重視核心概念生成 關(guān)注抽象素養(yǎng)培養(yǎng)

【摘 要】 “隨機(jī)事件和樣本空間”兼具知識(shí)預(yù)備與單元導(dǎo)引的雙重價(jià)值.依據(jù)大概念教學(xué)理論，從內(nèi)容本質(zhì)與常見(jiàn)問(wèn)題分析入手，圍繞“如何獲得研究對(duì)象”這一核心任務(wù)，進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在具體情境中體會(huì)“隨機(jī)性”，利用集合語(yǔ)言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，抽象獲得核心概念，并開(kāi)展類比、聯(lián)想研究事件關(guān)系，為概率單元的學(xué)習(xí)與隨機(jī)思想的形成奠定基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】 核心概念;樣本空間;隨機(jī)事件;數(shù)學(xué)抽象

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為人們提供了從不確定角度認(rèn)識(shí)客觀世界的思維模式和解決問(wèn)題的方法.隨著課程改革的深入推進(jìn)，概率早已成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象能力，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的育人任務(wù).

“隨機(jī)事件和樣本空間”作為概率單元起始課，兼具知識(shí)預(yù)備與單元導(dǎo)引的雙重價(jià)值.一方面，本課時(shí)的首要任務(wù)是使得學(xué)生獲得研究對(duì)象——隨機(jī)事件.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次引入樣本點(diǎn)和樣本空間，用集合語(yǔ)言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)而抽象出“隨機(jī)事件”，這無(wú)疑給核心概念的生成帶來(lái)了新生機(jī)，當(dāng)然也帶來(lái)了教學(xué)上的新挑戰(zhàn).另一方面，本單元是高中課程第一次全面研究不確定現(xiàn)象，從研究?jī)?nèi)容到研究思想，再到研究路徑都與以往學(xué)習(xí)存在較大差異.故從單元起始課起，教師就需高處著眼，引導(dǎo)學(xué)生了解隨機(jī)研究領(lǐng)域，培養(yǎng)隨機(jī)思想.然而，我們卻發(fā)現(xiàn)在實(shí)際教學(xué)中這兩方面都還存在著諸多不盡如人意之處，或是教師對(duì)于教學(xué)內(nèi)容認(rèn)識(shí)不夠深刻導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計(jì)偏差，或是受“一定義三注意”概念教學(xué)方式影響認(rèn)為其并非要害，無(wú)需多費(fèi)心思.針對(duì)此內(nèi)容的研究更不多見(jiàn)，據(jù)統(tǒng)計(jì)自2017年以來(lái)，中國(guó)知網(wǎng)收錄的相關(guān)文章僅9篇.

近年來(lái)，大概念教學(xué)理念逐步走入人們的視野.聚焦大概念，撥冗去繁、突出重點(diǎn)，可以較好地聯(lián)結(jié)學(xué)科知識(shí)構(gòu)建與核心素養(yǎng)培養(yǎng)，為解決“隨機(jī)事件和樣本空間”的教學(xué)問(wèn)題，統(tǒng)領(lǐng)概率單元概念教學(xué)提供了新樣態(tài)和新途徑.

基于此，現(xiàn)就本課時(shí)的教學(xué)思考和相關(guān)設(shè)計(jì)淺談一二.

