鐘立權(quán)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生可以用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，但是大多數(shù)過(guò)去枯燥無(wú)味的“滿堂灌”“一言堂”已被證明無(wú)法長(zhǎng)久地吸引學(xué)生的注意力，更別談讓學(xué)生去經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生及其發(fā)展過(guò)程了。因此，“問(wèn)題鏈”教學(xué)模式由此而生了。

美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家哈爾莫斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，理論、定理、定義、證明、概念、公式、方法中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟，只有問(wèn)題才是數(shù)學(xué)的心臟。所以，我們?cè)谡n堂教學(xué)中應(yīng)該積極創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，通過(guò)問(wèn)題鏈激發(fā)課堂的活力，讓課堂生動(dòng)、活潑起來(lái)，讓學(xué)生的思維跳躍起來(lái)，使之積極參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程。

《禮記·學(xué)記》中所記載，“善問(wèn)者如攻堅(jiān)木：先其易者，后其節(jié)目;及其久也，相說(shuō)以解。”這就要求我們?cè)谡n堂教學(xué)中要把握事物發(fā)展的規(guī)律，從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，解析問(wèn)題，各個(gè)擊破，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)和研討，促進(jìn)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美。本文以人教A版選修第二冊(cè)《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性》探究活動(dòng)課為例，闡述筆者基于“問(wèn)題鏈”學(xué)教模式下的教學(xué)設(shè)計(jì)及思考。

《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性》探究活動(dòng)課實(shí)錄

本節(jié)內(nèi)容取自人教A版選修第二冊(cè)5.3《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》，該節(jié)是在必修第一冊(cè)通過(guò)函數(shù)的圖象直觀，利用不等式、方程等知識(shí)，研究了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及最大（?。┲档刃再|(zhì)。而本章的前兩節(jié)也剛好學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算，讓學(xué)生接觸了導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化情況，也知道了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。那能否利用導(dǎo)數(shù)定性研究函數(shù)的性質(zhì)呢？如果可以，那又如何來(lái)判斷呢？

在前面第一課時(shí)已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的情況下，筆者采用了問(wèn)題鏈的形式來(lái)組織此節(jié)第二課時(shí)的課堂教學(xué)，讓知識(shí)的呈現(xiàn)得以層層深入，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)，使得學(xué)生能夠把控整體、架構(gòu)知識(shí)體系，同時(shí)也提高學(xué)生的分析解題能力。

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，若函數(shù)y = f（x）在區(qū)間

（a， b）內(nèi)可導(dǎo)，則：

（1）若f '（x） > 0，則f（x）在區(qū)間（a， b）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù);

（2）若f '（x） < 0，則f（x）在區(qū)間（a， b）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù);

（3）若恒有f '（x） = 0，則f（x）在區(qū)間（a， b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。

切記：討論函數(shù)f（x） = x2 + 2x - 3lnx + 1單調(diào)性前務(wù)必先討論定義域。

例題1：討論函數(shù)f（x） = x2 + 2x - 3lnx + 1的單調(diào)性。

知情分析：學(xué)生在前面的基礎(chǔ)上已經(jīng)掌握了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以由函數(shù)本身性質(zhì)可知定義域?yàn)閧x|x > 0}，且在定義域上的圖象是個(gè)連續(xù)不斷的曲線，因此可以利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

解析：由題意可知，f '（x） = x + 2 -? = ，

令f '（x） = 0，由于x > 0則x2 + 2x - 3 = 0，解得x = 1或

-3。當(dāng)x∈ （0， 1）時(shí)，f '（x） < 0，則f（x）為減函數(shù);當(dāng)x∈ （1， +∞）時(shí)，f '（x） > 0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)。

∴ 函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1， +∞），單調(diào)減區(qū)間為（0， 1）。

思考：在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常?；貧w到解不等式的問(wèn)題，而解不等式又要依賴于相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)的方程的根的求解問(wèn)題。

進(jìn)一步思考：從剛剛的結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性常常因?yàn)槎x域的限制而受到限制。（上題中對(duì)應(yīng)方程的根是-3被舍去，討論單調(diào)區(qū)間也是從x > 0開始）

因此，我們拋出：

問(wèn)題鏈1：若條件改為：討論函數(shù)f（x） = x2 - 3x + 2lnx + m （m∈R）的單調(diào)性。

設(shè)計(jì)意圖：同樣是求單調(diào)性，求導(dǎo)后也不含有參數(shù)，但是創(chuàng)設(shè)這樣的數(shù)學(xué)情境，有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)會(huì)用發(fā)展的數(shù)學(xué)眼光來(lái)看待問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓其可以“跳一跳”，也“摸得著”，進(jìn)一步嘗試用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理有極大的好處。

思考：這里雖然提到了參數(shù)m，但是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)與參數(shù)m的具體取值并無(wú)關(guān)系，這是因?yàn)閰?shù)m放在常數(shù)位置上，求導(dǎo)后為0，這也為后面的討論埋下了伏筆。

