淺談反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：在新時期教學(xué)背景下，教師不僅要關(guān)注學(xué)生是否“學(xué)會”，還要關(guān)注學(xué)生是否“會學(xué)”，是否具備舉一反三、逆向推理的能力。特別是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更應(yīng)如此，教師要善于通過反例的“證偽”功能，證實數(shù)學(xué)定理公式的不可推翻性，以此加深學(xué)生對知識的認(rèn)識，掌握逆向的思維思考方法。在本文中，筆者將就反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用做了簡要的分析，希望能夠為廣大教師提供一些借鑒和幫助，僅供參考。

關(guān)鍵詞：反例;小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)概念

中圖分類號：G62? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2022）20-0050-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.20.017

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》明確提出“要培養(yǎng)學(xué)生尋求證據(jù)、給出證明、舉出反例的能力”，因此反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的價值。反例是鑒別假命題的常用工具，通過反例可以深化概念、糾正錯誤，還可以促使學(xué)生的創(chuàng)新思維能力得到有效培養(yǎng)。在今后的教學(xué)過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師要善于運用反例教學(xué)，以此提高學(xué)生的思維能力。

一、反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

長久以來，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多教師只注重正向推導(dǎo)，卻很少關(guān)注反例的運用。其實，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的運用價值，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。首先，反例能夠幫助學(xué)生深化知識概念。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的邏輯起點，同時也是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的前提和基礎(chǔ)。對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，若只是用證明的肯定例證，學(xué)生往往很難深刻地把握概念的本質(zhì)，而反例具有“證偽”的功能，若是引入反例去幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性進(jìn)行“凈化”，這一定可以促使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有更加深刻的認(rèn)識。其次，幫助學(xué)生糾正錯誤，發(fā)現(xiàn)問題。數(shù)學(xué)是一門對學(xué)生邏輯思維能力有較高要求的學(xué)科，因此學(xué)生經(jīng)常犯錯，但又不明白自身犯錯的原因，重復(fù)犯錯。而反例在錯誤辨析上具有簡單、明顯、說服力強(qiáng)的優(yōu)勢，在教學(xué)過程中教師若是能夠有效地列舉反例，就能最大限度地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤原因[1]。最后，有助于學(xué)生創(chuàng)新思維品質(zhì)的培養(yǎng)。一直以來，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是教材的編制還是教師的講解都是從正面的陳述出發(fā)，而這在不知不覺中使得學(xué)生養(yǎng)成了固定的思維模式，只會正向思考一些數(shù)學(xué)問題，而不會逆向?qū)で笏悸罚蠢谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用打破了傳統(tǒng)的思維定式，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)的有效途徑。

二、反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）把握有效運用反例的時機(jī)

反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的運用價值，但卻并不是在所有的教學(xué)時刻都適用的，教師要想充分發(fā)揮反例的優(yōu)勢和價值，需要準(zhǔn)確把握運用反例的時機(jī)，以此提高教學(xué)的效率。對此筆者提出了以下幾個方面的建議。