1 基于大概念理論的教材內(nèi)容解構(gòu)與常見(jiàn)問(wèn)題剖析

章建躍老師曾指出改進(jìn)教學(xué)要從加深理解內(nèi)容入手.在日常概率教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)教師經(jīng)常因自身專業(yè)儲(chǔ)備不足，概率基礎(chǔ)知識(shí)理解不深，思想方法把握不準(zhǔn)而導(dǎo)致教學(xué)趨于淺層，甚至出現(xiàn)偏差.故先進(jìn)行核心內(nèi)容和常見(jiàn)問(wèn)題分析就顯得尤為重要.1.1 幾個(gè)概念1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象是概率論研究的起點(diǎn).教材中描述其為“在一定條件下，某種結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象”.第一，隨機(jī)現(xiàn)象是一種“現(xiàn)象”，它廣泛存在于生活當(dāng)中，是事物表現(xiàn)出來(lái)的外部形態(tài)，以人們感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí).因此對(duì)其理解需要大量具體實(shí)例的支撐;第二，隨機(jī)現(xiàn)象具有“隨機(jī)性”，這明確了概率的研究范圍，用辯證唯物主義觀點(diǎn)來(lái)看，隨機(jī)性是客觀存在的，人們對(duì)確定性和隨機(jī)性關(guān)系的認(rèn)識(shí)推動(dòng)科學(xué)不斷進(jìn)步，同時(shí)也會(huì)隨著科學(xué)進(jìn)步而不斷深入，由此可見(jiàn)，確定性只是隨機(jī)性的一種特殊狀態(tài).由于考慮到隨機(jī)現(xiàn)象的復(fù)雜性與學(xué)生現(xiàn)階段的認(rèn)知儲(chǔ)備，高中必修課程中概率的研究對(duì)象僅限于結(jié)果有限、不可預(yù)知、頻率穩(wěn)定的隨機(jī)現(xiàn)象[1].1.1.2 試驗(yàn)

試驗(yàn)是概率論的初始型概念，分析隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律需借助試驗(yàn)進(jìn)行，隨機(jī)事件的認(rèn)知更是建立在試驗(yàn)的認(rèn)知之上.教材指出“對(duì)于某個(gè)現(xiàn)象，如果能讓其條件實(shí)現(xiàn)1次，那么就是進(jìn)行了1次試驗(yàn).”雖是描述性概念，但仍需究其深意：第一，試驗(yàn)是可以重復(fù)的;第二，所有可能的結(jié)果是明確可知的;第三，每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都具有隨機(jī)性.

1.1.3 樣本點(diǎn)和樣本空間

樣本點(diǎn)和樣本空間是描述試驗(yàn)結(jié)果，測(cè)量隨機(jī)事件的基礎(chǔ)，構(gòu)建樣本空間是概率建模過(guò)程中關(guān)鍵的一步.教材中以具體試驗(yàn)為例，把“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是k”記為ωk（k=1，2，3，4，5，6），指出像ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6這樣不可能再細(xì)分的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間.這里明確試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果都是樣本點(diǎn)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“不可能再細(xì)分”，這是構(gòu)建樣本空間的原則.并以具體實(shí)例探究建構(gòu)樣本空間的程序和技巧，如遞進(jìn)設(shè)計(jì)拋擲一枚、兩枚乃至三枚硬幣，寫出其各自的樣本空間（圖1）.由此明確樣本點(diǎn)僅由問(wèn)題背景決定.

同時(shí)，“描述樣本點(diǎn)”還是培養(yǎng)符號(hào)語(yǔ)言的良好載體，如引導(dǎo)學(xué)生利用不同語(yǔ)言描述樣本空間（表1），對(duì)比優(yōu)化的同時(shí)，尋求化歸統(tǒng)一，為后續(xù)學(xué)習(xí)伯努利試驗(yàn)做準(zhǔn)備[2].

1.1.4 隨機(jī)事件

隨機(jī)事件作為概率的研究對(duì)象，是單元起始課的核心概念，更是整個(gè)單元知識(shí)體系的基石.與以往舊教材描述性定義不同，新教材定義隨機(jī)事件為“樣本空間的子集”，即通過(guò)試驗(yàn)將隨機(jī)現(xiàn)象從外部世界抽象出來(lái)，并運(yùn)用集合語(yǔ)言加以刻畫，簡(jiǎn)而言之，隨機(jī)事件是隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化.隨機(jī)事件的本質(zhì)是試驗(yàn)表現(xiàn)出的一種結(jié)果，事件的發(fā)生就是當(dāng)且僅當(dāng)滿足某種條件的樣本點(diǎn)出現(xiàn).在此基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步類比特殊集合，了解空集是不可能事件，全集是必然事件，且兩者均是隨機(jī)事件的極端情況，這些基本觀念建立后就可以尋覓產(chǎn)生結(jié)果的原因了.

