基于數(shù)學(xué)原理的RC電路響應(yīng)分析

王瓊 李葉龍 黃賢靜 張貴元

摘要：RC電路響應(yīng)分析涉及高等數(shù)學(xué)中的微分方程，教材中關(guān)于二者的銜接部分較為簡要，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生學(xué)習(xí)時會存在一定困難。為此，本文首先采用具體事例的形式，對一階線性微分方程的求解過程及求解邏輯進行了推導(dǎo)與總結(jié)，之后直接利用齊次方程及一階線性微分方程的通解形式直接推導(dǎo)出RC電路響應(yīng)方程，在內(nèi)容及邏輯上實現(xiàn)數(shù)學(xué)與電路分析的統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：電工學(xué);RC電路;微分方程

中圖分類號：G424? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）21-0115-03

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電路暫態(tài)分析是本科課程《電工學(xué)》中的重要內(nèi)容，因其涉及高等數(shù)學(xué)中微分方程內(nèi)容，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高。實際教材及輔助資料中對此部分內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)原理的推導(dǎo)通常較為簡要（默認在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)掌握）[1-3]，而高等數(shù)學(xué)中關(guān)于微分方程部分則是從純數(shù)學(xué)角度進行推導(dǎo)，缺乏其在電路暫態(tài)分析應(yīng)用方面的專門講解[4-5]，從而導(dǎo)致部分學(xué)生在學(xué)習(xí)電路暫態(tài)分析這部分內(nèi)容時缺乏對其數(shù)學(xué)原理的深入理解，學(xué)習(xí)中僅靠硬記最終的電路響應(yīng)方程而解決問題，進而給后續(xù)的深入學(xué)習(xí)帶來困難?；诖?，本文以電路暫態(tài)分析中RC電路響應(yīng)為例，將一階線性微分方程部分內(nèi)容的求解過程及求解邏輯與電路的暫態(tài)分析進行統(tǒng)一推導(dǎo)與闡述。以期初學(xué)者通過對本文的閱讀能快速掌握運用一階線性微分方程解決電路暫態(tài)分析問題。

1 一階線性微分方程的求解邏輯

在高等數(shù)學(xué)中，微分方程部分的學(xué)習(xí)順序為微分方程的基本概念、可分離變量微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、高階線性微分方程、歐拉方程等[4]。因電路的暫態(tài)分析僅涉及一階線性微分方程。為此本文僅對一階線性微分方程的求解邏輯進行推導(dǎo)與闡述。

1.1可分離變量微分方程

為方便初學(xué)者理解，文中不同類型方程的求解均以較為簡單的具體方程實例為例進行求解。在高等數(shù)學(xué)中微分方程的求解是從可分離變量微分方程開始的，其一般形式可表示為式（1）的形式。

[P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

以具體事例（2）為例，進行可分離變量微分方程的求解過程。

[dydx=2xy]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

所謂分離變量就是將含相同變量的項移至方程的一端。對式（2）進行移項，得出式（3）;對式（3）兩端積分得出式（4）;對式（4）進行求解，得出式（5）、（6），因 [±eC1] 仍是任意常數(shù)，把它記作常數(shù)C，便得出方程（2）的通解式（7），此即為可分離變量微分方程的求解過程。其求解過程可總結(jié)為三個步驟：分離、積分、運算求解。

[1ydy=2xdx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

[1ydy=2xdx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

[lny=x2+C1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[y=±ex2+C1=±eC1ex2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

[y=Cex2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

1.2齊次方程

如果一階微分方程 [dydx=f（x，y）]中函數(shù) f（x，y）可寫成 [yx]的函數(shù)，即[f（x，y）=?（yx）]，則稱這個方程為齊次方程，齊次方程的一般式亦可表示為式（8）的形式[4]。

