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摘要：《全等三角形》一課，內(nèi)容包括全等三角形的概念和性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單。教學(xué)中，要把簡(jiǎn)單的內(nèi)容“教活”“教深”，就要基于知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展、知識(shí)之間的聯(lián)系，突出過(guò)程性，強(qiáng)調(diào)探究性。具體地，從生活到數(shù)學(xué)、從一般（圖形）到特殊（三角形）、從整體（概念）到局部（性質(zhì)）、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，設(shè)計(jì)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中充分探究。

關(guān)鍵詞：《全等三角形》;學(xué)習(xí)活動(dòng);“做數(shù)學(xué)”;過(guò)程性;探究性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系、與學(xué)生學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，抽象概括，運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷?！雹谥腥A人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：45，46。由此，學(xué)生也能充分感悟“蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中”②的數(shù)學(xué)思想（研究“套路”）。

蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第1章第2節(jié)《全等三角形》一課內(nèi)容包括全等三角形的概念和性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單。教學(xué)中，為了幫助學(xué)生真正理解這部分知識(shí)，要把簡(jiǎn)單的內(nèi)容“教活”“教深”，就要基于知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展、知識(shí)之間的聯(lián)系，突出過(guò)程性，強(qiáng)調(diào)探究性：不是簡(jiǎn)單告訴學(xué)生抽象的定義和結(jié)論，并讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，而是從生活到數(shù)學(xué)、從一般（圖形）到特殊（三角形）、從整體（概念）到局部（性質(zhì)）、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，設(shè)計(jì)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中充分探究。

下面，呈現(xiàn)筆者執(zhí)教這節(jié)課的具體過(guò)程與說(shuō)明，以及進(jìn)一步的反思。

一、教學(xué)過(guò)程

（一）從生活到數(shù)學(xué)，復(fù)習(xí)全等圖形的概念

師（多媒體展示圖1—圖3）觀察這些圖片，你能看出形狀、大小完全一樣的圖形嗎？

（學(xué)生舉手發(fā)言，相互補(bǔ)充。）

師生活中存在許多形狀、大小完全一樣的圖形。它們能夠完全重合，因此，是全等圖形。同學(xué)們能再舉出生活中一些類(lèi)似的例子嗎？

（學(xué)生舉例，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)定義判斷所舉的例子是不是全等圖形。）

師全等圖形美不美？

生（齊）美。

[說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從生活到數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程，復(fù)習(xí)前一節(jié)課所學(xué)的全等圖形概念，為本節(jié)課全等三角形的學(xué)習(xí)做好鋪墊。]

（二）從特殊到一般，生成全等三角形的定義

師全等的圖形舉不勝舉。這節(jié)課讓我們聚焦最簡(jiǎn)單、最基本的圖形之一——三角形。請(qǐng)同學(xué)們用復(fù)寫(xiě)紙畫(huà)出兩個(gè)三角形，并用剪刀剪下其中一個(gè)三角形，然后觀察比較這兩個(gè)三角形。

（學(xué)生動(dòng)手操作，觀察比較。）

師請(qǐng)用語(yǔ)言歸納這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系。

生它們大小相同，形狀一樣。

師為什么？你能驗(yàn)證說(shuō)明嗎？

生（把兩個(gè)三角形疊放在一起）因?yàn)樗鼈兡軌蛑睾稀?/p>

師僅是重合嗎？再操作看看，用一個(gè)更貼切的詞描述。

生（齊）是完全重合。

師同學(xué)們太棒了！確實(shí)，這兩個(gè)三角形是完全重合。類(lèi)似于全等圖形的定義，在數(shù)學(xué)中，我們把兩個(gè)能完全重合的三角形叫作全等三角形，并用符號(hào)“≌”表示全等。（出示圖4）將同學(xué)們畫(huà)出的兩個(gè)三角形分別記作△ABC與△DEF，那么，它們是全等三角形就記作“△ABC≌△DEF”，讀作“△ABC全等于△DEF”。

生老師，能給我們講講符號(hào)“≌”的含義嗎？

師好的?！啊铡笔侨确?hào)，“∽”表示形狀相同，“=”表示大小相等。

[說(shuō)明：從一般的圖形到特殊的三角形，沒(méi)有讓學(xué)生直接抽象地得出全等的定義，而是跳過(guò)生活情境，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在畫(huà)、剪、觀察比較、操作比較中，感知全等三角形的形狀、大小關(guān)系，歸納全等三角形的定義。在充分的體驗(yàn)與思考中，學(xué)生能夠更好地認(rèn)識(shí)全等三角形。]