1.2 一條主線

大概念教學(xué)倡導(dǎo)圍繞位于學(xué)科、單元或是課時(shí)頂層的關(guān)鍵性概念，將具體知識(shí)按照一定的邏輯線索，組織層級(jí)結(jié)構(gòu)分明的教學(xué).據(jù)統(tǒng)計(jì)，概率單元起始課時(shí)“隨機(jī)事件和樣本空間”涵蓋各級(jí)概念共計(jì)12個(gè)，面對(duì)這樣繁雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容，首先需要明確該課時(shí)的“大概念”與“大任務(wù)”“使學(xué)生獲得概率研究對(duì)象隨機(jī)事件”正是單元起始課的核心.新教材在該問(wèn)題上進(jìn)行了重構(gòu)（如圖2），旨在解決以往隨機(jī)事件在抽象生成和深度理解上的困擾，同時(shí)該路徑所獲概念更加接近大學(xué)公理化定義，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做了基礎(chǔ)性的鋪墊.

此外，除了“獲得研究對(duì)象”這一明線外，本課時(shí)還有一條思想暗線，即通過(guò)對(duì)于“隨機(jī)性”從感性到理性的體驗(yàn)，初步形成“隨機(jī)思想”.

1.3 若干問(wèn)題

基于以上分析，再反觀日常概率單元起始課教學(xué)，我們歸納問(wèn)題如下：

1.3.1 未處理好點(diǎn)

隨機(jī)現(xiàn)象積累不足.教學(xué)中常因“隨處可見(jiàn)”而忽視引導(dǎo)學(xué)生從感性到理性深入感受，這不利于研究動(dòng)因的形成、研究對(duì)象的獲取以及“隨機(jī)性”的體會(huì).

試驗(yàn)重視不足.試驗(yàn)是開(kāi)展概率研究的工具，教學(xué)中常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生以像“拋一枚硬幣”“擲一顆骰子”等感性、具象地認(rèn)識(shí)“試驗(yàn)”，但缺乏對(duì)這一基礎(chǔ)性概念更深層次的理解.

隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件關(guān)系理解不深.混淆兩概念是概率教學(xué)中的常見(jiàn)難點(diǎn)，由此折射出學(xué)生乃至教師對(duì)于概念及其關(guān)系理解的盲點(diǎn).

樣本空間構(gòu)建原則不清.選擇適當(dāng)集合語(yǔ)言構(gòu)建樣本空間并不容易，樣本點(diǎn)“不可再分”的原則易說(shuō)不易做，學(xué)生缺乏建構(gòu)技巧，容易忽視不同結(jié)果的順序問(wèn)題.1.3.2 未勾勒出線

碎片化的概念生成使得學(xué)生應(yīng)接不暇，卻又不明就里.究其原因，多是教學(xué)時(shí)缺乏邏輯準(zhǔn)確、路徑鮮明的主線將諸如隨機(jī)現(xiàn)象、樣本點(diǎn)和樣本空間、隨機(jī)事件等重要概念串珠成線，織線成網(wǎng)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

1.3.3 未深究入髓

隨機(jī)思想是統(tǒng)領(lǐng)概率單元教學(xué)的關(guān)鍵，沒(méi)有引導(dǎo)深層學(xué)習(xí)的教學(xué)極易造成學(xué)習(xí)的片面和短視，學(xué)生僅停留在機(jī)械的模仿與操作層面，無(wú)法深入體會(huì)概率知識(shí)背后所蘊(yùn)含的邏輯根據(jù)、思想方法和價(jià)值意義.

2 基于大概念理論的教學(xué)設(shè)計(jì)片段及思考

為了解決以上問(wèn)題，教師在概率單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需站位高遠(yuǎn)，以概率核心思想為指導(dǎo)，一以貫之地處理好單元概念教學(xué)，尤其重視初始概念教學(xué).2.1 設(shè)置情境，體驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象

活動(dòng)1：出示一個(gè)布袋，里面裝有紅球4個(gè).

問(wèn)題1-1：（1）同學(xué)們，現(xiàn)在閉上眼睛從袋中隨意摸出一球，該球是紅球嗎？

生：一定是.

（2）那會(huì)是白球嗎？

生：一定不是.

師：像這種在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象.

教師又將1個(gè)白球放入布袋.

（3）現(xiàn)在再?gòu)拇须S意摸出一球，該球一定是紅球嗎？

生：不一定.

追問(wèn)：什么叫“不一定”？

生：有可能是，也有可能不是.

師：在一定條件下，事先不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.

