變“學(xué)”為“做”，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更深刻

吳徽

[摘 要]“做數(shù)學(xué)”是一種實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目的的有效方式，也是一種改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式的有效途徑。教師要變“學(xué)數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中，強化感知體驗、積累活動經(jīng)驗、化解學(xué)習(xí)難點、驗證數(shù)學(xué)猜想。

[關(guān)鍵詞]動手操作;活動經(jīng)驗;做數(shù)學(xué)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0086-03

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間，去思考與實踐、去探索與交流、去猜想與驗證、去觀察與實驗。這個過程就是變“學(xué)數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”的過程。

“做數(shù)學(xué)”是實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目的的有效方式。教師在教學(xué)中要讓學(xué)生“知行合一”，讓學(xué)生先理解數(shù)學(xué)，再體驗數(shù)學(xué)，最后應(yīng)用數(shù)學(xué)。

“做數(shù)學(xué)”的落腳點是“做”，這意味著數(shù)學(xué)活動以“做”為支撐點。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生尋找、挖掘?qū)W習(xí)材料和工具，使其在動手又動腦中理解知識、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題、提升素養(yǎng)。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生要善于觀察、思考、表達(dá)。多種感官協(xié)作，能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、分析問題、歸納規(guī)律。在這些數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解將更深刻，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也將更深入。

“做數(shù)學(xué)”亦是改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式的有效途徑。實際的操作活動為教師觀察學(xué)生的表現(xiàn)提供了條件，還可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

筆者在實際教學(xué)中，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，探索不同的方式，組織學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，收到了較好的效果。

一、在“做數(shù)學(xué)”中強化感知體驗

大量的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐告訴我們，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，往往不是一聽就懂，也不是一教就會，要想學(xué)習(xí)更深刻，就必須在操作中獲得充分的體驗。在“做數(shù)學(xué)”中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的探究和辨析。學(xué)生在深入研究中，積累數(shù)學(xué)的感知，強化數(shù)學(xué)的體驗。學(xué)生只有親身經(jīng)歷，才能獲得真實的體驗。

在“空間與圖形”領(lǐng)域里，有著不同類型的量，這些量的意義和它們之間的進(jìn)率也不盡相同。因為自身認(rèn)知水平的局限、經(jīng)驗儲備的不足，學(xué)生一開始很難建立起對各種量的正確概念。不少教師在實際教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)僅僅通過講解、介紹或練習(xí)，對學(xué)生理解和掌握“量”的幫助是有限的。對此，教師應(yīng)該多提供適宜的操作條件，從觸覺或視覺上增強學(xué)生對物體的輕重、大小、快慢、多少等的感性認(rèn)知，同時培養(yǎng)學(xué)生在具體情境中自覺地運用量的意識，發(fā)展量感。

例如，在“升與毫升”一課中，了解到學(xué)生對“毫升”的概念不夠了解，筆者便安排了一個“幾口能喝完100毫升的水”的活動。筆者選了男女生各一人進(jìn)行演示。由于是當(dāng)場演示，所以女生顯得很拘謹(jǐn)，只是抿了一口水，而男生又顯得太刻意，喝了很多，嚴(yán)重“失真”。演示結(jié)束后，其他學(xué)生紛紛表示也要試一試，他們覺得自己說不定一大口就能喝完這100毫升水?；顒記]有達(dá)到筆者的目的，怎么改進(jìn)呢？筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的杯子上也有刻度，而且是透明的，于是讓學(xué)生在課后分組實驗，并記錄下每人喝水的數(shù)據(jù)，再算一算喝一口水大約是多少毫升。

