馬駿　杜俊宏

[摘 要]面積概念的抽象性、教材內(nèi)容的差異性以及學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的不足，導(dǎo)致“面積和面積單位”的教學(xué)存在一定的難度。教師在教學(xué)中可以通過多覺聯(lián)動、動態(tài)比較、量化驅(qū)動、拓展升華，幫助學(xué)生建立起豐富、生動而又準(zhǔn)確的“面積”概念，以提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué);面積本質(zhì);面積單位;素養(yǎng)提升

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0045-03

“面積和面積單位”是小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊的教學(xué)內(nèi)容。作為單元的起始課，學(xué)生將在本課實(shí)現(xiàn)知識體系從“線”到“面”的跨越，空間觀念由“一維”向“二維”的拓展。同時，深刻理解“面積”這一概念，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的基礎(chǔ)以及發(fā)展直觀想象能力的基礎(chǔ)，因此這節(jié)課的重要性不言而喻。

一、內(nèi)容解讀與學(xué)情分析

1.關(guān)于“面積”的學(xué)術(shù)概念

《數(shù)學(xué)辭海》將“面積”定義為：對于每一個封閉圖形，用唯一的非負(fù)實(shí)數(shù)與它對應(yīng)，如果這種對應(yīng)滿足：①邊長為1個長度單位的正方形作為面積單位，與數(shù)1對應(yīng);②全等圖形與相同的實(shí)數(shù)相對應(yīng);③圖形所對應(yīng)的數(shù)就等于各個部分圖形所對應(yīng)的數(shù)之和，則該圖形對應(yīng)的非負(fù)實(shí)數(shù)稱為該圖形的面積?？梢?，對于面積的學(xué)習(xí)，可以從度量的角度入手，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)值”來刻畫和表征二維空間的大小，從而感悟面積的本質(zhì)。

2.學(xué)生經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生關(guān)于“面積”的前認(rèn)知往往淡化了其度量的本質(zhì)，而更多地聚焦于以“降維”的方式，通過長度的測量，借助面積計(jì)算公式來確定圖形面積。這種“知其然而不知其所以然”的學(xué)習(xí)方式，容易使得學(xué)生對測量本質(zhì)的理解產(chǎn)生負(fù)遷移的作用。

基于以上分析，筆者確定以感悟面積概念、建構(gòu)面積單位為知識目標(biāo)，以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟面積測量本質(zhì)、形成量感思維為能力目標(biāo)，以培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、直觀想象為素養(yǎng)目標(biāo)，開展相應(yīng)的教學(xué)實(shí)踐。

二、教學(xué)過程

1.從具象到抽象，多覺聯(lián)動鞏固“面”的認(rèn)識

在理解“面積”這種抽象的概念之前，教師可以調(diào)動學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，通過看、摸、說等方式，利用多種感官的聯(lián)動，先讓學(xué)生充分感知什么是“面”。

【教學(xué)片段1】

環(huán)節(jié)一：感知物體的“面”

師：同學(xué)們，教室里有哪些物體呢？摸一摸這些物體，說說摸的是什么。

生1：有課桌，我們摸到的其實(shí)是課桌的“面”。

生2：還有數(shù)學(xué)課本，它有上、下、左、右、前、后六個面。

……

師（小結(jié)）：剛才咱們提到的桌面、數(shù)學(xué)課本的各個面等都屬于物體表面。

環(huán)節(jié)二：探究平面圖形中的“面”

師：除了物體表面，在數(shù)學(xué)世界里還有其他“面”嗎？老師把書本的表面描畫下來，得到一個長方形，它有面嗎？哪些圖形也有面？

生3：正方形、圓形、三角形，甚至不規(guī)則圖形也有面。

師：不僅如此，像圓柱、長方體這樣的立體圖形也有面（如圖1）。

【評析】認(rèn)識“面”是深入理解“面積”的基礎(chǔ)，在上述教學(xué)片段中，教師以“面”為主題，從獨(dú)立觀察的視角出發(fā)，運(yùn)用觸摸、舉例、聯(lián)想等方式，從物體表面開始，逐步深入到平面圖形，再適當(dāng)拓展至由平面圖形圍成的立體圖形，實(shí)現(xiàn)研究對象從具體到抽象的深入，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建了一個豐富而又深刻的“面”的認(rèn)知。

