦定理？又為什么要用向量來(lái)推導(dǎo)？）來(lái)幫助學(xué)生樹立先理解題意再尋找解題思路（邊角關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系）的意識(shí)，在潛移默化中提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

4. 問(wèn)題提出之后如何解決——“從無(wú)到有探究”原理

問(wèn)題提出之后如何解決，這就用到了“從無(wú)到有探究”原理. 什么是探究？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中原來(lái)沒有的，現(xiàn)在把它變成有，這個(gè)“從無(wú)到有”的過(guò)程就是探究. 在“用研究問(wèn)題一般方法”原理中，我們說(shuō)到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本身就是一種研究活動(dòng)，而教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生在研究活動(dòng)中自己尋找解決問(wèn)題的方法，這個(gè)研究活動(dòng)的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是探究學(xué)習(xí)的過(guò)程. 集合論創(chuàng)立者、德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由. 數(shù)學(xué)探究是一個(gè)思維活動(dòng)的過(guò)程，而活動(dòng)的本質(zhì)是要“動(dòng)”，這里的“動(dòng)”是指思維要?jiǎng)? 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是思想材料，對(duì)思想材料主要進(jìn)行“思想實(shí)驗(yàn)”和“思想活動(dòng)”，而“思想實(shí)驗(yàn)”實(shí)質(zhì)上是人在大腦里用各種思維方式、方法對(duì)思想材料進(jìn)行思維加工的心理活動(dòng)，這種心理活動(dòng)即為思考. 這里我們要注意的是，沒有經(jīng)過(guò)個(gè)人的探索和深入思考，一目了然的，不叫探究. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和啟發(fā)，但是主要還是由學(xué)生自己來(lái)探究.

例如，在“創(chuàng)設(shè)情境—提出問(wèn)題”原理中，談到了“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題——函數(shù)的單調(diào)性的定義是如何引入的？這個(gè)概念本來(lái)是沒有的，教學(xué)中經(jīng)過(guò)教師適當(dāng)啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)的“不變屬性”是什么，再通過(guò)觀察幾組函數(shù)圖象初步發(fā)現(xiàn)函數(shù)的“不變屬性”. 這個(gè)過(guò)程就是從“無(wú)”到“有”的過(guò)程，探究性也有體現(xiàn)，教師并非直接告訴學(xué)生函數(shù)的單調(diào)性是什么，而是引導(dǎo)學(xué)生自己探究思考. 這是目標(biāo)問(wèn)題的“從無(wú)到有”，在一些子問(wèn)題中亦可如此. 解決“如何精準(zhǔn)地描述函數(shù)單調(diào)性的定義？”這樣一個(gè)問(wèn)題，一開始的解決方法是“無(wú)”，經(jīng)過(guò)探究后，發(fā)現(xiàn)文字語(yǔ)言不夠精準(zhǔn)，圖形化符號(hào)“[↑]”“[↓]”也會(huì)產(chǎn)生歧義，最后選擇用更為精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述，即解決問(wèn)題的方法“有”了. 這是解決方法的“從無(wú)到有”. 子問(wèn)題的產(chǎn)生也是一種“從無(wú)到有”，在產(chǎn)生子問(wèn)題時(shí)，教師建立適當(dāng)?shù)那榫?，學(xué)生基于所展現(xiàn)的情境思考并產(chǎn)生疑問(wèn)，繼而提出問(wèn)題，這里則體現(xiàn)了問(wèn)題的“從無(wú)到有”. 子問(wèn)題的進(jìn)一步解決，最終引出目標(biāo)問(wèn)題的“從無(wú)到有”.

5. 教師如何引導(dǎo)教學(xué)——“用啟發(fā)性提示語(yǔ)引導(dǎo)探究”原理

基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)完全由學(xué)生獨(dú)立探究基本上是不可能的. 數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以看作一個(gè)師生共同合作的探究過(guò)程，自然離不開教師的引導(dǎo). 因此，教師如何引導(dǎo)就是一個(gè)新的問(wèn)題了. 教師既不能任由學(xué)生自主探究，也不能讓學(xué)生“假探究”，此時(shí)可以采取“用啟發(fā)性提示語(yǔ)引導(dǎo)探究”原理. 那么，啟發(fā)性教學(xué)是什么？啟發(fā)性提示語(yǔ)又是什么？啟發(fā)性教學(xué)是指教師由近及遠(yuǎn)、由易到難地設(shè)計(jì)啟發(fā)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究. 啟發(fā)性提示語(yǔ)是一種遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律、富有啟迪學(xué)生思維的語(yǔ)言方式. 在教學(xué)中，教師通過(guò)啟發(fā)性提示語(yǔ)引發(fā)認(rèn)知沖突，從而引起學(xué)生的探究興趣，形成有意義學(xué)習(xí)的動(dòng)力，驅(qū)使思維活動(dòng)得以發(fā)生、發(fā)展，以此進(jìn)行深層思維. 奧地利著名科學(xué)方法論學(xué)者鮑波爾認(rèn)為正是問(wèn)題激發(fā)我們?nèi)W(xué)習(xí)，去實(shí)踐，去觀察. 可見，教師要經(jīng)常使用啟發(fā)性提示語(yǔ)進(jìn)行教學(xué)，從而促進(jìn)學(xué)生思考. 這里要注意的是，根據(jù)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，每位學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)和思維水平不同，甚至有較大差異，教師在教學(xué)中應(yīng)該設(shè)計(jì)不同層級(jí)的啟發(fā)性提示語(yǔ).

