石鳳燕

[摘? 要] 作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)對(duì)發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)具有重要作用. 文章以“生活中的優(yōu)化問(wèn)題”教學(xué)為例，探討了基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，提出了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的有效路徑.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);課堂教學(xué)

作為引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維觀察世界、思考世界、表達(dá)世界的重要手段和載體，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不僅能夠幫助學(xué)生靈活巧妙地利用所學(xué)知識(shí)將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題抽象化、簡(jiǎn)潔化，而且也能應(yīng)用數(shù)學(xué)模型有效解釋某些客觀現(xiàn)象、預(yù)測(cè)未來(lái)發(fā)展規(guī)律，甚至還可以為鼓勵(lì)或控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供良好的策略，很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力. 而隨著以核心素養(yǎng)為價(jià)值取向的課程改革的逐步深入，指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，體驗(yàn)完整的建模過(guò)程，提高模型求解能力[1]，對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落實(shí)在課堂教學(xué)中具有重要的意義.

下面以高中數(shù)學(xué)“生活中的優(yōu)化問(wèn)題”教學(xué)為例，探討基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐.

[?]教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)分析

數(shù)學(xué)應(yīng)用貫穿了整個(gè)高中教學(xué)過(guò)程，“生活中的優(yōu)化問(wèn)題”是在學(xué)生學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)后，對(duì)所學(xué)知識(shí)的真實(shí)體驗(yàn)和應(yīng)用. 若從認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面分析，對(duì)于生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，高中學(xué)生已經(jīng)具備了數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，但是在面對(duì)復(fù)雜實(shí)際的問(wèn)題時(shí)，對(duì)于避免不必要的干擾要素，分析篩選出其中的關(guān)鍵因素，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為較理想、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題還存在一定的困難，特別是在分析實(shí)際問(wèn)題背景、利用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋生活現(xiàn)象、結(jié)論驗(yàn)證不正確時(shí)如何優(yōu)化研究過(guò)程等方面還沒(méi)有形成思維習(xí)慣，建模和解模對(duì)于高中學(xué)生而言仍然是一個(gè)難點(diǎn).

基于以上分析，將“生活中的優(yōu)化問(wèn)題”課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下：

（1）體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在解決有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用;

（2）提升學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)求真務(wù)實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度.

（3）熟悉數(shù)學(xué)建模步驟，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

教學(xué)難點(diǎn)：如何將復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題反復(fù)調(diào)整為合理的數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)重點(diǎn)：明確數(shù)學(xué)模型的建立步驟，利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題.

[?]主體教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

問(wèn)題1：飲料是大家日常生活中最為常見(jiàn)的物品，最早在市場(chǎng)上出現(xiàn)的飲料是運(yùn)用“大瓶”進(jìn)行包裝的，而隨著人們生活水平的提高，市場(chǎng)上的飲料包裝逐漸向“易拉罐裝”方式轉(zhuǎn)變，請(qǐng)你分析一下這是為什么. 假如你是某飲料生產(chǎn)商，你認(rèn)為開(kāi)發(fā)“易拉罐裝”的飲料，需要哪些方面的研究，具體要考慮哪些因素.

教師活動(dòng)：提問(wèn)與引導(dǎo).

教學(xué)評(píng)價(jià)：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是從具體情境問(wèn)題中體現(xiàn)出來(lái)的，而這里所創(chuàng)建的情境問(wèn)題，必須是學(xué)生非常熟悉的，是學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出的[2]. 同時(shí)，還能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在具體生活中的應(yīng)用.

2. 數(shù)學(xué)建模，解決問(wèn)題

問(wèn)題2：根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，通常情況下成年人每天的平均飲水量為355 ml. 若某品牌飲料設(shè)計(jì)的容量為V ml，瓶身類似于圓柱體，為了節(jié)省原材料，請(qǐng)問(wèn)：如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓柱體瓶身的尺寸？如何應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示上述問(wèn)題？[3]

教師活動(dòng)：多重設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生提煉關(guān)鍵信息，提問(wèn)并組織學(xué)生解題.

教學(xué)評(píng)價(jià)：通過(guò)交流討論，學(xué)生在熟悉的情境中完成了由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的第二次抽象，有效促使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系;并在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生預(yù)設(shè)該圓柱體瓶身的高為h，底面半徑為r，則體積可表示為V=πr2h，獲得h=，而圓柱體瓶身的表面積可表示為S=2π

r2+

，進(jìn)而將這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了“當(dāng)r取何值時(shí)，圓柱體的表面積S最小”;最后引導(dǎo)學(xué)生得出：當(dāng)r=，h===2r時(shí)，S取得最小值.

問(wèn)題3：上述求證過(guò)程反映在實(shí)際生活中具體表示為什么，能否應(yīng)用相應(yīng)的圓柱體易拉罐進(jìn)行驗(yàn)證？通過(guò)分組的形式測(cè)量一個(gè)可口可樂(lè)易拉罐的尺寸.

教師活動(dòng)：提供幫助，組織學(xué)生測(cè)量.

教學(xué)評(píng)價(jià)：對(duì)數(shù)學(xué)模型h=2r的解釋和證明能夠幫助學(xué)生提升應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力;同時(shí)，也有利于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力的提高.

