摘要：當(dāng)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)語言一起以核心素養(yǎng)的面貌整體出現(xiàn)時，對數(shù)學(xué)思維的理解和把握，需要一個新的視角。相對于廣義的數(shù)學(xué)思維活動，“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理。其最重要的一個意義是，讓數(shù)學(xué)思維看得見也抓得住。推理的一般形式可以用符號語言表示為“P→Q”。推理過程中具體方法的運(yùn)用決定了推理的具體形式。要從“思考現(xiàn)實(shí)世界”的需要出發(fā)，達(dá)成演繹推理與合情推理的相互協(xié)調(diào)。把統(tǒng)計推理納入數(shù)學(xué)推理，是因?yàn)閺挠顺霭l(fā)，不同學(xué)科之間的界限沒有那么重要。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);“三會”;數(shù)學(xué)思維;推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）相對于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，最重要的變化是提出了“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)”，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，統(tǒng)稱“三會”（以下分別簡稱“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”“數(shù)學(xué)語言”）。其中，數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)語言第一次在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中直接出現(xiàn)——《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，“三會”只在課程性質(zhì)、學(xué)業(yè)質(zhì)量以及實(shí)施建議中出現(xiàn)。相比之下，數(shù)學(xué)思維一直都是數(shù)學(xué)課程關(guān)注的重點(diǎn)，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教師熟悉的內(nèi)容。而且，與數(shù)學(xué)思維有關(guān)的教學(xué)資源，包括文獻(xiàn)和具體教學(xué)案例等，都比數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)語言豐富得多。因此，當(dāng)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)語言一起以核心素養(yǎng)的面貌整體出現(xiàn)時，對數(shù)學(xué)思維的理解和把握，需要一個新的視角。這個新視角，不僅要有助于把以往關(guān)于數(shù)學(xué)思維的認(rèn)識和經(jīng)驗(yàn)引向“三會”中的數(shù)學(xué)思維，而且要有益于從整體上把握基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系。

為此，本文通過一些基礎(chǔ)性的分析，在原有對數(shù)學(xué)思維理解的基礎(chǔ)上，探討“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的新視角，并嘗試?yán)迩迮c之相關(guān)的主要問題。

一、 “三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理

思維是包羅萬象的人腦活動，通常所說的數(shù)學(xué)思維一般指廣義的幾乎也是包羅萬象的數(shù)學(xué)思維活動。如，2001年以來，義務(wù)教育和普通高中各個版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到過的數(shù)學(xué)思維活動就有：觀察、猜想、直觀想象、抽象概括、運(yùn)算、推理、數(shù)據(jù)分析、驗(yàn)證、反思、描述、表達(dá)，等，幾乎涵蓋了抽象思維、形象思維、邏輯思維、直覺思維等所有基本的思維形式。

“三會”中的數(shù)學(xué)思維不是指這種廣義的數(shù)學(xué)思維活動，這是由“三會”的特征決定的。

首先，“三會”是一個整體，三者之間互為支撐。例如，數(shù)學(xué)眼光的觀察和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)都離不開數(shù)學(xué)思維，同時，數(shù)學(xué)思維也要在“眼光”和“語言”拓展出來的空間中展開。這種互為支撐，意味著“三會”之間存在相互重疊的成分。正是這種“重疊”，反映了“三會”作為核心素養(yǎng)的整體性特征，使分別表述的“三會”體現(xiàn)出本質(zhì)上是共通的育人要求。

同時，“三會”之間的重疊不是完全重合。正是重疊之外的部分的存在，反映了“三會”各自不可或缺的獨(dú)特育人價值。數(shù)學(xué)課程要培育的學(xué)生核心素養(yǎng)，是“三會”，而不是“兩會”或“一會”，就是由這些沒有形成“相互重疊”的部分決定的。

“三會”的共通性和獨(dú)特性是理解和把握“三會”的基礎(chǔ)，也從結(jié)構(gòu)上明確了“三會”中的數(shù)學(xué)思維不是泛指廣義的數(shù)學(xué)思維活動。

