沈偉明

【摘要】相似三角形是初中幾何中重要知識(shí)點(diǎn)，相似三角形基本圖形的掌握是此知識(shí)點(diǎn)的基本要素，以基本圖形為研究對(duì)象，并將其作為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，能收到良好的效果。

【關(guān)鍵詞】 基本圖形;數(shù)學(xué)素養(yǎng);三角形教學(xué)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“圖形與幾何”方面的學(xué)習(xí)要求是讓學(xué)生能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系。“圖形與幾何”的教學(xué)從某種意義上講就是使學(xué)生認(rèn)識(shí)基本圖形的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用基本圖形的方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此平面基本圖形的認(rèn)識(shí)、儲(chǔ)備、運(yùn)用在相似三角形的教學(xué)中顯得十分重要。

一、初中學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：人的思維不僅要借助概念，也要借助表象來(lái)進(jìn)行。表象就是人們頭腦中出現(xiàn)的事物的形象。初中學(xué)生以形象思維為主，形象思維的對(duì)象就是表象。如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生重點(diǎn)加工基本圖形，那么這些基本圖形就可以在學(xué)生的大腦中形成比較清晰的表象，從而為解決更復(fù)雜的圖形打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。面向初中學(xué)生，以基本圖形為研究對(duì)象，并將其作為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，符合初中學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)。

二、基本圖形與基本圖形分析法

在幾何內(nèi)容中，圖形是重要的表達(dá)形式?；緢D形一般是指在教材中描述圖形定義、公理、定理的圖形，如平行線(xiàn)、直角三角形、平行四邊形、正方形等。另一類(lèi)是指一些具有代表性的例題或習(xí)題中常見(jiàn)的圖形，將同種類(lèi)型的問(wèn)題進(jìn)行合理歸納、梳理，進(jìn)而形成的一個(gè)個(gè)基本的圖形。利用基本圖形分析問(wèn)題，是幾何學(xué)習(xí)的有效途徑。熟悉基本圖形的特征、特性，可在描圖、畫(huà)圖的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)想象素養(yǎng)，在分析問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。相似三角形中出現(xiàn)了大量的基本圖形：平行線(xiàn)型、相交線(xiàn)型、母子型、一線(xiàn)三等角型等，通過(guò)對(duì)這些基本圖形為主線(xiàn)開(kāi)展例題教學(xué)和問(wèn)題解決，能有效提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光提出問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

三、基本圖形模型

相似三角形是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第六章《圖形的相似》的內(nèi)容，常見(jiàn)的基本圖形主要包括以下幾種類(lèi)型：

（一）平行線(xiàn)型

如圖1-1、1-2，若DE∥BC，則?ABC～?ADE，這種基本圖形很像英文字母A、X，因此我們稱(chēng)它們?yōu)椤癆型圖” “X型圖”。特點(diǎn)：兩個(gè)相似三角形有兩邊在同一直線(xiàn)上，第三邊相互平行。

（二）相交線(xiàn)型

如圖2-1、2-2，若∠AED=∠B，則?ABC～?AED，這種基本圖形我們稱(chēng)它們?yōu)椤靶盇型圖” “斜X型圖”。特點(diǎn)：兩個(gè)相似三角形有兩邊在同一直線(xiàn)上，有一個(gè)公共角或?qū)斀恰?/p>

（三）一線(xiàn)三等角型

如圖3-1，若∠CAD=∠DBE=∠CDE，則?CAD～?DBE，這是常見(jiàn)的相似模型，我們稱(chēng)之為“一線(xiàn)三角型”，指的是三個(gè)等角在同一條直線(xiàn)上構(gòu)成的相似模型。這個(gè)角可以銳角，也可是直角或鈍角，兩個(gè)相似的三角形可在同側(cè)也可以異側(cè)，如圖3-2、3-3、3-4、3-5、3-6。

（四）母子型

將圖2-1中DE向下平移到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，如圖4-1，則?ABC～?ACD，這種相似基本圖形稱(chēng)之為“母子型”。特別地，如圖4-2令∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高時(shí)，則?ABC～?ACD～?CBD?！澳缸有汀毕嗨颇Ｐ鸵卜Q(chēng)之為共邊共角型，其最為顯著的特征為：圖形中含有一個(gè)公共角和一條公共邊，大小三角形錯(cuò)疊相依。

四、運(yùn)用基本圖形解題

（一）直接利用問(wèn)題中基本圖形解題

這類(lèi)題型簡(jiǎn)明，條件不多，教師只需引導(dǎo)學(xué)生找出問(wèn)題圖形中的基本圖形，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)解題即可。如圖5，?ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是BC邊上點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作∠EDF=∠B，射線(xiàn)DE、DF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)BE=2，點(diǎn)F為AC中點(diǎn)時(shí)，求BD的長(zhǎng)。