問(wèn)題4：現(xiàn)實(shí)結(jié)果與研究結(jié)果并不一致，能否進(jìn)一步進(jìn)行闡述說(shuō)明？有人認(rèn)為，結(jié)果不一致主要有以下兩個(gè)原因：一是易拉罐頂蓋的厚度、易拉罐罐底以及罐身的厚度不一樣;二是上述研究過(guò)程將易拉罐近似地看作一個(gè)圓柱體. 你認(rèn)為上述哪個(gè)方面對(duì)研究結(jié)果的影響較大，能否對(duì)已經(jīng)建立的模型進(jìn)行優(yōu)化？

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，多角度培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)評(píng)價(jià)：數(shù)學(xué)模型的建立本身就是一個(gè)反復(fù)驗(yàn)證、優(yōu)化的過(guò)程，而問(wèn)題4的探究還能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的精神.

問(wèn)題5：若在上述模型建立過(guò)程中，不再忽略易拉罐頂蓋和其他部分材料厚度的差異，能否重新確定參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型？

教師活動(dòng)：呈現(xiàn)資料，及時(shí)給予引導(dǎo)和幫助.

教學(xué)評(píng)價(jià)：雖然此問(wèn)題看似前面問(wèn)題的“重復(fù)”，但實(shí)質(zhì)上對(duì)于高中學(xué)生而言，要跳出原有的思維重新建立模型，本身具有挑戰(zhàn)性. 而且，前面問(wèn)題要求的是表面積的最小值，而此問(wèn)題要求的是體積的最大值. 值得一提的是，問(wèn)題5的探究若在課堂上無(wú)法完成，則教師可以采取小組討論的形式，在課后通過(guò)研究性學(xué)習(xí)的方式要求學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型.

3. 反思?xì)w納，總結(jié)提升

問(wèn)題6：根據(jù)上述教學(xué)活動(dòng)，請(qǐng)歸納出利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的具體步驟和注意事項(xiàng). 本節(jié)課程教學(xué)中，你還有哪些收獲？能否從數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想等方面進(jìn)行表達(dá)？

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和表達(dá)，歸納建模解模的步驟.BDAA7C06-1939-4CDD-8551-5B1024F9FF1C

教學(xué)評(píng)價(jià)：歸納總結(jié)是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中不可或缺的環(huán)節(jié)，而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值是一種很重要的思想和方法. 同時(shí)，實(shí)際問(wèn)題較為復(fù)雜，因此教師還要不斷引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)實(shí)踐、驗(yàn)證、優(yōu)化的基礎(chǔ)上獲得研究成果.

[?]教學(xué)思考及啟示

1. 基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值問(wèn)題是重要的數(shù)學(xué)模型，其建模的主要任務(wù)就是在學(xué)生較為熟悉的生活情境中建立模型，并將模型反作用于實(shí)際問(wèn)題中. 但很多函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題都是在明確變量后，為了便于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)簡(jiǎn)化出來(lái)的，這就導(dǎo)致學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力弱化了. 因此，在具體的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的過(guò)程中，教師應(yīng)讓學(xué)生多接觸實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更加注重教學(xué)內(nèi)容中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

2. 基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值問(wèn)題的教學(xué)中，不能僅以學(xué)生單純發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及結(jié)論為基本宗旨，還應(yīng)為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供服務(wù)，如數(shù)學(xué)建模過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型思想就是學(xué)生良好的學(xué)習(xí)素材. 因此，教師還應(yīng)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在“想中做”“做中思”，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，在高效的討論交流中思考得更加透徹，觀察得更加明白，才能在未來(lái)的學(xué)習(xí)探究中達(dá)到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的效果.

3. 基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

核心素養(yǎng)是個(gè)人軟能力與既定知識(shí)技能的有機(jī)結(jié)合，而要在課堂教學(xué)中有效落實(shí)核心素養(yǎng)，就要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)思考、會(huì)體驗(yàn)、會(huì)表達(dá)的數(shù)學(xué)思維能力. 具體而言，就是要求教師能夠根據(jù)教學(xué)主題，圍繞核心問(wèn)題不斷創(chuàng)設(shè)情境，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，并以問(wèn)題為載體，引領(lǐng)學(xué)生在深度探究學(xué)習(xí)中經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，有效幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成的，而實(shí)踐證明，通過(guò)一系列數(shù)學(xué)模型教學(xué)案例探析教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、應(yīng)用意識(shí)等均得到了不同程度上的提高. 因此，教師應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想的核心地位，站在學(xué)生的角度去看數(shù)學(xué)建模[3];善于發(fā)揮教學(xué)主導(dǎo)和引領(lǐng)的作用，引領(lǐng)學(xué)生在深度探究學(xué)習(xí)中體驗(yàn)完整的建模過(guò)程，領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的能力，有效全面落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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[2]? 金一鳴，常梨君. 基于應(yīng)用問(wèn)題發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)——以概率應(yīng)用題為例[J]. 數(shù)學(xué)之友，2021（08）：73-75.

[3]? 姜瑋. 高中數(shù)學(xué)建模中優(yōu)化問(wèn)題的建模與實(shí)現(xiàn)研究[D]. 華中師范大學(xué)，2015.BDAA7C06-1939-4CDD-8551-5B1024F9FF1C