裘秀琴 張良江

［摘 ?要］ 在中考復(fù)習(xí)中，基于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，針對一類問題進(jìn)行微專題教學(xué)研究，問題設(shè)計應(yīng)遵循從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的路徑進(jìn)行，在變化探究中抽象出問題的本質(zhì)，使學(xué)生習(xí)得探究一類問題的一般方法和思維路徑，發(fā)展學(xué)生的思維等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，落實學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)；微專題；一線三等角；構(gòu)造；化斜為直

引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2021年征求意見稿）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）明確提出了關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的相關(guān)要求，在初中學(xué)段，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及構(gòu)成主要有：①會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；②會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；③會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)努力促使學(xué)生“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)的過程，發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣和理性精神”. 與此同時，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳關(guān)于“雙減”的意見中，強(qiáng)調(diào)要大力提升教育教學(xué)質(zhì)量，確保學(xué)生在校內(nèi)學(xué)足學(xué)好. 這就指示教師應(yīng)著力提高課堂效益，所以提高初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)課的效益尤其迫切. 筆者認(rèn)為，在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中就某些相似、相近、相關(guān)的問題進(jìn)行微專題的整合與設(shè)計，是提高復(fù)習(xí)課效益的重要抓手. 微專題的整合與設(shè)計應(yīng)基于一類問題，遵循從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的路徑進(jìn)行，基于不同的知識背景展開研究，在變化探究中善于提取出問題的本質(zhì). 同時，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對問題條件進(jìn)行整合分析、合情猜想，合理建構(gòu)并及時歸納總結(jié)，習(xí)得探究問題的一般方法和思維路徑. 學(xué)生在數(shù)學(xué)新情境下的進(jìn)一步探索，其實就是“再發(fā)現(xiàn)”的過程. 筆者試以“一線三垂直”型基本圖形的微專題復(fù)習(xí)設(shè)計為例，結(jié)合多年教學(xué)實踐進(jìn)行詳細(xì)解析.

教學(xué)案例呈現(xiàn)與分析

1. 關(guān)注母題，重視基本圖形

浙教版八年級上冊第2章“2.8 直角三角形全等的判定”書本習(xí)題第2題第一次出現(xiàn)了“一線三垂直”型基本圖形.

已知：如圖1所示，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC. 求證：△ABP≌△PDC.

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)主要的外顯形式，是實施課堂教學(xué)主要的素材來源. 教師要善于從教材中挖掘體現(xiàn)思想、探究性的材料，幫助學(xué)生積累基本圖形，感悟數(shù)學(xué)思想. 教師引導(dǎo)學(xué)生從書本習(xí)題中抽象“一線三垂直”型基本圖形（如圖1所示），并探究其相關(guān)變式，認(rèn)識到其建模本質(zhì)是過直角頂點引一條直線，分別過兩銳角頂點向該直線引垂線段，即可構(gòu)造出“一線三垂直”型基本圖形，得到一對全等三角形（如圖2所示）；通過進(jìn)一步探究，將條件一般化，使學(xué)生再認(rèn)識“一線三垂直”型基本圖形只是特殊情況，它的實質(zhì)是由“一線三等角”構(gòu)造形狀相同的三角形（全等或相似，相似為一般情形，全等為特殊情形）（如圖3所示）.

2. 自然聯(lián)想，構(gòu)建基本圖形

例1 如圖4所示，已知點A（-4，4），一個以A為頂點的45°角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸相交于E，F(xiàn)，連接EF. 當(dāng)△AEF是直角三角形時，點E的坐標(biāo)是________.

教學(xué)分析 由于沒有明確E，F(xiàn)誰為直角頂點，故需要進(jìn)行分類討論. 不論E，F(xiàn)誰為直角頂點，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)本題已具備“一線三垂直”型中的“一垂直”，故要向坐標(biāo)軸作垂線，構(gòu)造其余兩垂直線，得到一對全等三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等來解決問題. ①當(dāng)∠AEF=90°時，如圖5所示，△ADE≌△EOF（或如圖6所示，△ADE≌△ECF），得到點E的坐標(biāo)為（4，0）；②當(dāng)∠AFE=90°時，得到點E的坐標(biāo)為（8，0）. 例1從簡單的圖形入手，讓學(xué)生初步感受到，在坐標(biāo)系的背景下，構(gòu)造“一線三垂直”型基本圖形，可化斜線段為水平或豎直的線段來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生在簡單的背景下識別、構(gòu)造基本圖形的能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，為進(jìn)一步處理復(fù)雜圖形問題做好準(zhǔn)備.

