滲透模型思想 優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂

章建忠

【摘要】初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，可使學(xué)生更好地把握、深入地理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，尤其用于解答數(shù)學(xué)習(xí)題中，可提升解題效率.通過展示二次函數(shù)模型、將軍飲馬模型、阿氏圓模型、胡不歸模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型在解題中的應(yīng)用，以供參考.

【關(guān)鍵詞】模型思想;初中數(shù)學(xué);課堂教學(xué)

模型思想是初中數(shù)學(xué)中非常重要的思想[1].教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)充分認(rèn)識到模型思想的重要作用，既要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容做好數(shù)學(xué)模型理論知識講解，又要做好常用模型的總結(jié)，并圍繞具體例題展示相關(guān)模型地應(yīng)用，使學(xué)生更好地掌握相關(guān)模型的應(yīng)用思路，把握相關(guān)應(yīng)用細(xì)節(jié).

1 二次函數(shù)模型

求解最值問題時常使用二次函數(shù)模型，即，根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境，靈活運(yùn)用幾何圖形性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系，部分習(xí)題還需做出輔助線，以更好地找到線段、角度關(guān)系.結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)找到其頂點(diǎn)，在二次函數(shù)頂點(diǎn)處取得最大或最小值.需要注意的是運(yùn)用二次函數(shù)求解最值時應(yīng)認(rèn)真分析自變量范圍[2].

例1 如圖1，Rt△ABC中，∠C和∠A分別為90°，30°，BC=10.在三邊上各取一點(diǎn)，連成等邊△DEF，則△DEF面積的最小值為.

該題難度不大，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)可知需要借助二次函數(shù)模型進(jìn)行解答.借助幾何性質(zhì)合理設(shè)出參數(shù)，并運(yùn)用三角形全等找到線段、角度的等量關(guān)系，借助勾股定理，構(gòu)建二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)，便可求出△DEF面積的最小值.

過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，如圖2.由△DEF為等邊三角形可知，EF=DE，∠DEF=60°.∠CEF=120°-∠BED.由∠C=90°，∠A=30°，則∠B=60°，則∠MDE=120°-∠BED，則∠CEF=∠MDE，易得△CEF≌△MDE，則CE=MD，CF=ME.設(shè)CE=x（0

2 將軍飲馬模型

在初中階段將軍飲馬模型又稱“路徑最短模型”.這一模型在初中數(shù)學(xué)課本中有所講解.為提高學(xué)生運(yùn)用該模型解題的靈活性，應(yīng)給予學(xué)生引導(dǎo)，使學(xué)生把握該模型的本質(zhì)以及相關(guān)細(xì)節(jié)，即，運(yùn)用該模型解答習(xí)題的關(guān)鍵在于判斷尋找哪個點(diǎn)的對稱點(diǎn).同時，還應(yīng)能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，基于對該模型的深入理解，判斷相關(guān)習(xí)題是否適用該模型[3].

例2 如圖3，平行四邊形ABCD中AB、BC的邊長分別為4、12，∠ABC=60°.AD邊上存在兩動點(diǎn)E、F，且EF的長為2，則四邊形BECF周長的最小值為.

結(jié)合從將軍飲馬模型獲得的啟發(fā)，作已知點(diǎn)的對稱點(diǎn)，將四邊形周長最小問題轉(zhuǎn)化為求線段最短問題，借助三角形三邊關(guān)系，確定點(diǎn)F的具體位置，問題便迎刃而解.

在BC上取一點(diǎn)B′，使得BB′=2.作B′關(guān)于點(diǎn)AD的對稱點(diǎn)B″.在AD上截取EF=2.點(diǎn)連接B′F、B″F，則B′F=B″F，如圖4所示.四邊形BECF的周長為BE+EF+FC+BC，其中EF和BC為定值分別為2和12，則問題轉(zhuǎn)化為求BE+FC的最小值問題.根據(jù)題意以及上述描述已知四邊形BB′FE為平行四邊形，即B′F=BE，則BE+FC=B″F+FC，顯然當(dāng)B″、F、C三點(diǎn)共線時B″F+FC最短，長為B″C.由∠ABC=60°，可得AB′=BB′tan60°=23，則B′B″=43，B′C=BC-BB′=12-2=10.在直角△B′B″C中由勾股定理可得B″C=102+（43）2=237，則四邊形BECF周長的最小值為2+12+237=14+237.

3 阿氏圓模型

阿氏圓模型在初中數(shù)學(xué)習(xí)題中常有考查.為使學(xué)生更好地掌握阿氏圓模型，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重運(yùn)用多媒體技術(shù)與學(xué)生一起推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論，使學(xué)生能夠牢固記憶，深入理解，掌握運(yùn)用阿氏圓模型求解最值問題的思路，即，根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境，敢于設(shè)出點(diǎn)構(gòu)造三角形，借助三角形相似，尋找線段之間的等量關(guān)系，借助等量代換使得問題順利解決.

例3 如圖5，ABCD是邊長為4的正方形，內(nèi)切圓為圓O.P為圓上一動點(diǎn)，則2PA+PB的最小值為.

到平面兩點(diǎn)距離之比為k（k≠1）的點(diǎn)的軌跡為圓，該圓稱為阿氏圓.初中數(shù)學(xué)中常通過構(gòu)造相似三角形，求解線段之和的最小值問題.該題基于對阿氏圓模型的理解，不難尋找到解題思路.