根據(jù)2022年版課標(biāo)中關(guān)于“三會”的表述，廣義的數(shù)學(xué)思維活動中與“觀察、直觀想象、抽象概括”等相關(guān)的內(nèi)容，已經(jīng)主要對應(yīng)于數(shù)學(xué)眼光;與“描述、表達(dá)”等相關(guān)的內(nèi)容，已經(jīng)主要對應(yīng)于數(shù)學(xué)語言;而與“猜想、運(yùn)算、推理、反思及數(shù)據(jù)分析”等相關(guān)的內(nèi)容，才主要對應(yīng)于數(shù)學(xué)思維，并且在本質(zhì)上都屬于推理的范疇。

事實(shí)上，雖然猜想看起來與“頓悟”有關(guān)，應(yīng)該屬于直覺思維，但是數(shù)學(xué)的猜想沒有像“樹上掉下蘋果”發(fā)現(xiàn)萬有引力那樣的例子，諸如費(fèi)馬猜想（大定理）、四色猜想（定理）、“五次以上高次方程沒有公式解”等著名的數(shù)學(xué)猜想，都不是源自天馬行空的“頓悟”，而是有規(guī)律可循的，離不開持續(xù)、深入的推理及反思，表現(xiàn)為推理的結(jié)果。著名的數(shù)學(xué)猜想如此，數(shù)學(xué)課程涉及的猜想亦如此。而數(shù)據(jù)分析的意義，在于理解隨機(jī)現(xiàn)象和用數(shù)據(jù)講道理，本身就是統(tǒng)計推理。

由此，2022年版課標(biāo)把“三會”中的數(shù)學(xué)思維表述為“主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識或推理能力”中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：6。。其中，運(yùn)算本質(zhì)上就是演繹推理史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第3輯）：數(shù)學(xué)中的演繹推理[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2015：101。，而且，2022年版課標(biāo)中也使用了“代數(shù)推理”的提法，所以，運(yùn)算也可納入“推理”的范疇。在這個意義上可以認(rèn)為，“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理，推理集中反映了數(shù)學(xué)思維的共通育人要求和獨(dú)特育人價值。

相對于廣義的數(shù)學(xué)思維活動，“主要表現(xiàn)為推理”就是理解和把握作為核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維的新視角。

二、 與推理有關(guān)的基本概念辨析

“三會”中的數(shù)學(xué)思維側(cè)重于推理，使關(guān)于推理意涵的理解顯得重要起來。

雖然數(shù)學(xué)教育教學(xué)的運(yùn)行離不開推理，但在應(yīng)試導(dǎo)向的教學(xué)實(shí)踐中，往往會傾向于如何“高效”地將學(xué)生塞進(jìn)由具體策略、手段或方法構(gòu)成的條條框框中，導(dǎo)致推理的教育意義很難在這種依賴被動接受的“條條框框”中生長。至少在基礎(chǔ)教育階段，類似把證明等同于推理等“只見樹木，不見森林”的認(rèn)知比較普遍。作為“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)的推理，仍是一個聽起來熟悉，實(shí)際上陌生的概念。

為此，有必要對推理的認(rèn)知做一些基本的澄清，對推理有關(guān)的若干基本概念做一些簡要的分析和說明。

（一） 關(guān)于推理的形式

推理是一種思維活動形式。在教學(xué)實(shí)踐中，關(guān)注的焦點(diǎn)往往是具體的推理過程和方法，涉及的推理問題也都非常具體，而對一般意義上的推理形式問題關(guān)注不多。在“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理的視角下，具體的數(shù)學(xué)思維活動都應(yīng)該在推理的框架下展開。因此，對推理形式的認(rèn)知，以及對推理一般形式和具體形式之間關(guān)系的把握等，已經(jīng)成為理解和把握“三會”中的數(shù)學(xué)思維的一個重要前提。

1. 推理的一般形式

在一般意義上，推理表現(xiàn)為“如果P，那么Q”或“因?yàn)镻，所以Q”這樣的關(guān)于前提與結(jié)論之間邏輯關(guān)系的思維活動。所有這樣的具體思維活動，都可以用符號語言表示為“P→Q”（仍然讀作“如果P，那么Q”）。其中，P表示前提，Q表示結(jié)論（或稱P是前件，Q是后件）。P和Q的屬性不限，可以是社會、經(jīng)濟(jì)、文化和生活中的事件，也可以是科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的概念和命題;可以簡單（不能再分解），也可以復(fù)雜（能進(jìn)一步分解）。對它們的“硬性”要求只有一個，就是能判斷真假。

