張新艷
[摘 ?要] 在2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》發(fā)布之后,數(shù)學建模更是凸顯出了其重要地位. 教師的主要任務就是理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制與功能,結(jié)合具體的教學內(nèi)容去培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力,提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng). 對數(shù)學模型的認識一定要充分,要認識到高中數(shù)學教學內(nèi)容當中有很多數(shù)學建模教學契機. 在高中數(shù)學教學中,數(shù)學建模的成功教學建立在正確的理解基礎上,只有了解了數(shù)學建模的內(nèi)在機制及其基本環(huán)節(jié),那么在具體的實踐過程中才能做到心中有數(shù),才能在學生學習的每一個環(huán)節(jié)中給予恰到好處的引導.
[關鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學建模;理解;實踐
相信每一個高中數(shù)學教師對數(shù)學建模的概念都不陌生,這很大程度上是因為數(shù)學建模幾乎伴隨著數(shù)學教學的始終. 而在2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》發(fā)布之后,數(shù)學建模更是凸顯出了其重要地位,原因在于數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)六個要素之一,是“用數(shù)學語言描述事物”的關鍵. 正是因為數(shù)學建模有著如此重要的地位,所以才有不少教師以及數(shù)學教育研究者呼吁將數(shù)學建模的思想融入數(shù)學類主干課程[1]. 實際上,在日常教學中,尤其是在日常數(shù)學教學研究的視野里,數(shù)學建模原本就是一個常提的概念. 那么這是否意味著在日常教學中數(shù)學建模就落實得十分到位呢?答案恐怕并非如此. 首先從教學目的的角度來看,無論是教師還是學生,更多的時候仍然將注意力集中在解題能力上,而這一能力的養(yǎng)成又是通過刷題來實現(xiàn)的,數(shù)學建模顯然并不是此種教學的直接目的;其次是對數(shù)學建模的理解,更多的時候仍然停留在“建立數(shù)學模型”這一認識上,對于模型如何形成、應當經(jīng)歷怎樣的過程才能促進模型建立等,實際上認識并不是十分清楚. 在這樣的背景下,要想落實數(shù)學建模會有著更大的挑戰(zhàn).
應當說在當前評價體制下,培養(yǎng)學生的解題能力并應付高考是必然的選擇,但這并不影響數(shù)學建模素養(yǎng)的落地,如果教師能夠理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制與功能,那就可以在切實有效培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的同時,增強學生的解題與應試能力.
[?]高中數(shù)學教學中的數(shù)學建模理解
一般認為,數(shù)學模型運用于數(shù)學問題解決的過程,其中涉及數(shù)學的基本原理、數(shù)學思想方法、數(shù)學語言的運用. 這里所說的數(shù)學問題,不僅包括數(shù)學習題或者與數(shù)學相關的問題,也包括數(shù)學概念與數(shù)學規(guī)律的建立過程,因此數(shù)學模型的外延除了常說的模型外,數(shù)學概念與數(shù)學規(guī)律也被認為是一種模型. 當形成對數(shù)學模型的認識后,再來認識數(shù)學建模,通俗地說,數(shù)學建模是建立數(shù)學模型,但是更為核心的問題在于“應當經(jīng)歷怎樣的過程才能建立一個數(shù)學模型?”從認知發(fā)展的角度來看,數(shù)學建模本身就是一個復雜的認知活動,需要學生思維的深度參與.
對于教師來說,理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制與外在表現(xiàn),是實施數(shù)學建模教學的前提. 從外在表現(xiàn)來看,數(shù)學建模作為一種問題解決方式,是數(shù)學與現(xiàn)實世界之間溝通的橋梁. 可以肯定的一點是,當下數(shù)學課堂上的數(shù)學建模實際上已經(jīng)被高度簡化,很難讓學生經(jīng)歷一個完整的建模過程,學生在這樣的過程中不可能有效提高建模能力[2]. 要解決這個問題,只有將研究的視角轉(zhuǎn)向數(shù)學建模的內(nèi)在機制,目前公認的觀點是:數(shù)學建模就是從實際問題出發(fā),經(jīng)過數(shù)學抽象與相應的簡化形成數(shù)學問題,進而建立數(shù)學模型,然后利用建立起的數(shù)學模型去解釋或解決實際問題. 如果成功,那么這樣的數(shù)學模型就是有效的;如果不成功,那么這樣的數(shù)學模型就需要修正——重新經(jīng)歷上述過程.
由此可見,數(shù)學建模實際上與數(shù)學抽象以及邏輯推理是有關系的,在不同的知識點當中,還有可能涉及數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析以及直觀想象等. 因此,數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素中,數(shù)學建模才是綜合性最強的那個要素. 對建立數(shù)學模型的內(nèi)在機制的理解,本質(zhì)上要認識到數(shù)學建模的過程,是學生通過自己的思維與認知對實際問題進行抽象、運用數(shù)學邏輯進行推理,進而形成一個內(nèi)在邏輯關系明確且能夠解決新的問題的過程.
認識到這一點后,在具體的數(shù)學建模過程中,教師就應當努力引導學生將數(shù)學思維與實際問題聯(lián)系起來,去除非數(shù)學因素,留下數(shù)學因素,然后尋找其邏輯關系,進而形成數(shù)學模型.
