芻議初中學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力培養(yǎng)的路徑

孫延軍

［摘? 要］ 基于理論研究與教學(xué)實(shí)踐，研究者通過(guò)案例的形式，闡述培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力的路徑，即在圖形性質(zhì)的教學(xué)中，培養(yǎng)幾何語(yǔ)言表達(dá)能力；在證明過(guò)程的教學(xué)中，培養(yǎng)幾何語(yǔ)言表達(dá)能力；在圖形變換的教學(xué)中，培養(yǎng)幾何語(yǔ)言表達(dá)能力.

［關(guān)鍵詞］ 幾何語(yǔ)言；表達(dá)能力；初中數(shù)學(xué)

初一幾何教學(xué)的重點(diǎn)是要解決學(xué)生入門學(xué)習(xí)的問(wèn)題. 新課標(biāo)提出，七年級(jí)學(xué)生要理解與掌握直線與角、相交線與平行線等知識(shí). 雖然這部分知識(shí)是最基礎(chǔ)的幾何知識(shí)，但正因?yàn)樗幕A(chǔ)性，卻成了初一幾何教學(xué)的難點(diǎn). 為什么基礎(chǔ)的幾何知識(shí)卻成了教學(xué)的難點(diǎn)呢？其主要原因在于學(xué)生剛開(kāi)始接觸幾何語(yǔ)言，未能很好地掌握幾何語(yǔ)言，由此可見(jiàn)幾何語(yǔ)言的重要性［1］. 如何教會(huì)學(xué)生掌握幾何語(yǔ)言，筆者以為，提高學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力是一條有效的路徑.基于理論研究與教學(xué)實(shí)踐，筆者通過(guò)案例的形式，闡述培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力的路徑.

在圖形性質(zhì)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力

在幾何教學(xué)中，不少教師認(rèn)為講得足夠詳細(xì)，思路足夠清晰，學(xué)生就一定能理解接受并進(jìn)行正確書(shū)寫(xiě). 事實(shí)并非如此，由于部分學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力的缺乏，導(dǎo)致他們不會(huì)書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程，更不會(huì)運(yùn)用幾何語(yǔ)言分析解決問(wèn)題. 因此，培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力的訓(xùn)練尤為重要. 具體教學(xué)中，教師可以分三個(gè)步驟進(jìn)行：一是教師設(shè)置合理的問(wèn)題，在學(xué)生逐步回答問(wèn)題的過(guò)程中理清解決問(wèn)題的思路；二是讓學(xué)生口頭表達(dá)解題過(guò)程，在學(xué)生一邊說(shuō)的過(guò)程中，教師一邊糾正；三是讓學(xué)生到黑板上板書(shū)解題過(guò)程.

例1 “角平分線性質(zhì)應(yīng)用”教學(xué)節(jié)選

如圖1所示，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，OM，ON分別是∠AOB，∠AOC的平分線.

（1）如果∠AOB=140°，∠AOC=60°，那么∠MON是多少度？

（2）請(qǐng)寫(xiě)出∠MON與∠BOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：什么是角平分線？已知角平分線，可以得到什么結(jié)論？

生：在角的內(nèi)部，如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線就是角平分線. 通過(guò)已知角平分線，可以得到相等的角，可以得到角的2倍關(guān)系或一半關(guān)系.

師：由“射線OC在∠AOB的內(nèi)部，OM，ON分別是∠AOB，∠AOC的平分線”，可以得到什么結(jié)論？

生：由“OM是∠AOB的平分線”可以得到∠AOM=∠BOM，∠AOM=∠BOM=∠AOB，∠AOB=2∠AOM=2∠BOM.同理，由“ON是∠AOC的平分線”，可以得到∠AON=∠CON，∠AOC=2∠AON=2∠CON.

師：由“∠AOB=140°，∠AOC=60°”，你可以得到什么數(shù)值？

生：由“∠AOB=140°”，可以得到∠AOM=∠BOM=70°，由“∠AOC=60°”，可以得到∠AON=∠CON=30°.