由2PA+PB=2（PA+22PB），將問題轉(zhuǎn)化為求PA+22PB的最小值.運(yùn)用阿氏圓模型進(jìn)行解答.根據(jù)題意容易得知圓O的半徑r=OP=2，OB=22.取OB的中點(diǎn)為I，連接PI，如圖6，則OI=IB=12OB=2，易得OIOP=OPOB=22，則△OIP∽△OPI，則PIPB=OIOP=22，則PI=22PB，則PA+22PB=PA+PI.由圖6可知當(dāng)A、P、I三點(diǎn)共線時兩線段之和最小.過點(diǎn)I作IE⊥AB垂足為點(diǎn)E，則∠IBE=45°，則IE=EB=1，則AE=AB-EB=4-1=3.在△AIE中由勾股定理可得AI=32+12=10，即，PA+22PB的最小值為10，2PA+PB的最小值為2×10=25.

4 胡不歸模型

胡不歸模型是初中數(shù)學(xué)中非常重要的模型.為使學(xué)生更好地掌握該模型，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)注重為學(xué)生講解有關(guān)該模型的故事[4].同時，在課堂上積極與學(xué)生互動，為學(xué)生指點(diǎn)迷津，尤其引導(dǎo)其積極討論，使其親自動手證明胡不歸模型的相關(guān)結(jié)論，更好地把握胡不歸模型的本質(zhì)，為其靈活應(yīng)用奠定堅實(shí)基礎(chǔ).

例4 已知在等腰△AEC中AC=CE，∠CAE=30°.以半徑為5的圓經(jīng)過AC兩點(diǎn)，且直徑AB在線段AE上.CE為圓O的切線.D為線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），如圖7，則OD+12CD的最小值為.

解答該題的關(guān)鍵在于胡不歸模型的應(yīng)用.該題中過點(diǎn)C作射線CP，使得sin∠ACP=12.過點(diǎn)O向CP作垂線，垂足為K，OK就是要求的結(jié)果（可由學(xué)生自己證明）.

由模型可知，作∠ACP=30°，過點(diǎn)D作DH⊥CP于點(diǎn)H.則DH=CDsin30°=12CD.求OD+12CD的最小值，即，求OD+DH的最小值.過點(diǎn)O作OK⊥CP于點(diǎn)K，如圖8，顯然當(dāng)點(diǎn)O、D、K三點(diǎn)共線時OD+DH的值最小.由∠CAE=30°，則∠ACO=30°，則∠PCO=∠ACP+∠ACO=60°，OK=OCsin∠PCO，而OC=5，則OK=5×sin60°=532.

5 費(fèi)馬點(diǎn)模型

費(fèi)馬點(diǎn)模型是非常有趣的數(shù)學(xué)模型.解題中應(yīng)用費(fèi)馬點(diǎn)模型可少走彎路，提高效率[6].教學(xué)實(shí)踐中，為使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用，以達(dá)到迅速解題的目的，應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)相關(guān)問題情境，預(yù)留空白時間，給予學(xué)生針對性的點(diǎn)撥，要求其親自動手進(jìn)行推理、證明，而非死記硬背結(jié)論.

例5 如圖9，在等腰直角△ABC中，∠BAC為直角，AB、AC為腰.點(diǎn)P為AB邊上的動點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q.當(dāng)QA+QB+QC取得最小值，且AQ=2，則PD的長為.

費(fèi)馬點(diǎn)模型是非常重要的模型.若三角形中最大內(nèi)角小于120°時，內(nèi)部存在一點(diǎn)（費(fèi)馬點(diǎn)）到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小，且該點(diǎn)和三個頂點(diǎn)的連線所成的角為120°.若三角形最大內(nèi)角大于或等于120°，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個最大內(nèi)角的頂點(diǎn).該模型的證明可給該題的解答帶來指引，證明過程可由學(xué)生自己完成.

將△BQN繞著B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°到△BNM，連接CM.如圖10所示.則由費(fèi)馬點(diǎn)模型可知，A、Q、N、M共線，△BQN為等邊三角形，∠BQD=60°，∠BQC=∠AQB=∠AQC=120°.易得∠MBC=60°，則△BMC為等邊三角形，BM=MC，由AB=AC，則△ABM≌△ACM，則AM垂直平分BC，則AD⊥BC，因此，點(diǎn)P和點(diǎn)A重合.問題轉(zhuǎn)化為求AD的長.由∠BAD=45°可知，BD=AD.設(shè)AD=BD=x，則QD=x-2，在△BQD中，xx-2=tan60°，解得x=3+3.

6 結(jié)語

綜上所述，解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題時運(yùn)用模型思想可迅速找到解題思路，達(dá)到事半功倍的解題效果.教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)通過模型思想的理論指導(dǎo)、例題講解，提高學(xué)生對模型思想地認(rèn)識.同時，在講解相關(guān)習(xí)題的求解過程后，應(yīng)注重給學(xué)生留下空白時間，要求其做好聽課和整理，把握不同模型的應(yīng)用細(xì)節(jié)，掌握相關(guān)應(yīng)用技巧.

參考文獻(xiàn)：

[1]卜建紅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思想的滲透[J].數(shù)理天地（初中版），2022（01）：78-80.

[2]施金花.如何將模型思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)理化解題研究，2021（35）：4-5.

[3]歐瓊?cè)A.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入模型思想的策略[J].名師在線，2021（18）：66-67.

[4]邱宗如.初中數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（08）：43-45.

[5]張世恩.基于初中數(shù)學(xué)模型思想的靶向教學(xué)實(shí)踐研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（24）：82-84.

[6]劉心玥.初中數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用及其培養(yǎng)——以方程模型思想為例[J].試題與研究，2019（34）：45.