問(wèn)題鏈2：若條件增加了“x > 3”，這樣單調(diào)性又當(dāng)如何？

再次思考，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)得到一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常常借助導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的正負(fù)零來(lái)判斷，而這些區(qū)間就是等待我們師生共同去發(fā)現(xiàn)的。

問(wèn)題鏈3：討論函數(shù)f（x） = x2 - 3x + 2mlnx + 1 （m∈R）的單調(diào)性。

設(shè)計(jì)意圖：與上面不同的是，多了參數(shù)m，定義域不變，學(xué)生馬上討論起來(lái)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)后同樣是討論分子的正負(fù)零，但是含有參數(shù)后，根的情況馬上變得復(fù)雜起來(lái)。在學(xué)生為主體的情況下，深挖題目潛藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使得學(xué)生積極參與課堂，成為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的感知者和體會(huì)者。

問(wèn)題鏈4：如果條件增加為當(dāng)x > 1結(jié)論又有什么變化？

從問(wèn)題鏈3的探討中可以發(fā)現(xiàn)，師生都應(yīng)該從上述的結(jié)論當(dāng)中得到經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)體驗(yàn)，很快就可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)方程要是沒(méi)有實(shí)根，單調(diào)性很明顯;如果有實(shí)根時(shí)，那需要界定兩根與1的大小關(guān)系，這就極大地鍛煉了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生了學(xué)生分類討論、函數(shù)與方程的思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)技能，促使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成。

問(wèn)題鏈5：如果條件增加為當(dāng)x > m （m>0）結(jié)論又有什么變化？

與此同時(shí)，我們應(yīng)該讓學(xué)生來(lái)提出問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)更加具有創(chuàng)新性和主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也讓學(xué)生在問(wèn)題鏈的設(shè)置中發(fā)現(xiàn)知識(shí)與能力環(huán)環(huán)相扣，主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，嘗試得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能的通性通法，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把學(xué)生推向更高的層次，學(xué)生得到了鼓舞和推動(dòng)，躍躍欲試，把課堂氣氛逐漸推向高潮。然后，我們引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)如果再次改變參數(shù)m的位置，我們又當(dāng)如何去討論單調(diào)性呢？

問(wèn)題鏈6：討論函數(shù)f（x） = x2 - 3mx + 2lnx + 1 （m∈R）的單調(diào)性。

設(shè)計(jì)意圖：同前面類似，我們需要知道這個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間的正負(fù)來(lái)確定單調(diào)性，但是改變了參數(shù)m的具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生注意參數(shù)引起了根的變化。

參數(shù)m的位置改變后，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，求導(dǎo)后的對(duì)應(yīng)的二次的函數(shù)的開口方向是固定的，但是零點(diǎn)需要進(jìn)一步來(lái)探討，這樣我們探討函數(shù)的單調(diào)性就觸及了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，促使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系得以呈現(xiàn)、規(guī)律得以總結(jié)，而數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)得以養(yǎng)成。

通過(guò)上面的問(wèn)題鏈發(fā)現(xiàn)，如果再次改變參數(shù)m的取值范圍的話，單調(diào)區(qū)間又會(huì)有怎樣的變化呢？

問(wèn)題鏈7：討論函數(shù)f（x） = x2 - 3mx + 2lnx + 1 （m∈R）的單調(diào)性。（同樣地，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，請(qǐng)同學(xué)們提出問(wèn)題，設(shè)置參數(shù)m的取值范圍，并求單調(diào)區(qū)間）。

例如：將條件“m∈R”改為“m ≤ 4”，結(jié)論又當(dāng)如何？

學(xué)生很快就可以發(fā)現(xiàn)：參數(shù)m的大小使得問(wèn)題的討論更加細(xì)膩、更加深入，這樣我們可以抓住學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理性認(rèn)識(shí)，在內(nèi)容的理解上、在現(xiàn)在的課堂的內(nèi)容的呈現(xiàn)上做到深挖和細(xì)耕，這樣為教學(xué)“果實(shí)”的豐收埋下伏筆。

問(wèn)題鏈8：結(jié)合上述的討論，這個(gè)時(shí)候再次請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)置定義域的取值范圍，結(jié)論又有什么變化？

生：例如：補(bǔ)充條件x > 3，結(jié)論又當(dāng)如何？

美籍德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是關(guān)于無(wú)限的科學(xué)。陜西師范大學(xué)羅增儒教授說(shuō)，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容及其使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。古人亦有云，不憤不啟，不悱不發(fā)。此時(shí)的舉一反三，充分發(fā)揮了教育教學(xué)的德育功能，使得我們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)從有限到無(wú)限、從特殊到一般，充分理解并掌握此種蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，貫徹落實(shí)“立德樹人”的人生觀、世界觀和價(jià)值觀的培養(yǎng)。