師：所求∠MON與上述哪些角有關(guān)？它的角度如何求得？

生：從圖上可以看出，∠MON=∠AOM-∠AON，把∠AOM=∠BOM=70°，∠AON=∠CON=30°代入，得∠MON=70°-30°=40°.

師：∠MON與∠BOC的數(shù)量關(guān)系是什么？為什么？

生：∠MON與∠BOC的數(shù)量關(guān)系是：∠MON=∠BOC，因?yàn)镺M是∠AOB的平分線，所以∠AOM=∠AOB，ON是∠AOC的平分線，所以∠AON=∠AOC，因?yàn)椤螹ON=∠AOM-∠AON，所以∠MON=∠AOB-∠AOC=·（∠AOB-∠AOC）=∠BOC.

師：請(qǐng)同學(xué)們復(fù)述解題過(guò)程. （抽3名學(xué)生到黑板上書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程）

教學(xué)中，采用師生問(wèn)答的形式，由角平分線的定義入手，由一般到具體，再由具體到一般，在回答問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生自然說(shuō)出解題思路，凸顯了學(xué)生的主體地位以及教師的指導(dǎo)作用. 在學(xué)生自行復(fù)述解答過(guò)程時(shí)，實(shí)現(xiàn)了生生互動(dòng)，學(xué)生敢于開(kāi)口，愿意開(kāi)口. 學(xué)生在板書(shū)解答過(guò)程時(shí)，暴露了思維的缺陷，筆者對(duì)癥下藥，幫助學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真書(shū)寫(xiě)的習(xí)慣.

在證明過(guò)程的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力

在三角形的判定定理中，出現(xiàn)了“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等幾何術(shù)語(yǔ)，簡(jiǎn)單的三個(gè)字包含了判定三角形全等的條件，但是學(xué)生要理解它們的含義，明確它們的條件還有一定的困難，比如有些學(xué)生常把“邊角邊”與“邊邊角”混為一談，把“角邊角”與“角角邊”混為一談. 教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明白分別對(duì)應(yīng)相等的含義，在步步說(shuō)理中培養(yǎng)學(xué)生的幾何語(yǔ)言能力.

例2 “全等三角形判定定理的應(yīng)用”教學(xué)節(jié)選

如圖2所示，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上，且AE=BF，DE=CF，CF∥DE. 求證：AC∥BD.

師：在圖2所示的圖形中，如何證明AC∥BD？為什么？

生：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，當(dāng)∠A=∠B時(shí)，AC∥BD.

師：∠A，∠B分別在哪個(gè)三角形中？這兩個(gè)三角形能直接證明全等嗎？為什么？

生：∠A，∠B分別在△ACF與△BDE中，這兩個(gè)三角形不能直接證明全等，因?yàn)锳E，BF不是△ACF，△BDE的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊DE，CF相等且平行，沒(méi)有對(duì)應(yīng)角相等的條件.

生：由“AE=BF”可得“AE+EF=BF+EF”，即AF=BE，由“CF∥DE”，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠DEB=∠CFA.又因?yàn)镈E=CF，根據(jù)兩邊分別對(duì)應(yīng)相等，且?jiàn)A角相等的的兩個(gè)三角形全等，得△ACF≌△BDE.根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得∠A=∠B，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得AC∥BD.

師：請(qǐng)同學(xué)們復(fù)述上述證明過(guò)程，請(qǐng)一位同學(xué)板演.

教學(xué)中，從所求證的結(jié)論出發(fā)，尋求使結(jié)論成立的條件，采用倒追的形式，比如AC∥BD→∠A=∠B→△ACF≌△BDE→AF=BE，∠DEB=∠CFA→AE=BF，CF∥DE.學(xué)生明確了解題思路，然后運(yùn)用綜合法書(shū)寫(xiě)解題步驟，為后期學(xué)生解答與全等三角形的性質(zhì)與判定有關(guān)的問(wèn)題做好了鋪墊.