3. 變換背景，去迷霧探本質(zhì)

（1）函數(shù)背景下的探究.

例2 如圖7所示，拋物線y=x2-6x+8與x軸相交于A，B兩點，過點B的直線與拋物線相交于點C（C在x軸上方），過A，B，C三點的☉M滿足∠MBC=45°，則點C的坐標(biāo)為________.

教學(xué)分析 相較例1而言，例2增加了圓和拋物線這樣的背景，情境相對復(fù)雜，需要利用拋物線的軸對稱性得到AF=FB=1，利用圓的半徑相等得到∠MCB=∠MBC=45°，從而得到∠CMB=90°，這樣就出現(xiàn)了“一線三垂直”中的“一垂直”. 學(xué)生自然會聯(lián)想到構(gòu)造另外的“兩垂直”，得到△EMC≌△FBM，可得EM=FB=1，EC=FM. 令EC=FM=a，于是點C的坐標(biāo)為（3+a，a+1），利用點C在拋物線y=x2-6x+8上，得方程（3+a）2-6（3+a）+8=1+a，解得a=2，a=-1（不符合題意，舍去）. 故點C的坐標(biāo)為（5，3）.

例2的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步感受到，利用“一線三垂直”“化斜為直”處理線段長度問題，培養(yǎng)學(xué)生在相對復(fù)雜的背景中識圖、構(gòu)圖的能力，以及綜合分析問題和解決問題的能力.

例3 將正方形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得正方形的兩個頂點A，B恰好落在函數(shù)y=的圖像上，求正方形的面積.

教學(xué)分析 例3在反比例函數(shù)的背景下，結(jié)合了旋轉(zhuǎn)變換，學(xué)生需要一定的直觀想象能力，構(gòu)造當(dāng)正方形的兩個頂點恰好落在反比例函數(shù)圖像上的情形. 當(dāng)A，B兩點落在反比例函數(shù)圖像上時（如圖10所示），∠BAO=∠ABE=90°，出現(xiàn)了“一線三垂直”中的“一垂直”，得到△AOG≌△BAH，可得BH=AG，AH=OG. 令BH=a，AH=b，則點A的坐標(biāo)為（b，a），利用矩形對邊相等得到FH=OG=b，得到點B的坐標(biāo)為（b-a，a+b）. 因為點A，B在反比例函數(shù)y=的圖像上，可得方程組ab=4，

（a+b）（b-a）=4，解得a2

=-2+2，

b2

=2+2，故S=a2+b2=4. 同時，解決本題需要學(xué)生具備較強(qiáng)的運算能力和利用整體思想處理復(fù)雜代數(shù)問題的意識，從而充分體驗數(shù)形結(jié)合思想.

例4 如圖11所示，點A是反比例函數(shù)y=（x>0）的圖像上一點，點B的坐標(biāo)為（0，3），點C在x軸正半軸上，且△ABC是等邊三角形，則點A的坐標(biāo)為________.

教學(xué)分析 例4沒有現(xiàn)成的直角，基本圖形缺失，不易形成思路. 學(xué)生可能會嘗試過點A向坐標(biāo)軸作垂線，試圖表示點A的坐標(biāo)，但由于未知量過多，而且這些量之間也沒有必然的聯(lián)系，更沒有發(fā)揮等邊三角形的功能，故這條路徑比較艱難.