問(wèn)題鏈9：從上面的討論繼續(xù)出發(fā)，如果同時(shí)改變定義域和參數(shù)m的取值范圍，結(jié)論是不是又有什么變化呢？同學(xué)們自發(fā)提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、嘗試探究，最后師生共同完善相關(guān)的結(jié)論。

生：例如：補(bǔ)充條件x > 3，并將條件“m∈R”改為“m > 4”結(jié)論又當(dāng)如何？結(jié)論是顯然的。

到了這里，再點(diǎn)一把火，燃起學(xué)生求知欲的熊熊大火，學(xué)生急切地渴望著更多的成就。老師再次提出改變參數(shù)m的位置，結(jié)論又會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？

問(wèn)題鏈10：討論函數(shù)f（x） = mx2 - 3x + 2lnx + 1 （m∈R）的單調(diào)性。

可以發(fā)現(xiàn)令導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，參數(shù)m被放在了二次項(xiàng)系數(shù)上，這個(gè)時(shí)候需要討論它是否為一元二次方程以及相關(guān)的根的問(wèn)題。

至此，細(xì)心的同學(xué)可能又會(huì)發(fā)現(xiàn)，如同上述的問(wèn)題鏈很相似，改變參數(shù)m的大小是否馬上得到函數(shù)的單調(diào)性呢？

問(wèn)題鏈11：主動(dòng)權(quán)交在學(xué)生手里，生：將條件“m∈R”改為

“m ≥ 4”，結(jié)論又當(dāng)如何？

從問(wèn)題鏈10的討論中很快可以得出結(jié)果。

這樣又衍生出一個(gè)新的問(wèn)題，如果僅僅改變定義域，結(jié)論又當(dāng)有如何變化？

問(wèn)題鏈12：生問(wèn)：在原來(lái)問(wèn)題鏈10的基礎(chǔ)上，增加條件“定義域?yàn)椋?，+∞）”。

思考：改變定義域后，問(wèn)題就復(fù)雜多了，原因是除了需要考慮根與1的大小關(guān)系，還要考慮對(duì)應(yīng)函數(shù)的開口方向。

那問(wèn)題來(lái)了，如果同時(shí)改變了定義域和參數(shù)m的取值范圍，單調(diào)性又有何變化呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)提出問(wèn)題，思考“節(jié)點(diǎn)”，處理“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，并加以研究和探討。

問(wèn)題鏈13：生問(wèn)：在原來(lái)問(wèn)題鏈10的基礎(chǔ)上，增加條件“定義域?yàn)椋?，+∞）”和m < 1。當(dāng)學(xué)生提出這個(gè)問(wèn)題時(shí)，師生其實(shí)都發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，我們只需要注意Δ>0時(shí)，根與3來(lái)比較即可。

因此，本節(jié)課通過(guò)一系列的問(wèn)題鏈來(lái)帶動(dòng)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行深入的探討，倡導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，積極地用數(shù)學(xué)眼光來(lái)觀察，用數(shù)學(xué)思維來(lái)思考，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)出分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想等在此中的作用和意義，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)自然而然得到了落實(shí)。

因此，一個(gè)好的問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)該目標(biāo)明確、系統(tǒng)連貫、難度適度、啟迪創(chuàng)新;一個(gè)好的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)決定了學(xué)生思維的深度和廣度，而這節(jié)課充分突顯了問(wèn)題鏈的優(yōu)勢(shì)，使得數(shù)學(xué)課堂學(xué)教高效而又深刻。

回顧與反思

整節(jié)課的設(shè)計(jì)是圍繞求函數(shù)的單調(diào)性來(lái)展開的，問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，從定義域和參數(shù)的變化入手，由淺入深，逐層分析，層層深入，由此及彼，循序漸進(jìn)，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”到“有思維深度的問(wèn)題設(shè)計(jì)”，有效地沿襲由單元向主題發(fā)展的主線，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、熱情以及潛能，觸發(fā)學(xué)生思維的火花，使得學(xué)生更加全面、更加深入地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感知數(shù)學(xué)之美，課堂更加生動(dòng)有趣，教學(xué)效果更加顯著，與此同時(shí)改變了以往高中數(shù)學(xué)課堂給人們單調(diào)、枯燥的印象，優(yōu)化了課堂教學(xué)，提高了效率。

至此，“柳暗花明又一村”，只要學(xué)生有想法，敢想敢為，“眾人拾柴火焰高”“守住初心，方得始終”，可以把含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的探討如絲紗般一層一層地剝開，窺探數(shù)學(xué)之美，而這結(jié)果的形成，依賴于“問(wèn)題鏈”的牽引。問(wèn)題鏈的深度設(shè)計(jì)，使得數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的呈現(xiàn)有為有度、層層深入、環(huán)環(huán)相扣，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展與變化及其延伸、深化數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵、掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能技巧、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，使得學(xué)生能夠積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)并獲取相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學(xué)中也就得到了落實(shí)。