如果P和Q是與數(shù)學(xué)有關(guān)的命題，P→Q就是“三會”中的數(shù)學(xué)思維所側(cè)重的推理形式。這個簡潔明了的形式概括了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中所有的因果關(guān)系，數(shù)學(xué)思維活動就是圍繞P→Q展開的。它是紛繁復(fù)雜的具體推理問題的本源，也是“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的基礎(chǔ)。認(rèn)識P→Q的意義，意味著改變“只見樹木，不見森林”認(rèn)知局面的開始。

2. 推理的具體形式

P→Q是一般的推理形式，而P和Q之間是否存在因果關(guān)系需要通過相應(yīng)的方法確認(rèn)。推理過程中具體方法的運(yùn)用決定了推理的具體形式。

對廣義的P→Q，P和Q之間的因果關(guān)系是通過邏輯演算方法確認(rèn)的，屬于數(shù)理邏輯的范疇，義務(wù)教育階段沒有涉及。

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中的P和Q都是具體的命題，判斷它們之間是否存在因果關(guān)系，需要通過與它們所在學(xué)段和學(xué)習(xí)領(lǐng)域相關(guān)聯(lián)的具體方法確認(rèn)。推理的具體形式就由這樣的具體方法決定：如果是根據(jù)學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，如較低學(xué)段從觀察、實(shí)驗(yàn)等方法出發(fā)的“找規(guī)律”等，就稱為經(jīng)驗(yàn)推理;如果是從探究、論辯或論證出發(fā)的歸納，就稱為歸納推理;如果運(yùn)用的是演繹法，就稱為演繹推理;等等。這幾種推理形式的學(xué)科屬性不強(qiáng)，數(shù)學(xué)課程的所有學(xué)習(xí)領(lǐng)域都可以用。而有些推理形式則有較強(qiáng)的學(xué)科屬性：如果推理是通過運(yùn)算進(jìn)行的，就稱為算數(shù)推理或代數(shù)推理;如果推理是借助圖形直觀展開的，就稱為直觀推理或空間推理;如果推理運(yùn)用的是數(shù)據(jù)，就稱為統(tǒng)計推理（或推斷）;等等。

總之，以P→Q為基礎(chǔ)，不同推理方法的運(yùn)用產(chǎn)生了不同的推理形式，它們都沿著P→Q的方向，以言之有理并步步有據(jù)的方式推進(jìn)。伴隨著推理方法的多樣性，推理在具體形式上是比較開放的。

由此可以看出，“證明等同于推理”的說法顯然不能成立，因?yàn)闊o論對“證明”采取多么開放的態(tài)度，也代替不了與“找規(guī)律”有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)推理，更與借助空間直觀、數(shù)據(jù)等進(jìn)行的推理無關(guān)。證明只是眾多推理方法中的一種，如果把證明等同于推理，實(shí)際上是大大地壓縮了推理的思維空間，有可能影響甚至限制學(xué)生數(shù)學(xué)思維的健康發(fā)展。

關(guān)于推理形式方面的要求，其實(shí)是不直接見諸中小學(xué)教材內(nèi)容的。之所以專門討論這個問題，一方面是由于這個問題本身的意義，另一方面是當(dāng)“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要側(cè)重于推理時，澄清與推理有關(guān)的概念，有助于拓展推理在數(shù)學(xué)課程中的空間，可以避免由“證明等同于推理”產(chǎn)生出如“數(shù)學(xué)思維側(cè)重于證明”這樣的認(rèn)知?！叭龝敝械臄?shù)學(xué)思維是從廣義的數(shù)學(xué)思維活動向推理的聚焦，彰顯了數(shù)學(xué)思維的共通育人要求和獨(dú)特育人價值。這里的“主要表現(xiàn)”或“側(cè)重”與單一、逼仄無關(guān)，而指向一片以P→Q為主題，充滿探索、發(fā)現(xiàn)、嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)，能促進(jìn)學(xué)生大腦健全發(fā)育的豐富多彩園地。

