問(wèn)題引領(lǐng)思維，凸顯教學(xué)本質(zhì)

林虹

[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)就是思維的教學(xué). 課本例題都是教材編纂者精心選出來(lái)的，只有立足于學(xué)生的認(rèn)知去理解教材意圖，挖掘課本例題的豐富內(nèi)涵和廣闊外延，才能有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維. 本例題的教學(xué)設(shè)計(jì)把“由角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系”貫穿始終，通過(guò)分解圖形，暴露思維；類比實(shí)踐，沉淀思維；梳理小結(jié)，提升思維；例題演變，拓展思維等環(huán)節(jié)，揭示了“怎么想”到“怎么做”的思維過(guò)程，凸顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 理解教材；學(xué)生現(xiàn)狀；例題設(shè)計(jì)；基本圖形；思維教學(xué)

例題是知識(shí)的聚焦地，是學(xué)生思維交鋒的戰(zhàn)場(chǎng)，是教師實(shí)現(xiàn)教學(xué)主張的載體. 課本中每一個(gè)例題都是教材編纂者精心選出來(lái)的，有豐富的內(nèi)涵和廣闊的外延，意在促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的形成，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能. 在引導(dǎo)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力等方面，有著極大的潛在價(jià)值. 在數(shù)學(xué)教材中，由于篇幅、體系等諸多因素，一些內(nèi)容被簡(jiǎn)化或揚(yáng)棄，有著許多學(xué)生看不見的空洞和留白，教師應(yīng)及時(shí)把這些看不見的空白之處暴露出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程，使教材內(nèi)容“增值”. 但在具體的教學(xué)實(shí)施和學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，沒(méi)有充分使用課本例題，挖掘其教學(xué)價(jià)值的現(xiàn)象屢屢發(fā)生. 一些教師認(rèn)為課本例題太簡(jiǎn)單，或?yàn)榱饲笮铝惖壬釛壵n本例題；一些教師在教材例題解讀上，本位思想嚴(yán)重，沒(méi)有立足于學(xué)生的認(rèn)知去理解教材意圖，因此教學(xué)也未能凸顯例題教學(xué)本質(zhì). 下面就一道具體的課本例題的教學(xué)過(guò)程探索其教學(xué)本質(zhì).

題目與分析

如圖1，∠1=∠2，∠B+∠BDE=180°，指出圖中哪些直線相互平行，并說(shuō)明理由.

1. 教材解答

解：AB∥EF，DE∥BC.

因?yàn)椤?與∠2是AB，EF被DE截成的內(nèi)錯(cuò)角，且∠1=∠2，所以AB∥EF.

理由是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

因?yàn)椤螧與∠BDE是BC，DE被AB截成的同旁內(nèi)角，且∠B+∠BDE=180°，所以DE∥BC.

理由是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

2. 教材意圖

該例題是第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）中，探索直線平行的條件（第二課時(shí)）的內(nèi)容. 這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：①會(huì)正確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；②探索并證明直線平行的條件：“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”（下文把它們稱為直線平行的第2個(gè)、第3個(gè)條件）；③經(jīng)歷探索直線平行條件的過(guò)程，發(fā)展空間觀念和有條理的表達(dá)能力.

該例題是在學(xué)生認(rèn)識(shí)內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的基礎(chǔ)上，對(duì)探索歸納出的直線平行的條件的應(yīng)用. 它具有開放性，要求根據(jù)給出的條件，找出圖中互相平行的直線，并尋找使這些直線平行的條件. 其作用有兩個(gè)：一是運(yùn)用直線平行的第2個(gè)、第3個(gè)條件進(jìn)行推理；二是進(jìn)一步識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