（三）從整體到局部，明確全等三角形的性質(zhì)

師剛才，我們從整體上認(rèn)識(shí)了全等的兩個(gè)三角形的關(guān)系?，F(xiàn)在，同學(xué)們?cè)偌?xì)心觀察一下，全等的△ABC與△DEF，各個(gè)元素有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？

（學(xué)生動(dòng)手操作，觀察比較。）

生△ABC與△DEF重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F也分別重合。

生邊AB與DE、邊BC與EF、邊AC與DF分別重合。

生∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F分別重合。

師確實(shí)，兩個(gè)全等的三角形重合時(shí)，各個(gè)元素也對(duì)應(yīng)重合。我們把對(duì)應(yīng)重合的頂點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn);對(duì)應(yīng)重合的邊稱(chēng)為對(duì)應(yīng)邊;對(duì)應(yīng)重合的角稱(chēng)為對(duì)應(yīng)角。在這些元素中，頂點(diǎn)最基本——三角形由三個(gè)頂點(diǎn)的位置決定。為了清晰、準(zhǔn)確地表示頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)重合，你認(rèn)為用符號(hào)書(shū)寫(xiě)全等三角形的關(guān)系時(shí)，應(yīng)該注意什么？

生將頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)地寫(xiě)。如，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F分別重合，所以寫(xiě)△ABC≌△DEF。

生不能交錯(cuò)。如，不能寫(xiě)成△ABC≌△EFD。

師是的，必須把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。這樣，能直接看出誰(shuí)和誰(shuí)對(duì)應(yīng)重合。而且，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的。實(shí)際上，同學(xué)們應(yīng)該能感覺(jué)到，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)重合決定了邊和角的對(duì)應(yīng)重合。但是不同于頂點(diǎn)，邊和角有大小。由此，邊和角的對(duì)應(yīng)重合還說(shuō)明了什么？

生說(shuō)明了邊和角對(duì)應(yīng)相等。

師很好！這就是全等三角形的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們用規(guī)范的幾何語(yǔ)言表達(dá)由全等的△ABC與△DEF可以得到什么。

（學(xué)生自由表達(dá)。教師規(guī)范板書(shū)，如圖5所示。）

∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）;

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。

[說(shuō)明：從整體的三角形到局部的元素，引導(dǎo)學(xué)生再次操作比較，觀察發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)、邊、角對(duì)應(yīng)重合，從而得出“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上”的書(shū)寫(xiě)規(guī)范以及“對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等”的性質(zhì)。在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和語(yǔ)言表達(dá)能力的同時(shí)，深化學(xué)生對(duì)全等三角形的認(rèn)識(shí)。]

（四）從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)， 強(qiáng)化全等三角形的本質(zhì)

師請(qǐng)同學(xué)們將之前剪下來(lái)的三角形與未剪下的三角形疊合在一起，然后分別將剪下來(lái)的三角形沿未剪下的三角形的一邊所在直線平移一定的距離、翻折，以及繞未剪下的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形還全等嗎？

（學(xué)生動(dòng)手操作，觀察比較。）

生都是全等的。

師為什么？

生圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變了，但形狀、大小不變。

師哦！同學(xué)們用到了之前學(xué)過(guò)的圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。如果要用全等三角形的定義來(lái)解釋呢？

生運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形能完全重合。

師好的。那我們就來(lái)說(shuō)一說(shuō)怎樣讓它們重合。（出示圖6—圖8）這三張圖給出的是運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形。對(duì)于第一張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DEF重合？

生（齊）平移。

師對(duì)于第二張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DBC重合？

生（齊）翻折。

師對(duì)于第三張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DEC重合？

生（齊）旋轉(zhuǎn)。

師非常好！同學(xué)們能說(shuō)出運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角嗎？

（學(xué)生逐一齊答。）

師由此可見(jiàn)，全等三角形與位置有關(guān)嗎？

生無(wú)關(guān)。

師那與什么有關(guān)？

生與形狀、大小有關(guān)。

師對(duì)，這決定了它們能不能完全重合。通過(guò)這兩個(gè)活動(dòng)，同學(xué)們應(yīng)該能感受到全等三角形變中不變的本質(zhì)特征以及圖形的運(yùn)動(dòng)與圖形的性質(zhì)之間的關(guān)系。