分析：本題是常見(jiàn)的“一線(xiàn)三角型”，根據(jù)∠EDF=∠B=∠C，可得?EBD～?DCF，得=，令BD=x，DC=5-x，則有=，解得x=2或x=3。

（二）分離基本圖形解題

任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形都是由若干個(gè)基本圖形組合而成的，面對(duì)復(fù)雜圖形要引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、想象、比較、分析問(wèn)題圖形，精準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)貜膯?wèn)題圖形中分離出基本圖形并厘清圖形關(guān)系，再利用基本圖形性質(zhì)，問(wèn)題就能迎刃而解。如圖6，平行四邊ABCD中，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)F，則圖中共有多少對(duì)相似三角形？

分析 根據(jù)AB∥CD，可分離出圖6-1和圖6-2，得?ABG～?FDG，?ABE～?FCE，根據(jù)AD∥BC，可分離出圖6-3和圖6-4，得?ADF～?ECF，?ADG?EBG，根據(jù)相似傳遞性得?ADF～?EBA，?ABD～?CBD，共六對(duì)。

（三）添加輔助線(xiàn)構(gòu)成基本圖形解題

這類(lèi)題型具有一定的隱蔽性，教學(xué)過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀分析題目信息和圖形特點(diǎn)，嘗試先找到基本圖形的一部分，通過(guò)學(xué)生的聯(lián)想、幾何直觀(guān)，再添加輔助線(xiàn)把圖形補(bǔ)全，構(gòu)成完整的基本圖形。如圖7，?ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，E是CA延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，ED交AB于點(diǎn)F，EF：FD=2：3，求AF：FB的值。

分析：聯(lián)想已學(xué)相似三角形基本圖形，通過(guò)合作交流，學(xué)生們分別找出了幾種不同的解法。法一：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交CE于點(diǎn)G，則有?EFA～?EDG，?CDG～?CBA。法二：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交AB于點(diǎn)G，則有?EFA～?DFG，?BDG～?BCA。法三：過(guò)F點(diǎn)作FG∥EC交BC于點(diǎn)G，則有?BFG～?BAC，?DFG～?DEC。法四：過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC交CE于點(diǎn)G，則有?EFG～?EDC，?AFG～?ABC。法五：過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交ED延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則有?EFA～?EGC，?CDG～?BDF。

五、反思感悟

（一）熟悉基本圖形，發(fā)展學(xué)生空間觀(guān)念

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)，觀(guān)察、想象、分析圖形和思考問(wèn)題，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣，發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念。運(yùn)用基本圖形教學(xué)時(shí)，教師遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，分別從“直接應(yīng)用基本圖形”“從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形”“構(gòu)造基本圖形”三個(gè)層次，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念，達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生技能提高的目的。

（二）掌握基本圖形，建立學(xué)生幾何直觀(guān)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“幾何直觀(guān)是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀(guān)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)生直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用”。它表明，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀(guān)，培養(yǎng)幾何直觀(guān)能力應(yīng)該貫穿義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的始終。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，理解、記憶結(jié)果，借助對(duì)基本圖形的分析與學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用圖形思考、想象問(wèn)題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。這種幾何直觀(guān)能力能使我們更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)。

（三）運(yùn)用基本圖形 形成學(xué)生模型思想

模型思想是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心理念之一，數(shù)學(xué)教育家羅增儒教授提倡在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要善于對(duì)新問(wèn)題展開(kāi)聯(lián)想，辨別它是否屬于某個(gè)已經(jīng)掌握的類(lèi)型，如果不直接屬于，那么能否進(jìn)行一些變化，使之屬于某個(gè)類(lèi)型。數(shù)學(xué)模型的形式是多樣的，有方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)模型，也有幾何中融合著特殊位置關(guān)系和特殊數(shù)量關(guān)系的基本圖形，還有統(tǒng)計(jì)與概率中數(shù)據(jù)模型和概率模型。在相似三角形教學(xué)中將常見(jiàn)幾何圖形抽象為為平行線(xiàn)型，相交線(xiàn)弄，一線(xiàn)三角形等最具代表性的基本圖形，形成數(shù)學(xué)模型，使之成為學(xué)生解決幾何問(wèn)題的重要工具， 在圖形與幾何的教學(xué)中，將模型思想滲透到教學(xué)之中，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有應(yīng)用意識(shí)，提升了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

結(jié)語(yǔ)

教師要多引導(dǎo)學(xué)生積累常見(jiàn)的基本圖形知識(shí)以及構(gòu)建基本圖形的方法，注重對(duì)基本圖形的分析和挖掘，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

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