3. 學(xué)生現(xiàn)狀

學(xué)生已有探索直線平行的條件“同位角相等，兩直線平行”的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)第二課時(shí)繼續(xù)探索直線平行的條件，學(xué)生能夠進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到平行作為兩直線的位置關(guān)系，與角的大小存在著內(nèi)在的聯(lián)系：由角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系，反映了圖形與數(shù)量之間的關(guān)系. 由于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)有著一定的認(rèn)知過(guò)程，他們對(duì)內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特征認(rèn)識(shí)還不是很充分，很大程度上在圖形中無(wú)法清楚識(shí)別：已知的兩角是由哪兩條直線被第三條直線所截而構(gòu)成的哪類角？即對(duì)由“角”找“線”存在困惑、迷茫. 因此很多學(xué)生對(duì)教材提供的解答，知其然不知其所以然，很難實(shí)現(xiàn)教材的意圖，達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 分解圖形，暴露思維

我們知道，教學(xué)的價(jià)值往往表現(xiàn)在面對(duì)問(wèn)題能自然地做出選擇，又不斷地優(yōu)化自己的想法與做法，并在這一思維過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，增長(zhǎng)智慧. 為了達(dá)到這種教學(xué)價(jià)值，筆者采用華羅庚教授所說(shuō)的“善于解題就是要善于退，要退到最簡(jiǎn)單而又不失本質(zhì)的地方”，立足于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)現(xiàn)狀，用“退”的思想，設(shè)計(jì)了從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，由“角”找“線”的教學(xué)活動(dòng).

問(wèn)題1 （1）角是由什么組成的圖形？∠1，∠2由哪兩條邊組成？ 用紅色的線標(biāo)識(shí)出這兩邊，然后畫出所標(biāo)識(shí)的部分并標(biāo)注相應(yīng)的字母.

（2）觀察你所畫的基本圖形，由于角的邊是直線的一部分，因此我們可知∠1和∠2是由哪兩條直線被哪條直線所截而成的什么角.

（3）這樣由∠1=∠2可知哪兩條直線平行？其依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生展開思維活動(dòng). 學(xué)生識(shí)別角時(shí)常常沒(méi)有依據(jù)角的定義，沒(méi)辦法把角和直線聯(lián)系起來(lái). 所以設(shè)計(jì)時(shí)“退”到角的定義，在圖中找出角的邊，然后分解出如圖2的基本圖形，接著在基本圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系，找出平行直線也就水到渠成了. 這樣的活動(dòng)過(guò)程，為學(xué)生搭建了化“抽象”為“直觀”的腳手架，暴露了由“怎么想”到“怎么做”的思維過(guò)程，使學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念.

生成預(yù)設(shè) 對(duì)于第（1）問(wèn)，學(xué)生解答不存在問(wèn)題，老師結(jié)合學(xué)生的回答在PPT中用紅色線標(biāo)識(shí)∠1，∠2的邊，待學(xué)生嘗試畫圖后，老師再在PPT中演示：從原圖形中剝離用紅色線標(biāo)識(shí)的∠1，∠2，分解出如圖2的基本圖形——“Z”型圖. 對(duì)于第（2）問(wèn)，讓學(xué)生思考后回答，如學(xué)生有問(wèn)題可適當(dāng)提醒學(xué)生“三線八角”的知識(shí). 這種從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形的方法，幫助學(xué)生排除多余的干擾因素，去偽存真，問(wèn)題（3）的答案也就顯而易見了.

2. 類比實(shí)踐，沉淀思維

通過(guò)問(wèn)題1的探索過(guò)程，學(xué)生初步積累了由“角”找“線”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可很大程度上只停留在感知層面，學(xué)生是否真正掌握需要實(shí)踐的檢驗(yàn). 正如波利亞所說(shuō)：數(shù)學(xué)解題是一種實(shí)踐性技能，就像游泳、滑雪和彈鋼琴一樣，要通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí). “由∠1=∠2確定的平行直線”與“由∠B+∠BDE=180°確定的平行直線”在結(jié)構(gòu)和特征上有著共同點(diǎn)和相似處，因此可采用與問(wèn)題1類比的方法進(jìn)行研究，突出知識(shí)間的聯(lián)系，有利于學(xué)生掌握的系統(tǒng)性及內(nèi)在聯(lián)系. 于是筆者提出了以下問(wèn)題.