（二） 關(guān)于演繹推理與合情推理

與之前版本的課標(biāo)相比，2022年版課標(biāo)中關(guān)于推理的表述有變化，“演繹推理”和“合情推理”這兩個詞幾乎沒有出現(xiàn)，與之相關(guān)的場合都統(tǒng)一使用“推理”一詞，沒有刻意地區(qū)分。這個變化反映出，“三會”中的數(shù)學(xué)思維結(jié)合義務(wù)教育的學(xué)段特點(diǎn)，首先關(guān)注的是推理的普遍意義。為了理解這個普遍意義，要從分析演繹推理和合情推理的功能開始。

雖然推理形式比較開放和多樣，但必須清楚的是，推理形式本身與推理結(jié)果是否成立之間一般沒有必然的聯(lián)系。因?yàn)闊o論何種推理形式，只有一種情況下的推理結(jié)果是必然成立的：對于一個推理形式P→Q，如果在討論問題范圍（論域）內(nèi)，對每一個對象或元素，都有如果P成立，那么Q就一定成立，或者說如果P是真的，那么Q就一定是真的，則P→Q是一個必然性（或確定性，或可靠性）推理，其結(jié)論普遍成立。我們熟知的許多推理形式，如歸納、類比等，就不滿足這樣的要求。例如，當(dāng)二次、三次、四次代數(shù)方程都找到了公式解法時，可以用歸納法推出“五次方程也有公式解法”。這里雖然合理地運(yùn)用了歸納推理，但是結(jié)論并不成立。這一例子說明，形式上的合理并不能保證結(jié)果的可靠。這是關(guān)于推理問題的一個基本認(rèn)知。

1. 演繹推理是必然性推理

運(yùn)用演繹法的推理稱為演繹推理。演繹法就是通常所說的“三段論”，也就是首先要證明A是成立的，接下來證明A→B是成立的，那么B就成立了。在教學(xué)中會把這種方法稱為從一般到特殊的方法。三段論有許多等價形式，在教學(xué)中也會用不同的稱謂來區(qū)分這些等價形式，如分析法、綜合法等，這里就不一一列舉了。

所有可能的數(shù)學(xué)推理形式中，只有演繹推理是必然性或確定性推理，即只有演繹推理的結(jié)果是一定成立的。其他任何形式的推理結(jié)果，都可能成立，也可能不成立，即推理結(jié)果是不確定的，或者說推理結(jié)果是或然的。因此，如果要確認(rèn)一個結(jié)論是成立的，就只能用演繹推理。

為了有所區(qū)別，2001年以來，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把演繹推理之外的推理形式統(tǒng)稱為合情推理，即數(shù)學(xué)推理的整體結(jié)構(gòu)為“演繹推理+合情推理”。這也是目前2022年版課標(biāo)中“推理”一詞的含義。

2. 演繹推理與合情推理的關(guān)系

比演繹推理與合情推理的內(nèi)涵更重要的是它們之間的關(guān)系，可從兩方面分析這種關(guān)系。

一方面，演繹推理雖然可靠，但只是根據(jù)已知命題，確認(rèn)一個新命題成立的推理。雖然在推理過程中也可能產(chǎn)生提出新概念、開發(fā)新方法的需求，存在進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的可能，但僅就推理的結(jié)果而言，因?yàn)槎际且阎?，所以只是確認(rèn)了一個已知命題的真?zhèn)危c發(fā)現(xiàn)新命題沒有關(guān)系。合情推理雖然是或然性推理，但幾乎都是為發(fā)現(xiàn)一個新事物（現(xiàn)象、事件）或提出一個新命題而發(fā)起的。雖然它們推出的結(jié)論是或然的，甚至可能推不出什么像樣的結(jié)果，但數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域的開疆拓土、創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)往往都與合情推理提出的猜想、假設(shè)有關(guān)。所以，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)把合情推理視為引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”所遵循的一個基本途徑。

另一方面，合情推理遍布于基礎(chǔ)教育的許多學(xué)科，不為數(shù)學(xué)課程所獨(dú)有。也就是說，在數(shù)學(xué)課程之外，學(xué)生也多少會受到合情推理的熏陶，只不過機(jī)會沒有數(shù)學(xué)多，程度也沒有數(shù)學(xué)強(qiáng)烈。演繹推理在基礎(chǔ)教育其他學(xué)科中只是零星地出現(xiàn)，系統(tǒng)的演繹推理在基礎(chǔ)教育階段僅存于數(shù)學(xué)課程。加之演繹推理在培育思維嚴(yán)謹(jǐn)性方面的顯著作用，所以表現(xiàn)為推理不可替代的教育價值。