雖然思路受挫，但通過前面3個例題的鋪墊，學(xué)生逐漸認(rèn)識到利用“一線三垂直”型基本圖形可以“化斜為直”，構(gòu)造相似三角形或全等三角形解決問題. 從整體的角度來看，從等邊三角形容易聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形. 故嘗試過B作BE⊥BC交CA的延長線于點E，過E作EF⊥y軸于F（如圖12所示），構(gòu)造以點B為直角頂點的“一線三垂直”，得到△OCB∽△FBE. 頂角為30°的直角三角形的兩條直角邊BE∶BC=∶1，則EF=9；令OC=t，則BF=t，則OF=3+t. 所以點E的坐標(biāo)為（9，3+t）. 由A是斜邊CE的中點，得點A的坐標(biāo)為，，將其代入反比例函數(shù)解析式可解.

（2）特殊四邊形背景下的探究.

例5 如圖13所示，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC邊上任意一點，分別作D關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，作平行四邊形AEGF，F(xiàn)G交BC于點H，則BH的最小值為________.

教學(xué)分析 首先，學(xué)生要明白這些點是怎么運動的. 例5中的動點是點D，BD的變化會引起B(yǎng)H隨之變化. 故不妨設(shè)BD=x，目標(biāo)是要建立BH關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. 學(xué)生仔細(xì)觀察圖形結(jié)構(gòu)，從聯(lián)系的角度想到弦圖，補(bǔ)全圖形（如圖14所示）. 由對稱性得D，B，E三點共線，且DB=BE=x，利用三角形全等的性質(zhì)以及矩形對邊相等可得EN=MG=CM=x，CF=3-x；再由△FCH∽△FMG，得到方程=，于是CH=，BH=3-CH=3-=x2-x+3，求得BH的最小值為.

在例5中，學(xué)生不僅能清晰地識別題圖的結(jié)構(gòu)特征，而且進(jìn)一步認(rèn)識到了“一線三垂直”的本質(zhì)是構(gòu)造相似三角形或全等三角形，再由相似或全等的性質(zhì)借助方程或函數(shù)解決幾何求值或幾何最值問題. 數(shù)學(xué)建模能力得以彰顯與提升，促進(jìn)了高階思維的發(fā)展.

例6 Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角板，且BE=DG，按圖15的方式恰好放置在矩形ABCD內(nèi)，點E，G分別在邊AD，BC上，點B，D恰好與矩形的頂點重合，則的值為（ ?）

A.B.

C. D.

教學(xué)分析 設(shè)計驅(qū)動性問題啟發(fā)學(xué)生思考，自然聯(lián)想，構(gòu)造基本圖形，利用兩塊三角板的邊之間的比例關(guān)系，結(jié)合三角形全等和相似的性質(zhì)解決問題.

問題1：兩塊三角板按圖15的方式放置，你會聯(lián)想到構(gòu)造什么基本圖形？

問題2：這兩塊三角板的邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題3：45°和30°的三角板的邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在驅(qū)動性問題的推動下，學(xué)生的思維自然成長，解法自然生成. 從條件來看，過點作FP⊥BC，交BC，AD于點P，H，出現(xiàn)了兩處“一線三垂直”型基本圖形，一是△DFH≌△FGP，二是△HFE∽△AEB. 為了方便計算，建議學(xué)生按照頂角為30°的直角三角形直角邊的比值關(guān)系設(shè)置未知數(shù). 不妨設(shè)FH=，DH=3，則AE=3，AB=（3x+1），利用兩個三角形的邊的數(shù)量關(guān)系BE=DG可列出方程32+3（x+1）2=6+6x2，可得x=+1，從而得=.

（3）去蕪存精，感悟通性通法.

例7 【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖17①，∠ABC=∠ACD=∠CED=α，求證：△ABC∽△CED.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖17②，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的點，將菱形ABCD沿EF翻折，點A恰好落在對角線DB上的點P處. 若PB=2PD，求的值.

【拓展提高】

（3）如圖17③，在矩形ABCD中，點P是AD邊上的一點，連接PB，PC，若PA=2，PD=4，∠BPC=120°，求AB的長.