問(wèn)題2 類比問(wèn)題1的探索過(guò)程，請(qǐng)你指出由∠B+∠BDE=180°確定的平行直線，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖 認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)習(xí)既是經(jīng)驗(yàn)的遷移，又是在原有知識(shí)上的建構(gòu). 初一學(xué)生研究平面圖形的經(jīng)驗(yàn)不足，對(duì)研究平面圖形的思想方法還沒(méi)有形成一個(gè)完備的結(jié)構(gòu)體系，可遷移的經(jīng)驗(yàn)很少，所以學(xué)生對(duì)找基本圖形感到困難. “類比問(wèn)題1的探索過(guò)程”為學(xué)生提供探索問(wèn)題的方向，把前面在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的思維經(jīng)驗(yàn)實(shí)踐于問(wèn)題2的探索，屬于知識(shí)的遷移，更是經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程.

生成預(yù)設(shè) 學(xué)生能仿照問(wèn)題1的活動(dòng)過(guò)程，找出如圖3的基本圖形——“C”型圖，答案的得出不是難事.

3. 梳理小結(jié)，提升思維

問(wèn)題3 通過(guò)上述活動(dòng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生反思活動(dòng)過(guò)程，小結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升活動(dòng)理論，主要是將“增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”的課程目標(biāo)，細(xì)化為“根據(jù)兩角的大小關(guān)系確定兩直線的位置關(guān)系”這一課時(shí)目標(biāo)，感悟從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形的方法，讓學(xué)生掌握由“角”找“線”的“數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)”，培養(yǎng)學(xué)生有條理的表達(dá)能力.

生成預(yù)設(shè) 從尋找已知兩角的邊出發(fā)，畫出對(duì)應(yīng)的基本圖形，結(jié)合該基本圖形確定已知的兩角是由哪兩條直線被第三條直線所截而成的哪一類角，再在該基本圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系.

4. 例題演變，拓展思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理和交流等數(shù)學(xué)活動(dòng). 不僅要將知識(shí)遷移，還要學(xué)會(huì)變化，能夠做到舉一反三. 筆者圍繞“由角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系”的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)例題適當(dāng)引申、挖掘，將知識(shí)、方法與技巧融入其中，讓學(xué)生在解題過(guò)程中感知題組內(nèi)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)題組內(nèi)蘊(yùn)含的知識(shí)和方法.

變式1 如圖1，除∠1=∠2外，若要說(shuō)明直線AB∥EF，需要什么條件？

設(shè)計(jì)意圖 變式1與例題是一個(gè)互逆的過(guò)程，它反映了由“線”找“角”，是“由果索因”的數(shù)學(xué)活動(dòng). 學(xué)生獨(dú)立思考后，小組討論，全班展示，使學(xué)生體會(huì)到：由于第三條直線不確定導(dǎo)致答案不唯一. 該變式深化例題的豐富內(nèi)涵，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，旨在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，開闊思維的寬度，提高學(xué)生的思維品質(zhì).

生成預(yù)設(shè) 每位學(xué)生自主探索后，相互交流，得到如下結(jié)論：以AC為第三條直線得到如圖4的基本圖形，由圖4可知當(dāng)∠A=∠FEC時(shí)，直線AB∥EF；以DE為第三條直線得到如圖5的基本圖形，由圖5可知當(dāng)∠DEF+∠BDE =180°時(shí)，直線AB∥EF；以BC為第三條直線得到如圖6的基本圖形，由圖6可知當(dāng)∠B=∠EFC或∠B+∠BFE =180°時(shí)，直線AB∥EF.

變式2 如圖1，除∠B+∠BDE=180°外，若要說(shuō)明直線DE∥BC，需要什么條件？

設(shè)計(jì)意圖 同變式1，不再贅述.

生成預(yù)設(shè) 每位學(xué)生自主探索后，相互交流，得到如下結(jié)論：以AB為第三條直線得到如圖7的基本圖形，由圖7可知當(dāng)∠B=∠ADE時(shí)，直線DE∥BC；以EF為第三條直線得到如圖8的基本圖形，由圖8可知當(dāng)∠DEF=∠EFC或∠DEF+∠BFE=180°時(shí)，直線DE∥BC；以AC為第三條直線得到如圖9的基本圖形，由圖9可知當(dāng)∠AED=∠C時(shí)，直線DE∥BC.