問(wèn)題1-2：請(qǐng)觀看短片，你能分析出短片中哪些現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象嗎？

互動(dòng)情境短片：某日，我?；@球隊(duì)和兄弟學(xué)校比賽.關(guān)鍵時(shí)刻，小明應(yīng)當(dāng)把球傳給位于投籃位置的7號(hào)、9號(hào)和11號(hào)哪位球員（后出示三個(gè)球員的投籃命中率，學(xué)生幫助選擇）;比賽結(jié)束后，大家要買飲料，抽簽決定派12人中的兩個(gè)人去對(duì)面的超市買飲料（計(jì)算機(jī)模擬抽簽）;兩人對(duì)于選擇A還是B兩種品牌的飲料意見(jiàn)不統(tǒng)一，一時(shí)難以抉擇，于是拋硬幣決定，若正面向上就選A，若反面向上就選B（一名同學(xué)現(xiàn)場(chǎng)演示）;結(jié)賬后，小x從購(gòu)買的飲料中隨便拿了一瓶，打開(kāi)瓶蓋，竟發(fā)現(xiàn)自己中獎(jiǎng)了.

學(xué)生討論提取現(xiàn)象：（1）小明在三個(gè)球員中選擇一位傳球，他選擇了11號(hào);（2）從12人中抽簽決定派兩人去跑腿，抽中小x和小y;（3）拋一枚硬幣，正面向上;（4）小x拿一瓶打開(kāi)，發(fā)現(xiàn)中獎(jiǎng)了.

問(wèn)題1-3：這些隨機(jī)現(xiàn)象有什么共同的特點(diǎn)嗎？

師生共同分析：就一次觀測(cè)而言，事先預(yù)知可能有幾種結(jié)果;某種結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生，具有偶然性;根據(jù)初中學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)可知，若是重復(fù)大量的觀測(cè)，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性大概有一定的規(guī)律.

問(wèn)題1-4：生活中隨機(jī)現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，你還能舉出幾例嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生從游戲（擲骰子、抽撲克牌）、應(yīng)用（股票投資、基金理財(cái)）等方向?qū)ふ?并總結(jié)：在自然界和人類社會(huì)的生產(chǎn)與生活中，存在著大量的隨機(jī)現(xiàn)象.雖然其結(jié)果具有不確定性，但若是我們能夠了解并掌握內(nèi)在規(guī)律，就可以幫助我們做出更優(yōu)化的選擇.

設(shè)計(jì)意圖 隨機(jī)現(xiàn)象是概率研究的起因和起點(diǎn)，雖然生活中充斥著大量的隨機(jī)現(xiàn)象，但學(xué)生很少會(huì)有意識(shí)地加以思考，概率單元起始課要匯集足夠的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生明確即將研究問(wèn)題的生活來(lái)源，故筆者設(shè)計(jì)“摸球演示”“短片互動(dòng)”“個(gè)人舉例”三步情境引入.“摸球演示”旨在借助初中熟悉模型，引出確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象;“短片互動(dòng)”旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自身體驗(yàn)、信息技術(shù)輔助等沉浸式體會(huì)“隨機(jī)性”，又在其中滲透概率內(nèi)容的特點(diǎn)，如“中獎(jiǎng)”案例幫助學(xué)生體會(huì)概率含義，“傳球”案例則引導(dǎo)學(xué)生理解利用概率進(jìn)行合理決策，再通過(guò)選擇的11號(hào)并未進(jìn)球這一結(jié)果，說(shuō)明即便合理決策也未必一定取得好的結(jié)果，進(jìn)而深化“隨機(jī)性”的認(rèn)識(shí);“個(gè)人舉例”則是推動(dòng)學(xué)生由習(xí)得到生成.

2.2 抽象生成，建構(gòu)核心概念

師：隨機(jī)現(xiàn)象雖然具有“隨機(jī)性”，但其內(nèi)在數(shù)量規(guī)律往往對(duì)于生產(chǎn)生活有很大的價(jià)值，因此下面我們開(kāi)始研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，這是概率單元的主要學(xué)習(xí)任務(wù).

問(wèn)題2：那如何展開(kāi)隨機(jī)現(xiàn)象研究呢？

設(shè)計(jì)意圖 提出“大任務(wù)”推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，這一目標(biāo)將成為串起本課時(shí)乃至本單元內(nèi)容的主線.根據(jù)學(xué)生所提，師生共同找尋研究方向，可以從具體例子開(kāi)始，可以讓條件重復(fù)實(shí)現(xiàn)，進(jìn)行觀測(cè).