由前面的教學(xué)案例的探討可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是一種特殊的研究活動(dòng)，而推進(jìn)研究活動(dòng)進(jìn)程所使用的方式是問(wèn)題的產(chǎn)生與解決. 學(xué)生已有的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)材料的特殊性決定了數(shù)學(xué)探究的主要方式是引導(dǎo)式探究.“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題的引入并不是由學(xué)生完全自主探究出來(lái)的，而是通過(guò)詢問(wèn)學(xué)生“接下來(lái)想繼續(xù)研究什么？”引發(fā)學(xué)生思考，繼而教師給出提示“在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示其本質(zhì)特征”，最終讓學(xué)生提出本節(jié)課的目標(biāo)問(wèn)題. 這里應(yīng)該注意，教師若只是詢問(wèn)學(xué)生“接下來(lái)想要研究什么”這樣的提示語(yǔ)，是無(wú)效的. 學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平很難思考“建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義”是什么，教師進(jìn)一步的提示語(yǔ)不可或缺. 例如，在提出假設(shè)的過(guò)程中，并不是所有學(xué)生都能快速?gòu)膱D象的上升趨勢(shì)過(guò)渡到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的描述. 在教學(xué)中，教師可以考慮設(shè)計(jì)不同層級(jí)的啟發(fā)性提示語(yǔ)，盡量兼顧到不同水平的學(xué)生，使每位學(xué)生在自己現(xiàn)有的水平上獲得發(fā)展. 這里需要強(qiáng)調(diào)的是，只設(shè)計(jì)了不同層級(jí)的提示語(yǔ)是不夠的，受時(shí)間、地點(diǎn)等一系列客觀因素的影響，在數(shù)學(xué)教學(xué)中兼顧所有水平層次的學(xué)生是不具備現(xiàn)實(shí)性的. 如何使用不同層級(jí)的啟發(fā)性提示語(yǔ)顯得十分關(guān)鍵. 可以采用“由遠(yuǎn)及近，分級(jí)提問(wèn)”的形式，即要求只問(wèn)不答，或先弱后強(qiáng). 先問(wèn)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，引發(fā)思考，不需要回答，可以讓學(xué)困生和中等生通過(guò)思考使現(xiàn)有水平得到發(fā)展. 繼續(xù)提問(wèn)較難的問(wèn)題，依次遞進(jìn)，使得優(yōu)等生在其現(xiàn)有水平上也有所發(fā)展. 最終使每位學(xué)生都能在自己現(xiàn)有的水平上獲得發(fā)展.

6. 如何引發(fā)學(xué)生思考——“反思性教學(xué)”原理

數(shù)學(xué)是一門特殊的學(xué)科，數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性、數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特殊性決定了正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次性地直接把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，必須經(jīng)過(guò)反復(fù)思考、深入研究、自我調(diào)節(jié)，即自我反思性學(xué)習(xí). 那么，什么是反思性學(xué)習(xí)呢？反思性教學(xué)又是什么？反思性學(xué)習(xí)是針對(duì)操作性學(xué)習(xí)而言的，兩者的區(qū)別在于后者以學(xué)會(huì)知識(shí)為目的，關(guān)注的是學(xué)習(xí)的直接結(jié)果，這是被動(dòng)的、消極的. 我國(guó)著名教育家孔子說(shuō)過(guò)，學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆. 在“用研究問(wèn)題一般方法”原理中，我們也談到數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，但學(xué)知識(shí)是學(xué)會(huì)思考的必經(jīng)之路. 我們不能停留在“半路”，而應(yīng)該注重反思性教學(xué)，才能到達(dá)“終點(diǎn)”——教學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)，要通過(guò)教師的反思性教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn). 一堂課上，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究中所涉及的知識(shí)、有聯(lián)系的問(wèn)題、所涉及的思想方法等進(jìn)行反思，其本質(zhì)就是讓學(xué)生對(duì)自己的思考過(guò)程進(jìn)行反思. 例如，對(duì)“通過(guò)幾種函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)得到函數(shù)單調(diào)性描述”進(jìn)行反思，自己為什么想到根據(jù)圖象的變化就歸納出了函數(shù)的單調(diào)性，反思得到的函數(shù)是否還有其他性質(zhì)、是否也可以根據(jù)圖象來(lái)得出諸如此類的問(wèn)題. 可以發(fā)現(xiàn)，在反思過(guò)程中，學(xué)生會(huì)自然去回顧之前所經(jīng)歷的思路過(guò)程. 在回顧中，甚至可能收獲“意外之喜”——根據(jù)函數(shù)圖象得出函數(shù)的其他性質(zhì)（奇偶性、對(duì)稱性、周期性），有助于學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì).