變式3 如圖1，如果∠1=∠EFC，直線DE∥BC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖 很多學(xué)生依靠直覺認(rèn)為∠1與∠EFC是同位角，通過(guò)追根溯源，即與“三線八角”的知識(shí)比較辨析，通過(guò)對(duì)比，凸顯差異，強(qiáng)化同位角的圖形特征. 運(yùn)用“形相近，意相遠(yuǎn)”的題目，鞏固知識(shí)的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性，促使學(xué)生進(jìn)一步養(yǎng)成解題有根有據(jù)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

生成預(yù)設(shè) 誤認(rèn)∠1與∠EFC是同位角，得到直線DE∥BC的錯(cuò)誤結(jié)論. 老師分解出如圖10的圖形，然后用“三線八角”的知識(shí)識(shí)別∠1與∠EFC不是同位角.

反思

1. 理解教材是教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要資源. 平時(shí)教學(xué)中，研讀教材，領(lǐng)悟編者意圖，在教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)環(huán)節(jié)上對(duì)教材進(jìn)行深入思考，尋求更恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容來(lái)呈現(xiàn)，以期有效引導(dǎo)學(xué)生參與重要的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的產(chǎn)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容更深層次的理解. 本例題的教學(xué)設(shè)計(jì)把“由角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系”貫穿始終，注重該知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”. 又把它置于整體知識(shí)的體系中，設(shè)計(jì)出具有挑戰(zhàn)性的三個(gè)變式，注重處理局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.

2. 切合學(xué)生是教學(xué)設(shè)計(jì)的本源

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上. 了解學(xué)生，是一切教學(xué)的基礎(chǔ)；適合學(xué)生，是因材施教的體現(xiàn). 再精彩的教學(xué)設(shè)計(jì)都需要通過(guò)學(xué)生這一主體來(lái)落實(shí)，這直接關(guān)系到教學(xué)的有效程度. 如本例題的教學(xué)設(shè)計(jì)，就是在摸透學(xué)情的情況下，對(duì)可能出現(xiàn)的困難、錯(cuò)誤進(jìn)行一種預(yù)設(shè). 運(yùn)用從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形的方法，化繁為簡(jiǎn)，切合學(xué)生的知識(shí)能力水平，符合學(xué)生的心理年齡特點(diǎn). 只有這樣，學(xué)生才會(huì)在嘗試與體驗(yàn)中積極思考，才能在知識(shí)能力、數(shù)學(xué)思維、問(wèn)題解決等方面真正得以發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

3. 暴露思維是教學(xué)設(shè)計(jì)的核心

數(shù)學(xué)的核心是思維，思維需要拓展，不能停留于“淺灘”，要思維向“青草更深處漫溯”. 本例題三個(gè)變式題組的設(shè)計(jì)，使學(xué)生對(duì)“由角的數(shù)量關(guān)系判定直線的位置關(guān)系”的認(rèn)識(shí)，既從圖形結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解讀，又從數(shù)量關(guān)系上深入接觸到其隱性的內(nèi)涵知識(shí). 不僅能讓學(xué)生充分暴露思維本真，而且能開闊思維寬度，豐富學(xué)生解決問(wèn)題方法的多樣性，更使得數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的滲透做到靈活自如，自然貼切.

葉圣陶先生說(shuō)過(guò)：“教材只能用為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受益，還要靠教師善于應(yīng)用. ”這就告誡我們要善于“用教材”，而不是“教教材”. 只有在理解教材、切合學(xué)生、暴露思維的前提下，教師適當(dāng)對(duì)例題進(jìn)行引申、拓廣，充分挖掘其智能因素——或啟迪思路，注重方法；或引申問(wèn)題，豐富內(nèi)涵；或串聯(lián)知識(shí)，一題多解；或解后思考，擴(kuò)大成果；或歸納題型，總結(jié)規(guī)律，從而有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提高課堂教學(xué)質(zhì)量.