這個案例中，“幾口能喝完100毫升的水”這樣的生活事例與學(xué)生的關(guān)聯(lián)很密切，一下子就拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離。在這種有趣的情境中，學(xué)生學(xué)習(xí)更主動，思維更活躍。學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中更準(zhǔn)確地建立了“毫升”的量感，也更深刻地明確了“毫升”的含義。這樣的數(shù)學(xué)情感既合情又全面。在不知不覺中，學(xué)生把握了“毫升”的知識內(nèi)涵，突破了“毫升”的學(xué)習(xí)難點。在“做數(shù)學(xué)”中，學(xué)生感知了數(shù)學(xué)知識與生活的聯(lián)系很緊密，同時明白數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用很廣泛。

二、在“做數(shù)學(xué)”中積累活動經(jīng)驗

小學(xué)生的動作思維占優(yōu)勢，他們“聽過，就忘記了;看見，就記住了;做過，就理解了”，蒙臺梭利的這句教育名言很好地詮釋了數(shù)學(xué)知識和技能的獲得與操作之間的關(guān)系。有實驗也證明了這一點——聽過的知識人們只能記住10%，看過的能記住15%，而操作過的就能記住80%。

教學(xué)中，教師在處理教材時要善于運用實踐的眼光，讓抽象的數(shù)學(xué)知識融入數(shù)學(xué)活動中。數(shù)學(xué)知識和技能的獲得需要借助教具或?qū)W具，而動手操作能促進(jìn)學(xué)生的理解。因此教師在課堂中引導(dǎo)學(xué)生動手制作教具或?qū)W具，促進(jìn)了學(xué)生對知識的理解，提高了學(xué)生的動手能力，還發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，彰顯了數(shù)學(xué)的育人價值。

教師可以安排一些操作活動，“動手做”就是其中一種重要的數(shù)學(xué)操作活動。例如，一年級有一節(jié)活動課“七巧板”，教師就可以安排“制作七巧板”的活動。在課堂上，教師可以先簡單地介紹制作七巧板的方法和步驟（見圖1），再要求學(xué)生回家后照樣子制作七巧板。

在制作七巧板的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了用直尺畫線、用彩筆涂色、用剪刀剪紙的過程。他們逐漸掌握了用直尺畫線的方法，認(rèn)識了平均分一條線的方法，學(xué)會了使用彩筆均勻涂色，練習(xí)了使用剪刀剪直線的技能。學(xué)生用自己親手制作的七巧板拼出了各種圖形，但是他們發(fā)現(xiàn)，想要用七巧板拼出指定的圖案有一定的難度，而這正是玩七巧板的樂趣。教師再介紹用七巧板可以拼出一千多種圖案，學(xué)生更是驚嘆連連，被激發(fā)起更強烈的玩七巧板的興趣，這時，七巧板由學(xué)具變成了玩具。在制作七巧板和玩七巧板的過程中，學(xué)生體會到了動手操作的樂趣，探尋到了七巧板的秘密，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行?！贝蟛糠?jǐn)?shù)學(xué)知識都無法只通過講解來傳授，需要讓學(xué)生親身經(jīng)歷。數(shù)學(xué)的智慧在于數(shù)學(xué)知識的運用、數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累，教師要努力提供操作的機會和材料，讓學(xué)生在操作中運用多種感官，去感悟數(shù)學(xué)知識，去積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

三、在“做數(shù)學(xué)”中突破學(xué)習(xí)難點

學(xué)習(xí)難點即學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的難度大的數(shù)學(xué)知識，也可以稱為學(xué)生接受知識的困難點或解決問題的不易點。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要完成教學(xué)目標(biāo)，就必須講清重點、突破難點，從而讓學(xué)生厘清頭緒。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點有兩個方面：一是教材內(nèi)容難度大，二是學(xué)生知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力不足。要突破學(xué)習(xí)難點，教師必須先尋找恰當(dāng)?shù)那腥朦c，分解難點，設(shè)計有梯度的問題，創(chuàng)設(shè)生動的情境，設(shè)計有趣的活動，合理運用多媒體技術(shù)，由易及難，步步推進(jìn)。教學(xué)中，教師提供充足的動手實踐的時間和空間，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、親自體會，這有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、提高探究能力、突破認(rèn)知障礙，從而化解學(xué)習(xí)難點。