在圖形變換的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言表達(dá)能力

初中階段學(xué)習(xí)的圖形變換有四種，其中軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)屬于全等變換，圖形只是在位置方面發(fā)生變化，圖形的大小與形狀并沒(méi)有發(fā)生變化，相應(yīng)地對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)線段也沒(méi)有發(fā)生變化，這些都是全等變換的共性，那么，它們的特性是什么？雖然學(xué)生能從直觀上加以區(qū)分，但要掌握各種變換的概念、變換的性質(zhì)與作圖方法，學(xué)生很難做出準(zhǔn)確的描述. 在實(shí)際教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生通過(guò)大量的口頭訓(xùn)練，幫助學(xué)生抓住其中的關(guān)鍵詞，通過(guò)關(guān)鍵詞掌握各種變換方式的描述.

例3 “關(guān)于圖形變換的應(yīng)用”教學(xué)節(jié)選

如圖3所示，試說(shuō)明△A′B′C′是由△ABC通過(guò)怎樣的圖形變換或變換組合（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）得到的？

師：從△ABC到△A′B′C′，經(jīng)過(guò)了哪些圖形變換？

生：從△ABC變換到△A′B′C′，經(jīng)過(guò)了旋轉(zhuǎn)變換與平移變換.

師：在旋轉(zhuǎn)變換中，它的決定要素是什么？對(duì)于本圖又是如何旋轉(zhuǎn)變換的？

生：旋轉(zhuǎn)變換的決定要素是旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度，對(duì)于△ABC與△A′B′C′，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度是90度. 也就是說(shuō)讓△ABC先繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度.

師：在平移變換中，它的決定要素是什么？對(duì)于本圖又是如何平移變換的？

生：平移變換的決定要素是平移的方向與平移的距離. 對(duì)于△ABC與△A′B′C′，平移方向是先向下再向右，平移的距離分別是1格與5格.也就是說(shuō)，△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后的圖形，先向下平移1格，再向右平移5格.

師：請(qǐng)同學(xué)們用“先如何變換再如何變換”的形式，描述整個(gè)變換過(guò)程.

生：先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再將△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后的圖形，先向下平移1格，再向右平移5格. 可得△A′B′C′.

通過(guò)觀察圖形，從△ABC到△A′B′C′，需要經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)與平移兩種變換，但是如何詳細(xì)地描述這兩種變換，把變換的過(guò)程說(shuō)明白，需要教師多加引導(dǎo). 筆者通過(guò)抓住兩種變換的關(guān)鍵詞，如旋轉(zhuǎn)變換抓旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度，平移抓平移方向與平移距離，使學(xué)生很順利地描述了這兩種變換. 不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握變換特征描述變換過(guò)程時(shí)，思路會(huì)比較清晰，語(yǔ)言會(huì)比較流暢.

在平面幾何里，有許多特殊的語(yǔ)言工具，如平行與垂直、互余與互補(bǔ)、全等與相似、平移與軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱等. 在每一道習(xí)題的解答過(guò)程中，都需要用它們來(lái)進(jìn)行描述，實(shí)際上語(yǔ)言能力培養(yǎng)說(shuō)是前提，寫(xiě)是結(jié)果. 心理學(xué)家赫瑞特拉指出，當(dāng)一個(gè)人閱讀時(shí)可以記住50%，聽(tīng)別人講話時(shí)可以記住20%，觀察時(shí)可以記住30%，當(dāng)與他人交流時(shí)，可以記住自己所講內(nèi)容的70%［2］. 因此，培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言能力，必須讓學(xué)生多進(jìn)行口頭練習(xí)，在說(shuō)的過(guò)程中體會(huì)幾何語(yǔ)言，在說(shuō)的過(guò)程中把握幾何語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)而提高學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 紀(jì)明亮. 精確幾何語(yǔ)言表達(dá)? 把握幾何核心概念［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（03）：23-25.

［2］ 王斌. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間與幾何語(yǔ)言表達(dá)能力［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（26）：37-38.