[dydx+P（X）y=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

以具體事例（9）為例，進行其求解過程。將式（9）進行移項等變換，得出式（10）。由前述定義可知該式為齊次方程。

[y2+x2dydx=xydydx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

[dydx=y2xy-x2=（yx）2yx-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

令式（10）中的 [yx=u]，則y=ux，對其求導(dǎo)后推出 [dydx=u+xdudx]，將其代入式（10）得出式（11），對式（11）移項得出式（12），式（12）符合可分離變量微分方程的形式，對其進行變量分離，得出式（13）。應(yīng)用解可分離變量的方法對式（13）進行積分求解，求得齊次方程式（9）的通解為式（14）：

[u+xdudx=u2u-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

[xdudx=uu-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

[（1-1u）du=dxx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

[lny=yx+C]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

由上述齊次方程事例的求解過程可見，齊微分方程需要通過變量代換化為可分離變量微分方程進行求解。

1.3一階非齊次線性微分方程

當(dāng)方程滿足式（15）的形式時，即未知函數(shù) y及其導(dǎo)數(shù)是一次的方程，叫作一階非齊次線性微分方程。當(dāng)[Q（X）≡0]時，其變換為齊次線性方程，是對應(yīng)于非齊次線性方程（15）的齊次線性方程，如式（16）所示，并且由其形式特點可知該式是可分離的。為此，可分離變換為式（17），對其兩端進行積分得出式（18），此即為對應(yīng)一階線性微分方程（15）的齊次方程（16）的通解。

[dydx+P（x）y=Q（x）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

[dydx+P（x）y=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

[dyy=-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[y=Ce-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

接下來，采用常數(shù)變易法[4]求非齊次線性方程（15）的通解。具體方法是把式（18）中的 C 換成 x 的未知函數(shù)u（x） ，即變作式（19），將式（19）對x求導(dǎo)，得出式（20）：

[y=ue-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

[dydx=u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

將式（19）、（20）代入式（15），得出式（21），進一步化簡得出式（22）：

[u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx+P（x）ue-P（x）dx=Q（x）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

[u'=Q（x）eP（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

將式（22）兩端積分，得式（23）：

[u=Q（x）eP（x）dxdx+C]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

把式（23）代入式（19）得出式（24），式（24）即為一階線性微分方程（15）的通解。

[y=Ce-P（x）dx+e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx]? ? ? ? （24）

由式（24）可見，一階非齊次線性方程的通解等于：其對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。

由上述三種類型方程的求解過程可知，可分離變量的微分方程的求解是基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上方可對齊次方程進行求解。而求解一階非齊次線性微分方程的方法是首先求解該方程所對應(yīng)的齊次方程的通解，然后利用常數(shù)變易法求出一階非齊次線性微分方程的通解，其求解邏輯如圖1所示。理解一階非齊次線性微分方程通解的求解過程，記住其通解形式（24）是深入學(xué)習(xí)電路暫態(tài)分析的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2 RC電路響應(yīng)

2.1電工基礎(chǔ)

2.1.1元件特征

電阻、電感、電容是常用的電子元件，圖2為由其構(gòu)成的單一參數(shù)電路。在電阻電路中電壓與電流間關(guān)系滿足式（25），而電感與電容是儲能元件，在由其構(gòu)成的電路發(fā)生通斷瞬間能量不能發(fā)生躍變。

電感元件表現(xiàn)為電流不能躍變。如圖2（b）所示，當(dāng)線圈通過電流i時，將產(chǎn)生磁通Φ，電感元件的參數(shù)-電感L=NΦ/i，N為線圈匝數(shù)，當(dāng)電感元件中電流（或磁通）發(fā)生變化時，則在其中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢eL，具體表示為電流對時間的導(dǎo)數(shù)與電感的乘積，如式（26）所示。

電容元件表現(xiàn)為電壓不能躍變。如圖2（c）所示，衡量電容容量的直接參數(shù)是其所含電荷[量]q，電容元件關(guān)鍵參數(shù)-電容C=q/u，當(dāng)電容元件上電荷[量]q或電壓u發(fā)生變化時，則在電路中引起電流i，電流具體表示為電壓對時間的導(dǎo)數(shù)與電容的乘積，如式（27）所示。