第一，當(dāng)學(xué)生不能全面感知知識時應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不可避免地會學(xué)習(xí)到一些內(nèi)涵較為豐富的數(shù)學(xué)知識，而這對于抽象思維能力較差的小學(xué)生而言是存在一定困難的。常規(guī)的教學(xué)方法難以幫助學(xué)生全面感知知識內(nèi)涵，此時就是教師列舉反例的最佳時機(jī)，可以通過反例的運用幫助學(xué)生凈化概念中非本質(zhì)屬性，從側(cè)面凸顯知識潛在的本質(zhì)屬性，以此實現(xiàn)對知識屬性透徹分析，從而加深學(xué)生對知識概念的把握。首先，教師應(yīng)該深度明確數(shù)學(xué)教學(xué)的動態(tài)化特性，同時學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的體驗深度和生成狀態(tài)也具有較強(qiáng)的動態(tài)性。基于此，教師要想順利啟動學(xué)生數(shù)學(xué)探究思維的迸射閘門，就應(yīng)該密切關(guān)注在數(shù)學(xué)教學(xué)流程推進(jìn)過程中學(xué)生的生成表現(xiàn)。如果學(xué)生的生成狀態(tài)較為活躍，能夠在基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)知識中自主發(fā)現(xiàn)新問題，就代表學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的輸入效果較好，這時教師可以暫緩反例的運用;如果學(xué)生的生成狀態(tài)較為僵硬，對教師啟發(fā)引導(dǎo)教學(xué)的積極情緒反應(yīng)不足，則代表學(xué)生在感知和輸入數(shù)學(xué)概念知識時出現(xiàn)了思維阻滯，那么教師必須抓住時機(jī)，迅速跟進(jìn)反例教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和逆向思維能力的靈活性，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的非理性認(rèn)識，從而實現(xiàn)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中對有效運用反例時機(jī)的科學(xué)把握。其次，在學(xué)生無法自主全面感知數(shù)學(xué)知識時，教師還應(yīng)該善于借助反例為學(xué)生搭建思維跳板，引導(dǎo)學(xué)生借助反例分析梳理數(shù)學(xué)模型的來龍去脈。這樣一則可以錘煉學(xué)生的遷移變式能力和逆向思維能力，二則也能順利消除學(xué)生數(shù)學(xué)模型中的非本質(zhì)屬性，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理性理解能力的橫向和縱向拓展，體現(xiàn)教師對反例運用時機(jī)的精準(zhǔn)把握。

第二，當(dāng)學(xué)生認(rèn)知活動受舊知識影響時應(yīng)用。新知識與舊知識之間具有相互聯(lián)系的特點。學(xué)生的新知是建立在舊知聯(lián)系基礎(chǔ)之上的，而且舊的知識是新知識學(xué)習(xí)的延伸和拓展點，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種規(guī)律特性。而也正是因為學(xué)習(xí)的這種特性，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時很容易受到過往知識規(guī)律的影響，從而造成學(xué)生出現(xiàn)知識混淆。此時，教師就可以通過列舉反例的方式，幫助學(xué)生澄清知識間的區(qū)別和聯(lián)系，這樣不僅可以避免學(xué)生的認(rèn)知活動受舊知識影響，還可以使學(xué)生立足于舊知識，更好地感知新知識[2]。學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知活動受舊知識影響主要有兩種表現(xiàn)：一種是學(xué)生的認(rèn)知能力局限在舊知識經(jīng)驗之內(nèi)，在領(lǐng)會新知識的過程中遭遇思維屏障;二是學(xué)生在同時吸納掌握新舊知識點之后，在拓展訓(xùn)練階段混淆新舊知識的本質(zhì)屬性，這些思維矛盾如果得不到妥善解決，學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建以及理性思考能力的發(fā)展勢必會受到不利影響。教師在針對以上情況運用反例時，應(yīng)該著重開發(fā)反例教學(xué)的思維引領(lǐng)功能，借助反例使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)概念的廣泛性和開放性，幫助學(xué)生解除認(rèn)知活動的限制，通過常規(guī)教學(xué)和反例引導(dǎo)促使學(xué)生自主明晰新舊知識之間的關(guān)聯(lián)點以及異同之處。這樣，學(xué)生的舊知識基礎(chǔ)可以得到有力鞏固，對于新知識的吸納效率也不再受限，還能順利領(lǐng)會類比、分類討論、歸納推理等數(shù)學(xué)思想。這些都有助于反例教學(xué)功用最大限度地發(fā)揮出來。

第三，當(dāng)學(xué)生受思維定式消極作用干擾時應(yīng)用。學(xué)生的思維消極作用主要體現(xiàn)在問題發(fā)生變化時，學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)新舊問題的區(qū)別，而是用自己慣性的思維去思考問題，從而導(dǎo)致學(xué)生陷入解題的瓶頸當(dāng)中。而此時教師就可以通過運用反例的方式給學(xué)生的思維以沖擊，以此引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上看問題，突破原有的思維定式，這種反例運用時機(jī)的把握可以更好地提升學(xué)生思維的靈活性。