例如，教學(xué)“認(rèn)識鐘表”一課。鐘表是學(xué)生熟悉的計時工具，但認(rèn)識鐘面上的時間對學(xué)生來說是陌生的知識。說鐘表熟悉，是因為它很常見;說陌生，是因為鐘面刻度與常見的直尺刻度差異很大，學(xué)生難以把握鐘面上時針、分針和秒針轉(zhuǎn)動速度之間的相互關(guān)系。如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生制作鐘面模型，就能讓學(xué)生在此過程中，認(rèn)識鐘面上時針、分針和秒針之間的關(guān)系，這對教學(xué)效果的提高很有幫助。因此，筆者讓學(xué)生利用周末制作鐘面模型，再帶到學(xué)校進(jìn)行交流。

學(xué)生制作的鐘面各不相同：有的用硬紙板做底板，有的用罐頭蓋子做底板;有的自己畫上刻度再寫上數(shù)字，有的用電腦打印好刻度再粘貼;有的還請家長幫忙裝上電池，使指針可以走動……筆者讓學(xué)生結(jié)合制作的過程，討論鐘面的基本結(jié)構(gòu)（刻度、數(shù)字、大格、小格等）、三種指針之間的關(guān)系。在交流中，學(xué)生能達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

在這個案例中，學(xué)生經(jīng)歷了操作、觀察、嘗試等過程。學(xué)生調(diào)動多種感官，通過自己動手制作鐘表模型，突破了學(xué)習(xí)難點，也深刻地理解了鐘表的相關(guān)知識。在制作鐘面的過程中，學(xué)生的基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗逐漸生成，感性的經(jīng)驗逐步上升為理性的經(jīng)驗。這種數(shù)學(xué)經(jīng)驗是來源于生活卻又高于生活的經(jīng)驗。“做數(shù)學(xué)”不僅可以讓學(xué)生反思獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，還可以讓他們整理獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，更可以讓學(xué)生反思認(rèn)知的過程，從而積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，便于突破難點。

四、在“做數(shù)學(xué)”中驗證數(shù)學(xué)猜想

波利亞說過：“自我發(fā)現(xiàn)是學(xué)習(xí)知識的最佳途徑，自我發(fā)現(xiàn)對知識的理解最深刻，對知識間聯(lián)系、知識本質(zhì)的掌握最深刻?！?學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的基本途徑之一就是動手操作。因此，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計操作活動，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，創(chuàng)設(shè)探究式的問題情境，讓學(xué)生產(chǎn)生合情合理的猜想，并進(jìn)行驗證。猜想是學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行的數(shù)學(xué)推理。恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)猜想可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的知識儲備，訓(xùn)練學(xué)生的分析、判斷和推理等能力，幫助學(xué)生提出問題并解決問題，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的同時，培養(yǎng)數(shù)感和空間觀念。

例如，“圓的面積公式”一課，全課圍繞“怎么借助學(xué)過的知識來推導(dǎo)出圓的面積公式”這一問題展開。學(xué)生根據(jù)知識的最近發(fā)展區(qū)，想到用“數(shù)格子”的方法來“數(shù)出”圓的面積。操作后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用“數(shù)格子”的方法會出現(xiàn)較大的誤差，不夠精確。因此，學(xué)生又產(chǎn)生了探究“如何化曲為直”的想法。圓是曲線圖形，而以前學(xué)過的圖形都是直線圖形，怎么把圓變成直線圖形呢？教師可以設(shè)計如下的任務(wù)單。

回憶以前探究平行四邊形、三角形和梯形的面積公式的推導(dǎo)過程：平行四邊形通過剪拼，變成（? ? ）形;用兩個完全一樣的三角形拼成（? ? ）形;用兩個完全一樣的梯形拼成（? ? ）形。那么，圓通過什么操作可以拼成什么圖形？