[?]高中數(shù)學教學中的數(shù)學建模實踐
有了如上的理解,教師的主要任務就是結(jié)合具體的教學內(nèi)容去培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力,學生形成數(shù)學建模素養(yǎng). 特別需要再次強調(diào)的是,對數(shù)學模型的認識一定要充分,要認識到高中數(shù)學教學內(nèi)容當中有很多數(shù)學建模教學契機. 著名數(shù)學教育家張奠宙先生曾經(jīng)指出,“就許多數(shù)學內(nèi)容來說,本身就是一種數(shù)學模型……在這個意義上,我們每堂課都在建立數(shù)學模型”. 教師在研究探索數(shù)學建模教學的過程中,要以具體的課例研究為載體,從學生的角度去思考,幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型和應用數(shù)學模型[3].
例如,函數(shù)作為高中數(shù)學知識體系中最為重要的概念之一,本身就是一個數(shù)學模型. 學生在此前數(shù)學學習中形成的函數(shù)認識,是一種相對膚淺模糊的認識,在高中數(shù)學教學中,教師的主要任務就是在學生已有認識的基礎上,建立起函數(shù)模型. 根據(jù)上述對數(shù)學建模內(nèi)在機制的理解,在函數(shù)概念這一教學過程中,可以設計以下幾個環(huán)節(jié):
環(huán)節(jié)1:利用現(xiàn)實問題創(chuàng)設情境,引導學生進行數(shù)學抽象.
這里的現(xiàn)實問題主要是指題材來自現(xiàn)實、內(nèi)在邏輯指向數(shù)學的問題. 比如:某電器維修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超過6天. 如果公司確定的工資標準是每人每天350元,而且每周付一次工資,那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資呢?
對于這樣的一個實際問題,學生應當通過數(shù)學抽象,去除情境中的生活元素,留下數(shù)學元素,于是每周工資數(shù)額、每天工資數(shù)額以及工作天數(shù),就是剩下來的三個數(shù)學量.
環(huán)節(jié)2:基于數(shù)學抽象的結(jié)果,通過問題變式,借助分析與歸納,概括出函數(shù)模型.
在上述問題情境中,數(shù)學抽象后三個數(shù)學量之間的邏輯關系已經(jīng)比較清晰了. 實際上,學生借助最基本的數(shù)學關系就可以建立起等量關系,即y=350x(y為每周工資數(shù)額,x為工作天數(shù)). 在這里有一點必須明確,那就是x的定義域,具體可以表示為A={1,2,3,4,5,6}. 有了這樣的推理后,自然也就可以得出y的值域,即B={350,700,1050,1400,1750,2100}.
其后,可以通過其他素材繼續(xù)創(chuàng)設情境,讓學生通過數(shù)學抽象和邏輯推理得出類似的結(jié)果. 通過分析與歸納,就可以概括出函數(shù)的基本內(nèi)涵. 此時的教學還有一個重要環(huán)節(jié),那就是學生最初的認識是用自己的語言來描述的,而最終的函數(shù)是要用數(shù)學語言來描述的,從前者到后者有一個過渡,需要教師做好引導. 這個過程同人都比較熟悉,此處只強調(diào)一點就是對定義域、值域及對應關系這三個要素的理解. 如果學生能夠結(jié)合此前提出的實例去理解這三個關鍵要素,那么函數(shù)概念也就會建立起來.
環(huán)節(jié)3:運用數(shù)學模型去解決問題.
這個環(huán)節(jié)的主要任務是讓學生結(jié)合對函數(shù)的認識,判斷一些新的素材當中所表現(xiàn)出來的是不是函數(shù)關系. 相對前面創(chuàng)設的情境,此時提供給學生的應當既有正例也有反例,這樣有助于學生從正反兩個角度強化對函數(shù)概念的認識,從而讓函數(shù)模型更加牢固.
[?]高中數(shù)學教學中的數(shù)學建模反思
在上述函數(shù)概念教學的過程中,學生所經(jīng)歷的學習過程有兩個理解:一是知識層面的理解,學生獲得的是對函數(shù)概念及定義的記憶;二是模型層面的理解,學生通過對生活實例的抽象,借助邏輯建立等量關系,發(fā)現(xiàn)這一關系可以描述生活中的多種情形,于是得出函數(shù)概念,自然也就建立起了函數(shù)模型. 在解決新問題的過程中可以檢視這一模型,學生發(fā)現(xiàn)生活中的復雜關系,既有可以用函數(shù)來描述的,也有不能用函數(shù)來描述的,而這實際上就是基于定義域、值域以及對應關系三個要素強化學生理解函數(shù)概念的過程,從而讓學生形成的函數(shù)模型更加牢固.
進一步反思上述分析尤其是實踐過程,發(fā)現(xiàn)在高中數(shù)學教學中,數(shù)學建模的成功教學一定建立在正確的理解基礎上,只有理解了數(shù)學建模的內(nèi)在機制及基本環(huán)節(jié),那么在具體的實踐過程中才能做到心中有數(shù),才能在學生學習的每一個環(huán)節(jié)中給予恰到好處的引導. 這種引導不僅可以讓學生學習數(shù)學知識的過程變得更加簡潔,也可以讓數(shù)學建模的過程變得更加高效.
有人說,數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育,數(shù)學建模的教學是實施素質(zhì)教育的有效途徑[4]. 如此理解數(shù)學建模的意義,就意味著教師更要重視對數(shù)學建模的理解與實踐.
參考文獻:
[1] ?李大潛. 將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程[J]. 中國大學教學,2006(01):9-11.
[2] ?朱雨姝. 使用費米問題來引入數(shù)學建模[J]. 中學數(shù)學雜志(高中版),2020(03):3-7.
[3] ?何瑞林. 數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力[J]. 江西教育,2020(14):36-37.
[4] ?李大潛. 數(shù)學建模與素質(zhì)教育[J]. 中國大學教學,2002(10):41-43.