2.在比較中生成，在變化中理解“面積”的意義

如果說對“面”的學(xué)習(xí)，是在研究多個單獨(dú)對象的基礎(chǔ)上，分類抽取其共性，則對于“面積”的學(xué)習(xí)，可從對比觀察的視角，引導(dǎo)學(xué)生在“面”的大小比較中，建立對“面積”這一概念的初步認(rèn)識。同時，教師還要將“面積”概念與學(xué)生之前學(xué)過的“長度”概念進(jìn)行對比，促進(jìn)學(xué)生對于新授概念的進(jìn)一步內(nèi)化。

【教學(xué)片段2】

環(huán)節(jié)一：比較中引入面積概念

師：剛才我們分別觀察單個的“面”，現(xiàn)在對比觀察一下黑板面和作業(yè)本封面，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：黑板面大，作業(yè)本封面小。

師：看來物體表面有大有小，我們把黑板面的大小叫作黑板面的面積。那什么是作業(yè)本封面的面積呢？有沒有面積比作業(yè)本封面小的？有沒有面積比黑板面大的？（學(xué)生回答略）

師：觀察這幾個平面圖形（如圖2），它們有沒有面積？請按照面積的大小排序。

生2：那個不封閉的圖形是沒有面積的。這些平面圖形的大小就是指它們的面積。按照面積大小排序?yàn)椋洪L方形>正方形>不規(guī)則圖形>圓形>三角形。

師：關(guān)于面積，我們研究了哪幾類？什么是它們的面積？

生3：研究了兩類，一類是物體表面，一類是平面圖形。物體表面或平面圖形的大小就是它們的面積。

生4：我補(bǔ)充，這里的平面圖形得是封閉圖形。

環(huán)節(jié)二：對比中深化理解

師：那“大小”和“長短”有什么區(qū)別呢？請同學(xué)們觀察這兩個動畫后回答。（動畫一：線段先變長后變短，直至變?yōu)橐稽c(diǎn)。動畫二：長方形的寬不變，長先延長后變短，直至長方形成為一條線;長方形的長不變，寬先延長后變短，直至長方形成一條線。）

生5：“長短”的變化是在一個方向上的，要么長度變長，要么長度變短。

生6：“大小”的變化是在兩個方向上的，要么是橫著變化，要么是豎著變化。

生7：長度不斷變短，線就成了一個點(diǎn)，面橫向或者豎向變小，最后就成了一條線。

師（小結(jié)）：可見面積的“大小”變化，既可以是橫向的，也可以是豎向的。

【評析】教師通過物體表面的大小比較，自然地引出了“面積”，接著將概念從物體表面遷移到平面圖形，在圖形面積大小的排序中促進(jìn)學(xué)生對概念的理解和運(yùn)用。同時，利用不封閉圖形的反例，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念建構(gòu)的精準(zhǔn)化。對于描述性概念的學(xué)習(xí)，不僅要在形式上認(rèn)識定義，還要注重其外延的探究。因此，將面積概念中的“大小”一詞與“長短”進(jìn)行動態(tài)對比，不僅幫助學(xué)生抓住本質(zhì)，理解面積的二維性和長度的一維性，而且串聯(lián)起了點(diǎn)、線、面三種平面空間的基本元素，提升了學(xué)生的空間觀念和直觀想象素養(yǎng)。

3.以量化為驅(qū)動，由淺入深構(gòu)建“單位”意識

“面積”是最基本的幾何度量學(xué)概念，要度量就必須構(gòu)建一定的標(biāo)準(zhǔn)，即“計(jì)量單位”。在構(gòu)建面積單位的過程中，教師應(yīng)通過有效的引導(dǎo)和直觀的操作，讓學(xué)生自主實(shí)現(xiàn)對于圖形面積的量化表達(dá)，從而引導(dǎo)學(xué)生感悟度量思想，并在對比分析中經(jīng)歷“建立標(biāo)準(zhǔn)”的過程。

【教學(xué)片段3】

環(huán)節(jié)一：賦值量化，初步構(gòu)建面積單位

師：學(xué)習(xí)面積，不僅要研究面積是什么，還要研究面積是多少。仔細(xì)觀察圖3中的四個圖形，請分別用四個數(shù)來表示它們的面積。

生1：如果第1個圖形面積為1，第2個就是4，第3個就是5，第4個可能是20或25。

師：如果圖形①的面積是1，為什么②、③圖形面積分別是4和5呢？

生2：因?yàn)閳D形②、③的面積分別是圖形①的4倍、5倍。

師：下面請大家利用學(xué)具，在學(xué)習(xí)單上試著表示這4個圖形的面積。（學(xué)具為20個面積與圖形①相同的正方形。學(xué)生作品如圖4所示）