從以上兩方面的分析可以看出：如果想給學(xué)生的思維插上發(fā)現(xiàn)的翅膀，合情推理必不可少;如果想讓學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)扎實(shí)，演繹推理不可或缺。演繹推理和合情推理在育人價值實(shí)現(xiàn)方面各有所長，缺一不可。如果沒有合情推理，數(shù)學(xué)思維就會失去開放和靈活;如果沒有演繹推理，數(shù)學(xué)思維就會失去自信和專注。如果想要兩者兼得，就一定要賦予演繹推理和合情推理同等重要的思維教育使命。因此，2022年版課標(biāo)沒有刻意區(qū)分演繹推理和合情推理，而是注重平衡推理反映的開放、靈活與自信、專注之間的關(guān)系，并且在事實(shí)上給出了一個使兩者相互協(xié)調(diào)、成為一體的標(biāo)準(zhǔn)——“思考現(xiàn)實(shí)世界”。在義務(wù)教育階段，無論是演繹推理還是合情推理，無論是開放、靈活還是自信、專注，能否相互協(xié)調(diào)、熔入一爐，歸根結(jié)底，要由“思考現(xiàn)實(shí)世界”的需要決定。如果現(xiàn)實(shí)需要探索發(fā)現(xiàn)，就一定要開放、靈活;如果現(xiàn)實(shí)需要求真務(wù)實(shí)，就一定要自信、專注。從“思考現(xiàn)實(shí)世界”的需要出發(fā)，達(dá)成演繹推理與合情推理的相互協(xié)調(diào)。

（三） 關(guān)于統(tǒng)計推理

雖然統(tǒng)計推理的說法在教學(xué)實(shí)踐和研究領(lǐng)域已經(jīng)被廣泛使用，但是統(tǒng)計推理與前面提到的演繹推理、合情推理其實(shí)是不一樣的推理?！安灰粯印敝饕憩F(xiàn)在三個方面：

一是對象不一樣。數(shù)學(xué)的推理，一般是對命題之間的邏輯關(guān)系而言的，對象是命題。而統(tǒng)計的推理是就數(shù)據(jù)的獲取與分析而言的，對象是數(shù)據(jù)。

二是目標(biāo)不一樣。數(shù)學(xué)推理的目標(biāo)是為了確認(rèn)或提出一個事實(shí)。而統(tǒng)計推理的目標(biāo)是對一個未知事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測。

三是結(jié)果不一樣。數(shù)學(xué)推理的結(jié)果是一個命題的成立與否，是一個純客觀的結(jié)果。統(tǒng)計推理的結(jié)果是對一個事件發(fā)生可能性大小的估計，是一個相對主觀的結(jié)果。在專業(yè)的統(tǒng)計科學(xué)領(lǐng)域里，稱這種結(jié)果為推斷。這個“斷”字，在漢語里反映的就是人的主觀性。

顯然，這個“不一樣”幾乎是完全不一樣。

雖然在學(xué)科領(lǐng)域里，統(tǒng)計和數(shù)學(xué)的研究對象和方法論都不太一樣，但它們又同時在方方面面深度地相互融合與借鑒。這一點(diǎn)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域尤為明顯。以百分?jǐn)?shù)為例，百分?jǐn)?shù)既是一個有理數(shù)，又是一個“率”，還是一個作為統(tǒng)計推理依據(jù)的統(tǒng)計量。百分?jǐn)?shù)反映的這種數(shù)學(xué)和統(tǒng)計你中有我、我中有你、緊緊“抱”在一起的狀態(tài)，就是基礎(chǔ)教育階段把數(shù)學(xué)和統(tǒng)計放在一起的重要原因。特別地，在“三會”中的數(shù)學(xué)思維側(cè)重于推理的框架下，它們都是在現(xiàn)實(shí)世界從已知探索未知的過程中，有條理、合規(guī)矩、言之有理且步步有據(jù)的思考。把統(tǒng)計推理納入數(shù)學(xué)推理，雖然在學(xué)科意義上不夠嚴(yán)格，但在核心素養(yǎng)的共通育人要求和獨(dú)特育人價值面前，不同學(xué)科之間的界限真的沒有那么重要。