7. 如何引發(fā)學(xué)生思考——“歸納先導(dǎo)—演繹推進(jìn)”原理

數(shù)學(xué)不僅是演繹的科學(xué)，也是歸納的科學(xué)，是集抽象性、邏輯性、嚴(yán)密性、精確性、想象力、創(chuàng)造力于一身的科學(xué). 鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)的特殊性，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該先運(yùn)用歸納先導(dǎo)的方法讓學(xué)生自主探究以發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想，然后再通過(guò)演繹跟進(jìn)的方法進(jìn)行推理證明. 在“用研究問(wèn)題一般方法”原理中，我們知道，數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是師生進(jìn)行研究活動(dòng)的過(guò)程，對(duì)于大多數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)來(lái)說(shuō)，先猜想再證明或者先探索再論證是符合數(shù)學(xué)活動(dòng)規(guī)律的. 法國(guó)哲學(xué)家、教育家盧梭認(rèn)為問(wèn)題的目的不是告訴他一個(gè)真理，而在于教他怎么去發(fā)現(xiàn)真理. 數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)是教材——將數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的知識(shí)以一種邏輯加工的數(shù)學(xué)形式，通過(guò)必要的訂正、改進(jìn)、修飾和組合等，以盡可能完美的形式公之于眾，呈現(xiàn)為“概念—定理—例題—習(xí)題”組成的純數(shù)學(xué)系統(tǒng). 而數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)知識(shí)過(guò)程中的基本概念和思想方法的產(chǎn)生、形成、發(fā)展直至完善所應(yīng)有的痕跡已然丟失. 這給人一種假象，數(shù)學(xué)似乎只是一種毫無(wú)瑕疵的規(guī)則系統(tǒng)，而忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而淹沒了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、應(yīng)用的真實(shí)思維過(guò)程. 把數(shù)學(xué)教學(xué)組成一個(gè)完全演繹的過(guò)程，舍棄數(shù)學(xué)發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的探索過(guò)程是不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的.

在“用研究問(wèn)題一般方法”原理中，我們談到研究問(wèn)題的一般方法可以概括為六個(gè)階段，第一個(gè)階段就是提出猜想. 例如，在前面多次提到的“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課中，第一步就是讓學(xué)生觀察某地氣溫變化之類的情境并提取數(shù)學(xué)信息，進(jìn)行質(zhì)疑聯(lián)想，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并提出猜想，這個(gè)提出猜想的過(guò)程就是基于對(duì)多組函數(shù)圖象進(jìn)行觀察、歸納得出其共同屬性（即“變”中的“不變”），然后通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明的過(guò)程. 又如，在提出假設(shè)的過(guò)程中，先基于已有的數(shù)學(xué)概念、法則對(duì)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行猜想，然后通過(guò)一系列分析進(jìn)行檢驗(yàn)（如通過(guò)一些已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)去驗(yàn)證或反駁猜想，最終產(chǎn)生正確結(jié)論），從而驗(yàn)證猜想. 這里的一系列分析過(guò)程即為演繹過(guò)程.

三、結(jié)束語(yǔ)

涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理”是一個(gè)完整的邏輯體系. 可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)原理之間并不是完全獨(dú)立的，而是一個(gè)有機(jī)的整體. 這與數(shù)學(xué)學(xué)科本身有著密切的關(guān)系. 數(shù)學(xué)研究“量”與“形”，這么說(shuō)難以感受數(shù)學(xué)的重要性，也很難聯(lián)想到數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的核心. 大家可以思考一下，有什么東西沒有“量”與“形”的屬性呢？換句話說(shuō)，“量”與“形”是物質(zhì)與事物的基本屬性，不管是什么東西，它的這兩個(gè)屬性是擺脫不掉的. 數(shù)學(xué)研究的就是這些基本屬性，這決定了數(shù)學(xué)的價(jià)值，也使我們明白數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)而重要的，因而說(shuō)數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的核心也就不足為奇了. 這也決定了數(shù)學(xué)教學(xué)與其他學(xué)科的教學(xué)有著本質(zhì)的不同：數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是形式化但具有抽象性的思想材料，對(duì)思想材料主要是進(jìn)行“思想實(shí)驗(yàn)”和“思想活動(dòng)”，而“思想實(shí)驗(yàn)”實(shí)質(zhì)上是人在大腦里用各種思維方式、方法對(duì)思想材料進(jìn)行思維加工的心理活動(dòng). 可見，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行的思維活動(dòng). 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，并提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行批評(píng)、反思，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)概念. 同時(shí)，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，從而有效達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的構(gòu)建.

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