[uR=Ri]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

[eL=-Ndφdt=-Ldidt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （26）

[i=dqdt=Cdudt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

由式（25）～（27）可知，在電阻元件電路中，一旦接通或斷開電源時，電路立即處于穩(wěn)定狀態(tài)（簡稱“穩(wěn)態(tài)”）。而當(dāng)電路中含有電感或電容元件時，則不然。例如RC串聯(lián)電路與直流電源接通后，電容被充電，其上電壓是逐漸增長到穩(wěn)定狀態(tài)，電路中有充電電流（電容放電）時，其上電壓是逐漸衰減到零的，這種電路中電流（電壓）增長或衰減需經(jīng)歷一個短暫的過程，這個過程稱為暫態(tài)過程（簡稱“暫態(tài)”），即在含電感或電容的電路中接通或斷開電源時，電路需要經(jīng)歷一個暫態(tài)過程后才會再次處于穩(wěn)定狀態(tài)。電路的暫態(tài)過程可能產(chǎn)生過電壓或過電流進而對電路造成危害，亦可利用其改善波形或產(chǎn)生特定波形，為此需掌握其規(guī)律進而規(guī)避危害或利用特性實現(xiàn)某些特定目的。

2.1.2換路定則

由于電源的接通、斷開、短路、電壓改變或參數(shù)改變等所導(dǎo)致的電路改變稱為換路[1]。由前述分析可知，對于電容元件換路瞬間電壓不能躍變，設(shè)換路前瞬間電壓為uC（0-），換路后瞬間電壓為uC（0+），因換路瞬間不能發(fā)生躍變，為此二者相等，如式（28）所示;對于電感元件換路瞬間電流不能躍變，設(shè)換路前瞬間電壓為iL（0-），換路后瞬間電壓為iL（0+），因換路瞬間不能發(fā)生躍變，為此二者相等，如式（29）所示。從t=0-到t=0+瞬間，電容元件中的電壓和電感元件中的電流不能躍變，這稱為換路定則。

[uC（0-）=uC（0+）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（28）

[iL（0-）=iL（0+）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （29）

2.2.RC電路響應(yīng)

2.2.1RC零狀態(tài)響應(yīng)

如圖3所示，當(dāng)RC電路換路前電容元件未儲有能量，uc（0-）=0時，由電源激勵所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為RC零狀態(tài)響應(yīng)。分析 RC 電路的零狀態(tài)響應(yīng)，實際上就是分析它的充電過程。在t=0時將開關(guān)S合到位置 1 上，即電路與一恒定電壓為U的電壓源接通，對電容元件開始充電，電容上電壓為 uc。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出 t ≥ 0 時（換路后）滿足電路方程式（30），將電流ic（式（27））代入式（30）得式（31），此即為該電路方程的具體表達式。將式（31）與式（15）進行對比可知，該式方程滿足一階非齊次線性微分方程的形式，將其變換為一階非齊次線性微分方程的標(biāo)準式（32）。

[U=Ri+uc]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（30）

[U=RCducdt+uc]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（31）

[ducdt+1RCuc=URC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （32）

對比式（32）與式（15）可見，式中[URC]相當(dāng)于式（15）中的Q（x），[1RC]相當(dāng)于式（15）中的于P（x），為此，將二者代入一階非齊次線性方程式（15）的通解式（24），得出式（33），此即為式（32）的通解。

[uc=C1e-1RCdt+e-1RCdtURCe1RCdt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（33）

對式（33）等號右端兩項進行數(shù)學(xué)處理，首先處理第一項，如式（34）所示。

[C1e-1RCdt=C1e-（1RCt+C2）=C1e-C2e-1RCt=C3e-1RCt]? （34）

對第二項進行處理，如式（35）所示。因為[e1RCdt=RCe1RCdt]，將其帶入式（35）得式（36）。

[e-1RCdtURCe1RCdt=e-1RCdtURCe1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（35）