[說(shuō)明：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，聯(lián)系圖形的運(yùn)動(dòng)，讓三角形動(dòng)起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：三角形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變了，但形狀、大小不變;而通過(guò)同種類(lèi)型的反方向運(yùn)動(dòng)，三角形可以回到之前的狀態(tài)（與之前的三角形完全重合）。由此，學(xué)生能夠強(qiáng)化對(duì)全等三角形本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全等的三角形也可以看成一個(gè)三角形在某種運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的兩個(gè)狀態(tài)。進(jìn)而，學(xué)生能夠提升動(dòng)靜結(jié)合的辯證思維，學(xué)會(huì)從圖形運(yùn)動(dòng)的角度認(rèn)識(shí)圖形的關(guān)系。]

（五）從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，提升對(duì)全等三角形的認(rèn)識(shí)

師接下來(lái)，我們看一看全等三角形能幫助我們解決什么問(wèn)題？

（教師出示習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生逐一分析、解答。）

1.如圖9，若△OCA≌△OBD，你能找出兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)相等的量嗎？這兩個(gè)三角形通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)可以重合？

2.如圖10，已知△ABN≌△ACM，若BM=10 cm，則CN的長(zhǎng)為;若∠B=40°，則∠C的度數(shù)是;若∠B=40°，∠MAC=80°，則∠ANB的度數(shù)是。

3.如圖11，已知△EFG≌△NMH，EG和NH共線。

（1）FG與MH平行嗎？為什么？

（2）EH與NG的大小關(guān)系是什么？說(shuō)明理由。

[說(shuō)明：從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，通過(guò)一組練習(xí)，讓學(xué)生初步應(yīng)用全等三角形的概念和性質(zhì)解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、邊、角（基本圖形或基本元素）是關(guān)鍵。多樣的練習(xí)通過(guò)變化全等三角形的位置情況，豐富了全等三角形的外延，進(jìn)一步提升了學(xué)生對(duì)全等三角形內(nèi)涵和價(jià)值的認(rèn)識(shí)。第1題融入了圖形的運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力。第2題、第3題綜合了等式的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、平行線的判定等知識(shí)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算能力。]

（六）課堂小結(jié)，梳理知識(shí)與方法

教師通過(guò)如圖12所示的思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的過(guò)程與結(jié)果，梳理相應(yīng)的知識(shí)與方法，形成系統(tǒng)、整體的認(rèn)知以及良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)全等三角形知識(shí)以及對(duì)學(xué)習(xí)（研究）路徑和方法（“套路”）的認(rèn)識(shí)。

二、教學(xué)反思

（一）正確理解三維目標(biāo)，突出過(guò)程性

教學(xué)的三維目標(biāo)指的是“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感態(tài)度與價(jià)值觀”三個(gè)維度的目標(biāo)。對(duì)此，可以這樣理解：第一個(gè)維度關(guān)注的是學(xué)習(xí)結(jié)果，第二個(gè)維度關(guān)注的是學(xué)習(xí)過(guò)程;前兩個(gè)維度關(guān)注的是智力因素，第三個(gè)維度關(guān)注的是非智力因素。分析三者關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：過(guò)程是結(jié)果的基礎(chǔ)，有了好的過(guò)程，才有好的結(jié)果;非智力因素以智力因素為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教育主體是智育，非智育是附加于智育上或融合于智育中的增值。所以，三維目標(biāo)應(yīng)以第二個(gè)維度為中心，交融互進(jìn)、相互統(tǒng)一，最終指向人的發(fā)展。所以，本節(jié)課的教學(xué)，筆者突出了全等三角形概念和性質(zhì)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，讓學(xué)生從過(guò)程中掌握知識(shí)，領(lǐng)悟方法，培養(yǎng)積極情感。

（二）充分設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)探究性

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要充分設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程。學(xué)習(xí)活動(dòng)要具有探究性，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、多感官協(xié)調(diào)，自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)，獲得深度理解。本節(jié)課的教學(xué)，盡管知識(shí)不多，也不太難，但是筆者基于知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，充分設(shè)計(jì)了從生活具體到數(shù)學(xué)抽象、從一般觀察到特殊操作、從整體定形到局部定量、從靜態(tài)感受到動(dòng)態(tài)體驗(yàn)、從情境發(fā)現(xiàn)到變式應(yīng)用等一系列探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生歸納、演繹，發(fā)現(xiàn)知識(shí)、解決問(wèn)題、厘清困惑、提升思維。