生3：圖形④的面積是25。

師：圖形④沒擺滿，怎么能肯定面積是25呢？

生4：擺圖形④的時候，正方形不夠了，我就在第一行擺了5個，能擺這樣的5行，5×5=25，面積就是25。? 環(huán)節(jié)二：對比分析，探索面積單位標(biāo)準(zhǔn)

師：同學(xué)們，剛才你們是用什么圖形來測量面積的？能用其他圖形嗎？

生5：剛才用的是正方形。我覺得圓形、三角形也可以用來測量面積。（如圖5）

師：對比觀察，你們覺得用哪一種圖形測量面積最合理？

生6：正方形最合理，因?yàn)檎叫沃g沒有空隙，而圓形之間有空隙，測量不準(zhǔn)確。

生7：雖然三角形之間也沒有空隙，但三角形沒有正方形簡便、直觀。

師：看來，想要用某圖形來測量面積，圖形之間不能有空隙，所以像這樣的五邊形、八邊形等（如圖6），也不能用來測量面積，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)求真的思想。

師：此外，像這樣的三角形、長方形（如圖7），雖然圖形之間沒有空隙，但是不如正方形簡潔、直觀，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)求簡的思想。

師：因此，我們一般用正方形的個數(shù)來表示面積的大小，將正方形作為面積單位。

【評析】面積單位教學(xué)常常存在兩個難點(diǎn)，一是如何引導(dǎo)學(xué)生自主領(lǐng)悟到面積測量的實(shí)質(zhì)是面積單位的累加;二是如何幫助學(xué)生理解面積單位選擇正方形的原因。

針對難點(diǎn)一，教師利用圖形面積的倍數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生為圖形面積“賦值”，在這種方法的啟發(fā)下，學(xué)生會自覺地用圖形①作為標(biāo)準(zhǔn)來度量其他圖形，再通過動手操作，不僅加深了對于面積本質(zhì)的理解，而且形成了直觀想象和推理能力。

針對難點(diǎn)二，教師弱化了以是否能鋪滿圖形作為面積單位判定標(biāo)準(zhǔn)的思路，而是首先通過對比，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到面積單位應(yīng)具有“密鋪”的特性;再帶領(lǐng)學(xué)生深入探究，實(shí)現(xiàn)面積單位選擇的優(yōu)化，從中滲透數(shù)學(xué)求真和求簡的思想。

4.在拓展中升華，打通測量體系“任督”二脈

教師在學(xué)生能夠用“數(shù)”來描述“形”的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生以結(jié)構(gòu)化思維拓展知識空間，將學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的長度、時間、質(zhì)量的測量與面積測量相整合，指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)測量的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生對面積概念的深度理解，對測量知識體系的架構(gòu)，為以后的測量學(xué)習(xí)奠定基石。

【教學(xué)片段4】

（練習(xí)部分略）

師：同學(xué)們，除了測量面積，我們還學(xué)習(xí)過測量什么呢？

生1：還學(xué)過測量長度、質(zhì)量、時間。

師：那測量長度、面積、質(zhì)量、時間之間有沒有什么共同點(diǎn)呢？請大家觀看微課自學(xué)。（微課內(nèi)容如圖8所示）

生2：我發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)是用被測物體與測量單位進(jìn)行比較。

【評析】教師分別以鐵球質(zhì)量、賽跑用時、路燈高度、長方形的面積為例，通過微視頻的方式，經(jīng)濟(jì)高效地捕捉各種測量的共同點(diǎn)，揭示了測量的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了知識學(xué)習(xí)的以點(diǎn)帶面。同時，又助推學(xué)生更加深刻地認(rèn)識面積的意義和面積單位的價(jià)值。

綜上，在小學(xué)的概念學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富、鮮活的概念內(nèi)涵。特別是圍繞“面積”這種抽象的概念，可引導(dǎo)學(xué)生通過多覺聯(lián)動的方式，建立“面”的表象;利用對比觀察的視角，引出面積的概念;調(diào)動學(xué)生的量感，建立面積單位標(biāo)準(zhǔn)，揭示面積的本質(zhì);有效拓展提升，搭建知識體系。一方面，可使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對概念的不斷完善和構(gòu)建，通過概念意象與概念定義的整合，加深對概念的理解和掌握;另一方面，教師的課堂設(shè)計(jì)能夠讓學(xué)生在觀察、對比、估量、分析的過程中，有效提升空間觀念和直觀想象素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地。

（責(zé)編 羅 艷）