牛偉

[摘? 要] 應(yīng)用分類討論思想不僅有利于幫助學(xué)生快速形成解題思路，提高解題效率，而且有利于培養(yǎng)思維的全面性和深刻性，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生的核心素養(yǎng). 文章闡述了分類討論思想的意義及作用，也談了幾點(diǎn)存在的不足，教學(xué)中可以有針對性地采取一些行之有效的應(yīng)對策略來提升和強(qiáng)化學(xué)生的分類意識，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)習(xí)能力提升.

[關(guān)鍵詞] 分類討論;核心素養(yǎng);分類意識

談起分類討論思想大家都不陌生，其是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)遇到復(fù)雜的或存在不確定因素的問題時，常常需要將問題進(jìn)行拆分，轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的基礎(chǔ)性問題，進(jìn)而通過完成基礎(chǔ)性問題的解答最終完成求解. 高中學(xué)段，數(shù)學(xué)知識從難度到容量都有了很大程度的提升，為了確保學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解，靈活運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)求解問題，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重分類討論思想的滲透. 然從學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋來看，部分學(xué)生的分類意識不強(qiáng)，因此在應(yīng)用分類討論思想解決問題時顯得有些生疏，為了引起師生對分類討論思想的重視，筆者從分類討論思想的作用出發(fā)，針對分類討論思想中出現(xiàn)的一些問題，淺談了幾點(diǎn)應(yīng)用策略，供參考！

[?]意義及作用

分類討論在學(xué)習(xí)和生活中都有重要的作用，以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為例，當(dāng)所研究的數(shù)學(xué)問題存在多種可能性不能按照統(tǒng)一的解決方案來求解時，往往需要按照所有出現(xiàn)的可能性進(jìn)行分類討論，將問題劃分為若干小問題，將小問題的結(jié)果進(jìn)行整合、總結(jié)和歸納，最終得到完整的結(jié)果. 從分類過程可以看出，通過分類將問題進(jìn)行拆分，使復(fù)雜的問題更具條理化、系統(tǒng)化，便于學(xué)生更加深入地研究. 同時，通過分類討論有利于培養(yǎng)思維的縝密性和綜合性，更能訓(xùn)練學(xué)生的探究能力和概況能力. 因此，學(xué)會應(yīng)用分類討論思想解決問題，將會大大提高學(xué)生的思維水平.

在高中解題教學(xué)中，因?qū)W生的思維存在差異，故觀察問題的角度會有所不同，解題時可能出現(xiàn)不同的分類情況，這樣在一定程度下可以拓展學(xué)生的解題思路. 同時，應(yīng)用分類討論思想需要嚴(yán)格遵照分類原則，可以有效避免學(xué)生解題時出現(xiàn)“丟三落四”的現(xiàn)象，培養(yǎng)思維的縝密性. 另外，問題分類后可能會應(yīng)用不同的知識進(jìn)行求解，便于學(xué)生知識體系的建立和完善，促進(jìn)學(xué)生綜合能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提升.

可見，應(yīng)用分類討論思想在提升學(xué)生解題能力、發(fā)展學(xué)生思維水平、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)上有著重要的現(xiàn)實(shí)意義，應(yīng)引起師生足夠的重視.

[?]問題及不足

雖然分類討論思想作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效工具，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了足夠的重視，但其在教學(xué)中還存在一些不足. 從教學(xué)反饋上可以看出，學(xué)生的分類意識不強(qiáng)，有時忽視分類討論，有時因分類不當(dāng)而造成遺漏或重復(fù)，有時不需要分類討論的問題卻強(qiáng)行進(jìn)行分類，等等，從而在求解時走了很多彎路. 那么，是什么原因使學(xué)生在分類時出現(xiàn)了誤區(qū)呢？筆者認(rèn)為，首先，教學(xué)中缺乏系統(tǒng)的專項(xiàng)練習(xí). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師只關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透作用，而未經(jīng)歷后期的強(qiáng)化和提煉，使得學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)不夠系統(tǒng)化，所以并沒有形成下意識的思考，并沒有潛移默化地形成能力. 其次，教師在選題時針對性不強(qiáng)，缺乏一定的深度，進(jìn)而使學(xué)生分類時難以找到分類標(biāo)準(zhǔn)，并未理清分類的真正目的，使分類過于盲目和隨機(jī)，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性. 最后，教師在分類討論問題的設(shè)計(jì)上過于保守，解題思路過于機(jī)械，難以激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生缺乏分類探究的主動性，這樣就難以發(fā)揮分類討論的優(yōu)勢，學(xué)生也難以提升學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[?]應(yīng)用策略

1. 準(zhǔn)確分類確保討論全面、有序

科學(xué)合理的分類是實(shí)施分類討論的首要條件，只有保證分類的準(zhǔn)確性、層次性、有序性和全面性，才能避免因分類不當(dāng)而造成的錯解. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分類. 例如，面對分類題時，首先根據(jù)已知條件確定分類標(biāo)準(zhǔn)，在討論同一問題時必須制定統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，確保既能涵蓋所有情況又能做到不重復(fù)、不遺漏，使每個層次都清晰、有序，從而使討論更加全面、具體，減少錯誤率.

例1 求y=x2+4x（x≤-2），

（x>-2）的值域.

