王宏偉

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)稱，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別. 對(duì)于學(xué)生來說，感知、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法也是非常重要的. 在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值時(shí)，通常要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的魅力. 具體的教學(xué)策略是：在數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)反思的過程中明晰數(shù)學(xué)思想方法.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想方法;分類討論;數(shù)形結(jié)合

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一個(gè)基本的思路就是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)稱，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別. 一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)的根本，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過程中. 數(shù)學(xué)思想往往具有明顯的主觀特征，是數(shù)學(xué)研究者對(duì)數(shù)學(xué)及學(xué)科研究的本質(zhì)認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的外在體現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)思想的具體化，數(shù)學(xué)方法往往具有顯著的操作性特征. 如果說數(shù)學(xué)思想內(nèi)在于數(shù)學(xué)研究者、學(xué)習(xí)者個(gè)體，那么數(shù)學(xué)方法就是外在于數(shù)學(xué)研究者、學(xué)習(xí)者個(gè)體的操作. 正是因?yàn)閿?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法有如此緊密的關(guān)系，使得人們?cè)谟懻摂?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法時(shí)，都以數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)稱相關(guān)方面的內(nèi)容. 對(duì)于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，是超越知識(shí)理解的需要，也是理解數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)而走向核心素養(yǎng)的需要.

在課程改革中，數(shù)學(xué)思想方法更多被三維目標(biāo)所描述，也就是“知識(shí)與技能”“過程與方法”“情感態(tài)度與價(jià)值觀”. 當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)立足學(xué)生核心素養(yǎng)的培育，而核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一就是關(guān)鍵能力. 一種能力要想真正成為關(guān)鍵能力，其必然涉及具體的學(xué)科思想方法. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的建立與培養(yǎng)，本質(zhì)上也就是關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，從而也就可以理解為核心素養(yǎng)的培育.

本文章以高中人教A版函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法中的兩個(gè)重要內(nèi)容，即分類討論與數(shù)形結(jié)合.

[?] 高中學(xué)段數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和建立

數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，對(duì)于教學(xué)方向的確定是非常重要的;同時(shí)數(shù)學(xué)教師還要認(rèn)識(shí)到，對(duì)于學(xué)生來說，感知、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法也是非常重要的. 從某種程度上來講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟與運(yùn)用，正是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模等六個(gè)要素的落地，本質(zhì)上與數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是同步的.

以分類討論和數(shù)形結(jié)合為例. 眾所周知，分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想方法，通常情況下，當(dāng)研究的對(duì)象不宜用統(tǒng)一的形式和理論去解釋規(guī)律、給出方法時(shí)，就需要進(jìn)行分類討論. 而數(shù)形結(jié)合則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中新的建構(gòu)知識(shí)和解決問題的一個(gè)重要手段，是根據(jù)數(shù)量與圖形的關(guān)系，認(rèn)識(shí)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征、尋找解決問題的方法的一種數(shù)學(xué)思想. 很多情況下，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究問題，更有助于學(xué)生看清問題的本質(zhì).

在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值時(shí)，通常要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)過程中領(lǐng)悟這些數(shù)學(xué)思想方法的魅力. “函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最基本、最重要的概念，在函數(shù)概念的教學(xué)中，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想通常體現(xiàn)在函數(shù)概念的建立、函數(shù)性質(zhì)的建構(gòu)過程中. 例如，在“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖形的角度認(rèn)識(shí)不同函數(shù)圖像的對(duì)稱特點(diǎn)，而這是可以從軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的角度進(jìn)行分類討論的，于是在這樣的過程中，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想就能夠得以體現(xiàn).

總體而言，包括分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)來進(jìn)行，只有讓數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來，并采取一定的教學(xué)策略，學(xué)生才能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想方法的真實(shí)內(nèi)涵.

[?] 高中學(xué)段數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)實(shí)踐

那么在具體的實(shí)踐中，數(shù)學(xué)思想方法的具體教學(xué)策略應(yīng)當(dāng)是怎樣的呢？考慮到數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)具體方法一般化、程序化和模式化的加工過程，考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法需要經(jīng)歷模仿體驗(yàn)、明朗化、運(yùn)用鞏固和聯(lián)系發(fā)展四個(gè)基本階段，因此在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本策略是：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透;在反思總結(jié)中概括;在運(yùn)用訓(xùn)練中鞏固;在相互聯(lián)系中發(fā)展. 基于這樣的思路，筆者以為具體的教學(xué)策略可以是：在數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)反思的過程中明晰數(shù)學(xué)思想方法.