教學(xué)分析 （1）（2）兩問從特殊的“一線三垂直”到一般化的“一線三等角”，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例，不難解決問題. 第（3）問沒有現(xiàn)成的“一線三等角”可用，但由于受前面問題的啟發(fā)，學(xué)生將前面例題中習(xí)得的方法進(jìn)行了遷移，嘗試構(gòu)造“一線三等角”，利用相似三角形的性質(zhì)解決線段長度問題. 即在AD上取點E，F(xiàn)，如圖17④所示，使∠ABE=∠DCF=30°，則∠BEP=∠BPC=∠PFC=120°，得到△BEP∽△PFC，所以=. 設(shè)AB=CD=m，則=，解得m=-或--（舍去），所以AB=-. 例7從特殊的“一線三垂直”到一般化的“一線三等角”，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、推理和計算，感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，歸納解決問題的通性通法，提煉一般的思維路徑.

感悟與思考

1. 立足基本圖形，合理靈活建構(gòu)

教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注課本基本圖形的提煉，熟練掌握圖形的特征，加強(qiáng)圖形建構(gòu)教學(xué)，精心設(shè)計典型例題，幫助學(xué)生積累圖形建構(gòu)的基本策略與經(jīng)驗. 學(xué)生認(rèn)識與理解基本圖形，其思維是從具體到抽象的；而能夠辨識和應(yīng)用基本圖形，其思維是從抽象到具體的. 有些題目給出的圖形比較復(fù)雜，或者由于基本圖形缺失（或隱藏）部分元素，往往具有一定的迷惑性，教師要教會學(xué)生從四個角度思考輔助線的添加方法：整體的角度、聯(lián)系的角度、條件有效利用的角度、補(bǔ)充完整圖形的角度. 比如在正方形中補(bǔ)全圖形聯(lián)想到弦圖，由等邊三角形聯(lián)想到直角三角形，等等. 本節(jié)微專題在圓、三角形、正方形、矩形等不同的幾何圖形及函數(shù)背景下，既關(guān)注相等的角度這個“數(shù)”，又構(gòu)造“一線三等角”這個“形”，然后結(jié)合三角形全等或相似的性質(zhì)，利用邊的數(shù)量關(guān)系，在這樣的“數(shù)形結(jié)合”的過程中解決問題.

2. 關(guān)聯(lián)不同背景，善于聯(lián)想遷移

在當(dāng)前的“雙減”背景下，“題海戰(zhàn)術(shù)”更無立足之地，大量重復(fù)地“刷題”，不僅會扼殺學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究的興趣，而且只要題目稍加變換，學(xué)生就會束手無策. 本節(jié)微專題，站在學(xué)生思維能力發(fā)展的角度，在反比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、四邊形和三角形等不同的背景下，設(shè)計類型一致、由淺入深的一系列問題，解決每個問題學(xué)生都要聯(lián)系背景下的相關(guān)知識. 如函數(shù)的背景下既要善于利用函數(shù)圖像的直觀性，又要適時利用“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合. 在特殊四邊形的背景下，識別或構(gòu)造“一線三等角”型基本圖形，利用全等三角形或相似三角形邊和角的關(guān)系解決問題，使學(xué)生學(xué)會有序思考、理性探究，思維發(fā)展拾階而上，使問題解決自然流暢.

3. 積累活動經(jīng)驗，提升關(guān)鍵能力

課堂是教學(xué)的主陣地，解題是數(shù)學(xué)教與學(xué)的重要載體. 數(shù)學(xué)解題就是尋找問題的答案，亦即尋找條件與題目結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理，本質(zhì)是探索和發(fā)現(xiàn). 本節(jié)微專題設(shè)置的例題由易到難、層層深入、步步推進(jìn)，提升學(xué)生識圖和構(gòu)圖的能力，積累活動經(jīng)驗. 通過本節(jié)微專題的學(xué)習(xí)，我們不僅要讓學(xué)生會做一道題、一類題，而且使其碰到一個新的問題時，會運用類比、轉(zhuǎn)化等方法來分析問題，自己搭建臺階，尋找突破口. 也就是說，教師教會學(xué)生解決當(dāng)下的數(shù)學(xué)問題，目的是創(chuàng)造條件讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中優(yōu)化思維方式、發(fā)展思維能力，最終提升數(shù)學(xué)能力，使學(xué)科核心素養(yǎng)落實有真正的著力點.