第四，當(dāng)學(xué)生迷惑不解時應(yīng)用。數(shù)學(xué)是一門對學(xué)生邏輯思維、理性思維有較高要求的學(xué)科。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不可避免地出現(xiàn)各種困惑不解的情況，處于一種似是而非、似懂非懂的狀態(tài)，而此時也是教師運用反例的最佳時機(jī)。教師可以通過反例幫助學(xué)生排除錯誤知識，解決學(xué)生的思維困擾，促使學(xué)生的思維更加警覺、思路更加清晰，帶領(lǐng)學(xué)生走出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困惑狀態(tài)。

第五，當(dāng)學(xué)生不能自覺預(yù)防、改正錯誤時應(yīng)用。小學(xué)生由于思維認(rèn)識不全面以及對知識的負(fù)移動，經(jīng)常會出現(xiàn)各種各樣的錯誤。但是這些錯誤通過正面檢查的方式往往難以發(fā)現(xiàn)，而反例的運用可以幫助學(xué)生更好地預(yù)防錯誤并改正錯誤。如教師可以通過反例為學(xué)生提供更有說服力的預(yù)防錯誤的方法，讓學(xué)生在反例當(dāng)中對自身的錯誤有更加深刻的認(rèn)識，從而有效地改正錯誤，避免再犯同樣的錯誤。首先，教師在基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤作為反例運用時機(jī)時，必須先優(yōu)化自身對學(xué)生錯誤的認(rèn)識，不要將學(xué)生的錯誤視作棘手的教學(xué)矛盾，而是將其看作一種高質(zhì)量的教學(xué)資源，將錯誤資源和反例教學(xué)有機(jī)整合，具象直觀地為學(xué)生呈現(xiàn)邏輯思維錯誤，使學(xué)生一針見血地明確錯誤根源，這樣不但可以使學(xué)生的自主糾錯、改錯能力得到強(qiáng)效訓(xùn)練，也可以使反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用的科學(xué)性和精準(zhǔn)度得到大幅提高。其次，教師在學(xué)生不能自覺預(yù)防、改正錯誤時運用反例，還應(yīng)該加強(qiáng)優(yōu)化反例的運用流程。以往教師都是先點明、糾正學(xué)生的錯誤，再跟進(jìn)反例解析，這個過程中學(xué)生的思維發(fā)散大部分還是依賴教師，自主探究意識并未得到充分激活，而在全新的反例運用模式下，教師不妨嘗試先實施反例教學(xué)解析，鼓勵學(xué)生利用在反例中收獲的知識經(jīng)驗自主糾察數(shù)學(xué)探究中存在的錯誤問題。這樣一則可以開采和激揚(yáng)學(xué)生的智慧潛能，二來可以強(qiáng)化學(xué)生自主糾錯、改錯以及預(yù)防錯誤的意識和能力，從而激發(fā)學(xué)生的反思精神，借助有效的反例打破滯后的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)格局。

（二）掌握有效的反例構(gòu)造方法

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時反例的運用要比正例更加具有說服力，但運用反例需要扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和豐富的聯(lián)想做支撐，若是不能做到這一點，不僅運用效果會大打折扣，甚至還會起到適得其反的作用?；诖?，筆者對幾種反例的有效構(gòu)造方法做出了相關(guān)介紹研究，希望能夠為教師同仁提供一些建議。

第一，通過尋找恰當(dāng)?shù)奶乩龢?gòu)造反例。通過特例而構(gòu)造反例，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見的一種反例構(gòu)造方式。如在講解一些相似的知識概念時，學(xué)生往往很難辨別，而對于這種情況，教師就可以通過列舉特例，通過一個最直接的差異特征構(gòu)建反例，幫助學(xué)生了解知識之間的異同，促使學(xué)生對知識概念有更加深刻的辨別認(rèn)識。

第二，利用極端情況去構(gòu)造反例。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以利用一些極端情況去構(gòu)造反例，如分母為零、三角形中的直角三角形等等。這些極端而又具有特殊性的反例能夠使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和定理有更加深刻的記憶。

第三，通過直觀幾何圖形構(gòu)造反例。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還應(yīng)該樹立數(shù)形結(jié)合的教學(xué)觀念，通過直觀的圖形與抽象的定理之間的有效結(jié)合，促使學(xué)生對知識產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識，而這也是教師構(gòu)建反例的一種有效方式。如教師可以通過畫圖的方式將反例直觀清晰地表現(xiàn)出來，以此更好地提升反例的清晰直觀性，并助力學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想。