同樣以函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)為例，在探究函數(shù)的奇偶性時(shí)，本著數(shù)形結(jié)合的思路，先讓學(xué)生回顧軸對(duì)稱與中心對(duì)稱兩種情形，具體可以結(jié)合PPT的運(yùn)用，展示圖形讓學(xué)生判斷，從而調(diào)用學(xué)生大腦中已有的表象. 待到學(xué)生對(duì)這個(gè)表象清晰后，再向?qū)W生呈現(xiàn)不同函數(shù)的圖像，如圖1、圖2所示.

學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來函數(shù)的圖像也有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱之分;而且通過進(jìn)一步探究會(huì)發(fā)現(xiàn)，軸對(duì)稱的函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)異于中心對(duì)稱的函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì). 這樣的比較與發(fā)現(xiàn)，能夠極大地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的興趣，當(dāng)最終探究的結(jié)果是能夠用f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）來描述時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解會(huì)非常深刻，用一些學(xué)生的話說，就是“一開始以為十分復(fù)雜的規(guī)律，原來可以用這么簡單的式子來描述，數(shù)學(xué)真是太有魅力了”. 筆者以為這樣的評(píng)價(jià)，一方面說明學(xué)生領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)的魅力，另一方面也說明數(shù)學(xué)思想方法的滲透是有效的.

其后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思. 重點(diǎn)是反思函數(shù)的奇偶性是怎樣得到的，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)最終得到的函數(shù)的奇偶性屬于“數(shù)”的范疇，但最初切入時(shí)卻是函數(shù)的圖像，這屬于“形”的范疇. 這時(shí)告訴學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生就會(huì)有比較深刻的領(lǐng)悟;同時(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到正是基于軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的分類討論，才分別得出了奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念，這也正是分類討論的結(jié)果.

通過上述兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的實(shí)施，學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的理解會(huì)有兩個(gè)層面：一從知識(shí)層面的角度來看，奇偶性這個(gè)概念以及相應(yīng)的函數(shù)圖像在學(xué)生大腦中的匹配. 這種匹配關(guān)系的形成是很不容易的，其必然對(duì)應(yīng)著一個(gè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)過程. 二從思想方法的角度來看，這樣一個(gè)知識(shí)的習(xí)得過程是一個(gè)有多種數(shù)學(xué)思想方法支撐的過程，無論是數(shù)形結(jié)合思想的滲透，還是分析歸納方法的運(yùn)用，本質(zhì)上都是數(shù)學(xué)思想方法的重要體現(xiàn). 盡管這里是從兩個(gè)層面來分析的，但是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，知識(shí)的建構(gòu)與數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用卻是重合的. 當(dāng)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)時(shí)，能夠充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，能夠靈活結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行，那就說明思想方法的培養(yǎng)是成功的.

[?] 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解是核心

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，從學(xué)生的角度出發(fā)，可以肯定的一個(gè)觀點(diǎn)是：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，即在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，獲得、領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法. 從上述教學(xué)案例的分析中可以發(fā)現(xiàn)，利用新知教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，然后在學(xué)習(xí)反思的過程中將數(shù)學(xué)思想方法明晰化的策略，是非常有效的.

之所以說這個(gè)策略有效，關(guān)鍵在于其能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，只有學(xué)生理解了數(shù)學(xué)思想方法，那么這樣的教學(xué)才是有效的. 實(shí)際上，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)過程中最重要的兩個(gè)基本思想，學(xué)生在此前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有所涉獵，但真正形成顯性的認(rèn)識(shí)，還是要在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，尤其是學(xué)生先經(jīng)過一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用與領(lǐng)悟過程. 在成功得出數(shù)學(xué)結(jié)論或者解決了數(shù)學(xué)問題之后，再告知他們是這些數(shù)學(xué)思想方法發(fā)揮了重要的作用. 經(jīng)歷這樣的過程，學(xué)生可以切實(shí)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，那么在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)生就能夠有意識(shí)地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，而這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在分析教材時(shí)，就要重點(diǎn)分析數(shù)學(xué)思想方法存在于哪些知識(shí)產(chǎn)生的環(huán)節(jié)，而基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)尋找相應(yīng)的策略，則是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的關(guān)鍵.