教師給出試驗(yàn)的概念：對(duì)于某個(gè)現(xiàn)象，如果能讓其條件實(shí)現(xiàn)1次，那么就是進(jìn)行了1次試驗(yàn).而試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果都蘊(yùn)含著某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

問(wèn)題3：試驗(yàn)具有什么共同的特點(diǎn)嗎？

學(xué)生以情境中的摸球、選人、抽簽、拋硬幣、抽獎(jiǎng)為例，歸納得出試驗(yàn)特征：（1）試驗(yàn)是可以重復(fù)的;（2）所有可能的結(jié)果是明確可知的;（3）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是具有隨機(jī)性的.

設(shè)計(jì)意圖 試驗(yàn)是描述型概念，通過(guò)“摸”“選”“抽”“拋”等動(dòng)作描述，引導(dǎo)學(xué)生指向結(jié)果分析，為引出樣本空間做鋪墊.

問(wèn)題4-1：請(qǐng)以“擲一枚骰子，觀察朝上一面”為例，說(shuō)出其所有可能的結(jié)果.

生：1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn).

問(wèn)題4-2：也就是說(shuō)這些試驗(yàn)的結(jié)果是一些確定的、不同的對(duì)象，我們可以將它們集結(jié)到一起，能用熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以刻畫嗎？

生：可以，所有可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一個(gè)集合.

師：非常好！我們用集合語(yǔ)言刻畫：{1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)}.

教師給出樣本點(diǎn)和樣本空間的概念：我們把“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是k”記為ωk（k=1，2，3，4，5，6）.像上述ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6這樣不可能再細(xì)分的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間，記為Ω，即Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}.

問(wèn)題4-3：請(qǐng)分析概念中的關(guān)鍵詞.

生：不可再分.也就是對(duì)于這個(gè)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，樣本點(diǎn)是最小的結(jié)果單位了.

師：非常好！這是樣本空間的構(gòu)建原則，“不可再分”完全由問(wèn)題的背景決定.

問(wèn)題4-4：我們?cè)囍梦淖帧⒂米帜副硎緲颖军c(diǎn)，還能再簡(jiǎn)單些嗎？

生：Ω={1，2，3，4，5，6}.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生從具體試驗(yàn)入手，通過(guò)知識(shí)遷移，以集合語(yǔ)言作為工具刻畫試驗(yàn)結(jié)果，建立了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.強(qiáng)化“樣本點(diǎn)不可再分”這一構(gòu)建原則，為后續(xù)進(jìn)一步分析復(fù)雜樣本空間奠定理論基礎(chǔ)，并且在樣本點(diǎn)的表述上，經(jīng)歷了從文字到字母，再到數(shù)字的抽象過(guò)程，體會(huì)如何規(guī)范且簡(jiǎn)潔地書寫樣本空間，提升學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平[3].

問(wèn)題5-1：拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù).你能用集合將其表示出來(lái)并解釋嗎？

生：{2，4，6}.當(dāng)拋擲一顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，{2，4，6}中的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生;反過(guò)來(lái)，{2，4，6}中的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，則拋擲一顆骰子，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù).

問(wèn)題5-2：這個(gè)集合與樣本空間有什么關(guān)系？

生：是樣本空間的子集.

師：是的.我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，也稱為事件.事件一般用A，B，C……等大寫英文字母來(lái)表示.

“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”記為事件A，值得注意的是一個(gè)事件的完整表述分為兩個(gè)部分，前一部分是試驗(yàn)的條件，后一部分為試驗(yàn)的結(jié)果.這里事件A={2，4，6}，即當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果是A的一個(gè)元素時(shí)，事件A就發(fā)生了.問(wèn)題5-3：針對(duì)這一試驗(yàn)，你還能提出哪些事件？并試著用集合表示該事件嗎？

學(xué)生討論，給出多個(gè)事件，如表2.

問(wèn)題5-4：請(qǐng)大家觀察，同學(xué)們寫出的隨機(jī)事件中哪些比較特殊？為什么？

生1：事件E和事件F比較特殊.事件E包含了所有的樣本點(diǎn)，事件F沒(méi)有一個(gè)樣本點(diǎn).