分析例1的函數(shù)表達(dá)式容易發(fā)現(xiàn)，在定義域不同的情況下，函數(shù)解析式不同，因此求值域時需要根據(jù)定義域的范圍進(jìn)行分類討論：當(dāng)x≤-2時，y≥-4;當(dāng)x>-2時，y>-1. 所以該函數(shù)的值域?yàn)閧yy≥-4或y>-1}，即{y

y≥-4}.

本題是一道基礎(chǔ)題，引入此題的目的是讓學(xué)生理解為何分類，按照什么標(biāo)準(zhǔn)分類，用簡單的、熟悉的內(nèi)容進(jìn)行激發(fā)，便于學(xué)生理解. 在運(yùn)用分類討論時，確保分類的準(zhǔn)確性和全面性是保證分類實(shí)施的前提和關(guān)鍵. 因此，分類問題時應(yīng)抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)，找準(zhǔn)分類參數(shù)，進(jìn)行科學(xué)分類，保證求解過程有序高效.

2. 立足基礎(chǔ)確保討論合理有效

在高中的一些概念、公式、定理中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，因此教學(xué)時要利用好這些基礎(chǔ)知識，通過對基礎(chǔ)內(nèi)容的挖掘、抽象，達(dá)到深化理解、夯實(shí)基礎(chǔ)的目的. 然在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中部分學(xué)生好高騖遠(yuǎn)，不重視“雙基”，忽視了公式中的一些限定條件，從而出現(xiàn)了公式濫用的情況. 在分類討論中亦是如此. 由于學(xué)生的基礎(chǔ)知識不扎實(shí)，分類時缺乏一定的邏輯性，出現(xiàn)了模棱兩可的情況，甚至討論同一問題時應(yīng)用了不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，使分類出現(xiàn)了重復(fù)和遺漏，陷入了分類誤區(qū). 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須立足基礎(chǔ)，只有這樣才能確保討論合理有效.

例2 在數(shù)列{a}中，a=1，a+2a+3a+…+na=a（n∈N*），求通項(xiàng)公式a.

由已知容易得到：數(shù)列{na}（n≥2）是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，即na=2·3n-2（n≥2）. 在此對n需要進(jìn)行分類討論：當(dāng)n≥2時，a=·3n-2;當(dāng)n=1時，a=1. 這樣根據(jù)等比數(shù)列的概念，分情況得出了通項(xiàng)公式a，避免了因遺漏而產(chǎn)生錯解.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重難點(diǎn)內(nèi)容，雖然求解數(shù)列問題基本集中于通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，但由于題設(shè)較復(fù)雜和抽象，所以部分學(xué)生遇到數(shù)列問題時容易產(chǎn)生畏難情緒，若遇到需要分類討論的數(shù)列問題時更是不知如何入手. 因此，為了消除學(xué)生的畏難情緒，首先要培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的基礎(chǔ)，只有這樣在面對復(fù)雜的問題時才能做到繁而不亂. 當(dāng)然，在夯實(shí)基礎(chǔ)的條件下，教師可以通過一些專項(xiàng)訓(xùn)練強(qiáng)化技能，便于學(xué)生在解題過程中提煉出分類技巧，從而提高解題效率.

3. 合作探究促使討論深入高效

分類討論的應(yīng)用較廣泛，教師也常常重點(diǎn)講解涉及分類的問題，然部分學(xué)生在分類時還是會丟三落四. 為了改變這一現(xiàn)象，教師可以鼓勵學(xué)生進(jìn)行合作交流，通過合作交流突破個體思維的局限性，培養(yǎng)思維的深刻性和全面性，促進(jìn)解題能力提升.

例3 已知集合A={x-2≤x≤a}，集合B={yy=2x+3，且x∈A}，集合C={z

z=x2，且x∈A}. 如果C?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

因?yàn)槔?中的參數(shù)a存在不確定性，所以解答此題時需要進(jìn)行分類討論：若a<-2，集合A為空集，此時集合B=C=，滿足C?B，此時a的取值范圍為（-∞，-2）. 若a≥-2，因?yàn)閥=2x+3在區(qū)間[-2，a]上為增函數(shù)，故B={y-1≤y≤2a+3}. 同時，由z=x2可知集合C為二次函數(shù)的值域，因此需要分段考慮函數(shù)z=x2的單調(diào)區(qū)間. 于是需要將a分三種情況再次進(jìn)行討論：①-2≤a<0;②0≤a≤2;③a>2. 經(jīng)過合作交流，確定了分類標(biāo)準(zhǔn)后問題也就迎刃而解了.

本題是一個集合問題，集合是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，很多集合問題往往需要通過分類討論來解決. 因此，教學(xué)中教師可以精選一些典型性練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流的方式進(jìn)行深入討論，從而掌握解題技巧、強(qiáng)化分類意識. 另外，通過合作交流可以淡化數(shù)學(xué)的抽象感，讓學(xué)生在積極的交流合作中實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)，提升解題信心.

總之，滲透分類討論思想、強(qiáng)化分類討論意識不僅關(guān)乎解題思路和解題效率，其更重要的是可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，這對后續(xù)學(xué)習(xí)也將起到不可估量的作用. 因此，教師應(yīng)將分類討論融入教學(xué)內(nèi)容，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).