[e-1RCdtURCe1RCt=e-1RCdtURCRCe1RCdt=U]? ? ? ? ?（36）

將式（34）、（36）帶入式（33）即可得出uc 的最終表達式（37） 。

[uc=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（37）

帶入初始條件，換路前電容元件未儲有能量，uc（0-）=0 ，依據(jù)換路定則推出uc（0+）=0。將uc（0+）=0代入式（37）得式（38），由此可得出C3= -U，將其代入式（37）進而得出RC電路零狀態(tài)響應(yīng)方程式（39）。式中1/RC稱為RC電路的時間常數(shù)，可見電容的充電時間（暫態(tài)持續(xù)時間）與R和C相關(guān)，通過改變二者的值可改變暫態(tài)的持續(xù)時間。

[0=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （38）

[uc=U-Ue-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （39）

2.2.2 RC零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入，是指無電源激勵，輸入信號為零時，由電容元件的初始狀態(tài)u（0+） 所產(chǎn)生的電路響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。分析 RC電路的零輸入響應(yīng)，實際上就是分析它的放電過程。

如圖3所示，當(dāng)電容充電到uc=U0時，將開關(guān)S從位置1合到位置2使電容脫離電源，輸入為零。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出 t ≥ 0 時滿足電路方程式（40），將ic帶入得式（41），此即為 RC 電路的零輸入響應(yīng)方程，該方程滿足式（16）的形式，故為齊微分方程，由該型齊次微分方程通解的一般形式（18），得出式（41）的通解式（42）。

[Ri+uc=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（40）

[RCducdt+uc=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（41）

[uc=C1e-tRC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（42）

代入初始條件u（0+）=uc（0-）=U0 ，進而得出C1=U0，由此得出RC零輸入響應(yīng)方程式（43）。由此可見，電容的放電過程亦與R和C相關(guān)，通過改變二者的值可改變電容放電時間。

[uc=U0e-tτ=U0e-1RC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （43）

2.2.3 RC 電路的全響應(yīng)

RC電路的全響應(yīng)，是指電源激勵和電容元件的初始狀態(tài) uc（0+） 均不為零時電路的響應(yīng)，也就是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)兩者的疊加。

在圖3的電路中，當(dāng)uc（0-）=U0時，將開關(guān)S合到位置1上（電源激勵電壓為U），在 t ≥0 時為電容的充電過程，故其電路方程與式（30）相同，與零輸入響應(yīng)的區(qū)別在于電容兩端的初始電壓不為0，而為U0，進而uc 的最終表達式亦為式（37）。將初始條件uc（0+） =uc（0-）==U0代入式（37），得出式（45）。進而求出C3，將所求C3帶回式（45）求出RC電路的全響應(yīng)方程式（47）。顯然，該式右邊第一項是零輸入響應(yīng)（放電）;第二項為零狀態(tài)響應(yīng)（充電），這是疊加定理在暫態(tài)分析中的體現(xiàn)。進一步將式（47）進行整理得出式（48），由式（48）可見，全響應(yīng)等于穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量。

[U0=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（45）

[C3=U0-U]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（46）

[uc=U0e-1RC+U（1-e-tRC）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（47）

[uc=U+（U0-U）e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （48）

3小結(jié)

一階線性微分方程是學(xué)習(xí)電路暫態(tài)分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，本文從可分離變量的微分方程入手通過具體事例詳細推導(dǎo)了可分離變量微分方程、齊次微分方程及一階非齊次線性微分方程的求解過程及求解邏輯。利用一階非齊次線性微分方程通解的標(biāo)準式、齊次方程通解的標(biāo)準式推導(dǎo)了RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)方程、零輸入響應(yīng)方程及RC電路全響應(yīng)方程。全面直觀地展現(xiàn)了RC電路響應(yīng)方程的數(shù)學(xué)原理。該推導(dǎo)過程同樣也可應(yīng)用于RL電路的暫態(tài)過程分析。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】