生2：事件B也比較特殊，它只包含一個(gè)樣本點(diǎn).

追問(wèn)：能從集合的角度認(rèn)識(shí)它們嗎？

生：分別是全集、空集以及含有一個(gè)元素的集合.

師：很重要的發(fā)現(xiàn).Ω（全集）稱為必然事件，（空集）稱為不可能事件.它們是隨機(jī)事件的極端情況，本身并不具有隨機(jī)性.

當(dāng)一個(gè)事件僅包含單一樣本點(diǎn)時(shí)，稱為基本事件.

設(shè)計(jì)意圖 隨機(jī)事件是本課時(shí)的核心概念，也是概率單元的線索，其生成是單元起始課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).筆者通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，用集合語(yǔ)言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，推動(dòng)隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，最后，放手讓學(xué)生自由提出“拋擲骰子”試驗(yàn)的隨機(jī)事件，這是從“學(xué)”到“用”的升華，并在應(yīng)用中引導(dǎo)學(xué)生類比集合發(fā)現(xiàn)并定義隨機(jī)事件的特殊情形.至此，核心概念建構(gòu)完成，并在建構(gòu)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.3 知識(shí)遷移，探尋事件關(guān)系

問(wèn)題6-1：請(qǐng)大家觀察事件A和事件B，你能用集合語(yǔ)言分析A，B兩者之間的關(guān)系嗎？

生：B A.就是若B發(fā)生，A一定發(fā)生.

師：非常好！我們發(fā)現(xiàn)B A，即“事件B發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生”.這時(shí)，稱B是A的子事件.

追問(wèn)：同學(xué)們列舉的這些事件中還存在著這樣的關(guān)系嗎？

學(xué)生一一找出.

問(wèn)題6-2：剛才的問(wèn)題給了我們一個(gè)思路：可以類比集合的關(guān)系和運(yùn)算研究事件的關(guān)系與運(yùn)算，對(duì)嗎？請(qǐng)大家仔細(xì)研究，嘗試還有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)D=G∪H，也就是“事件G與H至少有一個(gè)發(fā)生就是D發(fā)生”.

師：我們稱D是G與H的并，也稱D是G與H的和，并記作D=G+H.

生2：我發(fā)現(xiàn)G=A∩D，也就是“事件A與D同時(shí)發(fā)生就是G發(fā)生”.

師：我們稱G是A與D的交，也稱G是A與D的積，并記作G=AD.

設(shè)計(jì)意圖 事件的關(guān)系和運(yùn)算是集合語(yǔ)言刻畫隨機(jī)事件的后續(xù)生成.針對(duì)樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生類比遷移，通過(guò)集合的“子”“交”“并”，自行研究事件的關(guān)系與運(yùn)算.如此設(shè)計(jì)，學(xué)生一方面厘清知識(shí)間的聯(lián)系，更重要的是學(xué)會(huì)了提出問(wèn)題，探索研究問(wèn)題的路徑.

2.4 串珠成線，形成完整知識(shí)鏈條

問(wèn)題7：同學(xué)們，今天我們一起走進(jìn)了概率世界，在這里我們更加深刻地認(rèn)識(shí)了隨機(jī)現(xiàn)象，并完成了隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化這一抽象生成，你能用導(dǎo)圖的形式概括回顧今天的學(xué)習(xí)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 圍繞隨機(jī)事件這一核心概念的生成，引導(dǎo)學(xué)生高處站位，以整體目光審視本課時(shí)內(nèi)容，撥冗去繁，抽出主線，如此設(shè)計(jì)可以更好地促進(jìn)學(xué)生自主審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，梳理研究路徑，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

[1] 張靈，徐章韜.微言要義之隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（09）：15-17.

[2] 程?？?，章建躍.用樣本空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象定義隨機(jī)事件的概率發(fā)展學(xué)生的隨機(jī)觀念[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（05）：1-9.

[3] 邱瑤.“樣本點(diǎn)、樣本空間和隨機(jī)事件的表達(dá)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2021（08）：50-54.

作者簡(jiǎn)介 孔繁晶（1984—），女，江蘇徐州人，講師;曾獲市級(jí)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，教師基本功比賽一等獎(jiǎng);研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教育與研究;10余篇論文發(fā)表，其中1篇論文被人大復(fù)印報(bào)刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.