第四，通過分析命題中的隱含條件構(gòu)造反例。以往在學(xué)生解題過程中，常常有很多隱藏的條件容易被學(xué)生所忽略，并因此而造成解題思路判斷上的錯誤[3]。對此在列舉反例的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就可以通過分析挖掘題目當(dāng)中的隱含條件帶領(lǐng)學(xué)生列舉反例，并做出正確的判斷，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，并促使學(xué)生的解題能力得到更好的提升。

第五，在逐步逼近中構(gòu)造反例。這種反例構(gòu)造方法主要是指在帶領(lǐng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)命題時先找出反例的所在范圍，通過將范圍逐漸縮小、逼近，直至最終靠近目標(biāo)，從而構(gòu)建出最佳的反例。這種反例教學(xué)方式可以幫助學(xué)生化解直接接受反例的困難，促使學(xué)生更有效的接受知識。

第六，通過析取法的運用構(gòu)造反例。析取法主要是指在理解基礎(chǔ)知識的前提下，通過抓住數(shù)學(xué)定理、公式、法則成立的前提條件以及其正確命題中容易忽視的隱藏條件，以此來構(gòu)造反例。即挖掘定理中的一些“假命題”來實現(xiàn)反例的構(gòu)建，以此加深學(xué)生對公式定理的認(rèn)識，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻性。

（三）明確反例教學(xué)應(yīng)注意問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師若是能夠有效地運用好反例，就能實現(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果，但反例的運用也是一項極其深奧的教學(xué)藝術(shù)。在實際運用的過程中有很多事項需要注意，教師只有明確反例教學(xué)應(yīng)注意的問題，有效規(guī)避運用反例的誤區(qū)，才能更好地為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供動力。對此本文做出以下研究探討。

第一，不能過早進(jìn)行反例教學(xué)，避免主次顛倒。在教學(xué)的過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)識到反例雖然在教學(xué)當(dāng)中具有重要的應(yīng)用價值，但是反例不能夠代替正例教學(xué)，仍應(yīng)以正例教學(xué)為主，要在正確解題的訓(xùn)練當(dāng)中適當(dāng)?shù)剡\用反例，避免反例與正例的運用主次顛倒。若是先給學(xué)生錯誤的示范，然后再為學(xué)生講解正確的解題方法，這很容易導(dǎo)致學(xué)生發(fā)生認(rèn)知錯亂，分不清哪個是正確的、哪個是錯誤的，反而會對學(xué)生的學(xué)習(xí)造成干擾。因此，在教學(xué)過程中不能夠過早使用反例進(jìn)行教學(xué)，這是教師必須把握的注意事項。

第二，不能過于強(qiáng)調(diào)使用反例，避免為學(xué)生造成心理壓力負(fù)擔(dān)。在運用反例的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還應(yīng)該認(rèn)識到學(xué)生之間是存在個體差異的，不同學(xué)生的素質(zhì)能力、接受能力各有不同，因此對于新知的接受和體會也存在著很大的差異。如部分接受能力比較差的學(xué)生在運用反例時就很容易受到錯誤命題的干擾，而淡化對之前所學(xué)判定定理的認(rèn)識。因此在實際教學(xué)過程當(dāng)中，教師不能夠一味地要求所有的學(xué)生都使用反例、接受反例，這樣會使學(xué)生產(chǎn)生較大的心理壓力，學(xué)習(xí)情緒變得煩躁不安，導(dǎo)致教學(xué)效果適得其反。教師只有結(jié)合學(xué)生的實際情況恰當(dāng)?shù)剡\用反例，才能夠更好地保證反例的有效性。這也是在今后小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運用反例需要注意的問題。

三、結(jié)語

反例作為鑒別假命題的常用工具，具有“證偽”的功能，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中具有重要的作用價值。本文筆者從運用反例的時機(jī)、反例的構(gòu)造方法以及反例的注意事項幾個方面出發(fā)，探討了反例在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，希望能夠幫助教師更好地提高運用反例的教學(xué)能力，以此更好地助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的提升。

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作者簡介：章順才（1980.4— ），男，漢族，甘肅民樂人，一級教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。