回憶以前學(xué)習(xí)的圖形面積公式的推導(dǎo)，學(xué)生先把圓等分，再拼成近似的平行四邊形、三角形或梯形。不同的小組分成的份數(shù)不同（如4份、8份等），通過對比拼成的圖形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分成的等份越多，拼成的圖形的邊就越直。受到這一發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)，學(xué)生把圓等分成更多份，拼成的圖形更接近平行四邊形（長方形）、三角形或梯形。利用拼接好的圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生探究“現(xiàn)在的圖形與原來的圓有哪些相同點和不同點”“現(xiàn)在的圖形面積怎么算”，學(xué)生利用平行四邊形（長方形）的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式。

在這個案例中，學(xué)生主動參與、動手操作、用心觀察、用腦思考，根據(jù)有限的材料發(fā)揮了無限的想象力。學(xué)生在教師有意識的引導(dǎo)下，驗證猜想、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，了解到轉(zhuǎn)化、推理、極限等數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步提升。

五、在“做數(shù)學(xué)”中延伸課外實踐

因為課堂教學(xué)有著時間和空間的限制，在課堂中不可能完成所有的實踐活動，所以需要教師向課外延伸，讓“課內(nèi)實踐”轉(zhuǎn)為“課外實踐”。在課外，學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)問題，視野和能力得到充分的發(fā)展。“做數(shù)學(xué)”成為超越時間和空間的學(xué)習(xí)方式，也成為超越時間和空間的學(xué)習(xí)意識，能有機地將課內(nèi)和課外連接起來。

筆者在教學(xué)中，從三年級開始，每周都有意識地根據(jù)本周的學(xué)習(xí)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生寫一篇數(shù)學(xué)周記。這就要求學(xué)生留心觀察生活，將觀察到的現(xiàn)象與學(xué)習(xí)的知識相聯(lián)系，從而提煉出數(shù)學(xué)問題。長期的積累，不僅有助于學(xué)生語言表達(dá)能力的提高，還有助于他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。

例如，在與“毫升的認(rèn)識”相關(guān)的周記中，有許多生動的實例：“我發(fā)現(xiàn)生活中‘毫升比比皆是。比如，媽媽的化妝品中，爽膚水和乳液的含量都是120毫升/瓶，而面霜卻只是30毫升/瓶;爸爸喝的紅酒瓶上寫著‘凈含量750毫升，而白酒瓶上寫著‘凈含量500毫升，爸爸說這白酒是1斤的，于是我產(chǎn)生了疑問，500毫升就是1斤嗎？”

數(shù)學(xué)周記的交流，教師跨學(xué)科的分析，讓學(xué)生充分感受到“做數(shù)學(xué)”的魅力，從而更積極地投入數(shù)學(xué)的探究活動中。

綜上所述，教師應(yīng)從關(guān)注學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，讓學(xué)生“做數(shù)學(xué)”?！白鰯?shù)學(xué)”的活動可以分為四類：直接來源于生活的數(shù)學(xué)活動、間接來源于生活的數(shù)學(xué)活動、純粹的數(shù)學(xué)活動、有意境的數(shù)學(xué)活動。在“做數(shù)學(xué)”中，學(xué)生經(jīng)歷了獲得數(shù)學(xué)知識、積累數(shù)學(xué)技能、了解數(shù)學(xué)思想和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程。在“做數(shù)學(xué)”中，學(xué)生強化了感知體驗，積累了活動經(jīng)驗，突破了學(xué)習(xí)難點，驗證了數(shù)學(xué)猜想。在這個過程中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、合作分析問題、互助解決問題，從“傾聽者”變?yōu)椤皡⑴c者”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生不斷經(jīng)歷著發(fā)現(xiàn)、探究、猜想、驗證等過程，收獲著成功的喜悅。

（責(zé)編 楊偲培）