三、 “三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理的現(xiàn)實(shí)意義

對“三會”中的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為推理的理解和把握，在數(shù)學(xué)教材建設(shè)、教學(xué)實(shí)踐、學(xué)習(xí)方式、評價策略等方面都有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義。每一個方面都值得專門論及。限于篇幅，本文僅指出筆者認(rèn)為最重要的一個意義：讓數(shù)學(xué)思維看得見也抓得住。

數(shù)學(xué)思維，不僅提法為大家所熟悉，而且被關(guān)注的持續(xù)時間長，討論的范圍也相當(dāng)廣泛。正因?yàn)槭煜ず蛷V泛，所以中小學(xué)與數(shù)學(xué)思維有關(guān)的話題難免有些五花八門，包括一些來源并不清楚、依據(jù)也不扎實(shí)的某某思維、某某思想等內(nèi)容不勝枚舉。其實(shí)，無論教師還是學(xué)生，對這些思維、思想大多是懵懵懂懂的。這種隨意性很容易造成數(shù)學(xué)思維聽起來熟悉、實(shí)際上陌生的結(jié)果。如果在不清楚的情況下，盲目地照抄照搬，很可能就只剩下“對、快、準(zhǔn)”是硬道理了。

所以，把握“三會”中的數(shù)學(xué)思維的新視角，有助于在思考數(shù)學(xué)思維問題時，有意識地聚焦推理，把教學(xué)過程中涉及的數(shù)學(xué)思維活動，包括運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等，都放在推理的框架下，與現(xiàn)實(shí)世界的需要聯(lián)系在一起，有條理并言之有據(jù)地展開思考和實(shí)踐。那些來源并不清楚的某某思維、某某思想等令人眼花繚亂的說法，也有可能在這樣的過程中被過濾掉。由于推理形式的豐富性，推理的表現(xiàn)仍然有可能五花八門，但“五花八門”中的數(shù)學(xué)思維能被看見也被抓住。能“看見”和“抓住”的推理才能作為一種思維方式，逐步伴隨學(xué)生走進(jìn)未來的職業(yè)和生活，提高他們作為未來公民的理性思維水平。

之所以僅指出這一個意義，是因?yàn)楣P者認(rèn)為這個意義對數(shù)學(xué)教師以“三會”為目標(biāo)開展教學(xué)實(shí)踐是最重要的。對課程改革的理念和目標(biāo)，相信教師是普遍“看得見”的。但對課程改革的具體要求，可能“抓不住”的現(xiàn)象就會多一些。廣義的數(shù)學(xué)思維本身確實(shí)有些難以“抓住”，不過“三會”中的數(shù)學(xué)思維側(cè)重于推理，這個相對具體的聚焦增加了“抓住”的可能。如果能進(jìn)一步對推理的形式及不同推理形式之間的關(guān)系有所了解，對推理的共同要求和獨(dú)特價值有所把握，就逐步在自己“抓住”的基礎(chǔ)上具備了指導(dǎo)學(xué)生“抓住”的可能。例如，當(dāng)學(xué)生在推理過程中遇到挑戰(zhàn)時，如果教師能夠意識到原因可能并不在于他們專注與否，而在于這個對象或內(nèi)容與他們的現(xiàn)實(shí)生活沒什么關(guān)系……并隨之在教學(xué)引領(lǐng)方面作出調(diào)整等，就是“讓數(shù)學(xué)思維看得見也抓得住”所希望的樣態(tài)。這樣的教學(xué)實(shí)踐，一定能轉(zhuǎn)化為培育學(xué)生核心素養(yǎng)的營養(yǎng)。

總之，本文的目的是分析和探討如何理解和把握“三會”中的數(shù)學(xué)思維方面。其中，與推理相關(guān)的文字表述本來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里應(yīng)該是要求最嚴(yán)格的，本文采用的簡明表述方式恐有失周延。好在確切的表達(dá)可以在許多文獻(xiàn)中查到，希望不至有大的紕漏。（孫曉天，中央民族大學(xué)，二級教授。北京師范大學(xué)中國創(chuàng)新教育研究院數(shù)學(xué)學(xué)科首席專家，國家教材委專家工作委員會委員。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組核心成員。）