李曉玲

[摘? 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要重視解題，更要重視解題后的反思和回顧. 在教學(xué)過程中教師通過解題反思和總結(jié)的教學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主歸納的能力，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探究的過程中不僅知其然，更能知其所以然，體會解題思路和方法，有效提升解題能力.

[關(guān)鍵詞] 解題反思;習(xí)題資源;解題能力

數(shù)學(xué)課程給人的傳統(tǒng)印象是解題，注重解題的結(jié)果和結(jié)論的獲得，而結(jié)論形成的過程卻常常被忽略，以至于學(xué)生只記住了結(jié)論，不知道結(jié)論的由來過程，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 長此以往，造成部分學(xué)生習(xí)慣用記憶結(jié)論和模仿解題方法的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，失去分析和探究問題的能力，不利于學(xué)生的長期學(xué)習(xí)和發(fā)展. 數(shù)學(xué)課程的教學(xué)不僅要關(guān)注解題結(jié)果，更要關(guān)注解題后的反思，處理好解題過程與結(jié)果之間的關(guān)系，才能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)涵. 筆者在教學(xué)中嘗試從解題后的再認(rèn)識和再創(chuàng)造，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，探究試題的考查意圖，總結(jié)解題方法，尋找解題規(guī)律，有效提升學(xué)生的解題能力.

案例? 如圖1，在△ABC中，∠B為直角，AB上有一點(diǎn)M，并且AM與BC相等，BC上有一點(diǎn)N，并且CN與BM相等，AN與CM相交于點(diǎn)P，求∠APM的度數(shù)是多少？

通過測量或者觀察分析可以猜想出結(jié)論：∠APM=45°.

解法1? 如圖2，過點(diǎn)M向△ABC外作MD平行于CN，并截取MD與CN相等，連接DN與AD，因?yàn)樗倪呅蜟MDN是平行四邊形，所以DN與MC相等且平行，∠2與∠3相等. 又因?yàn)椤螧為直角，MD平行于CN，所以MD與AB垂直. 因?yàn)镃N與BM相等，MD與CN相等，所以BM與MD相等. 又因?yàn)锳M與BC相等，所以△AMD與△CBM全等，所以AD，MC，DN相等，∠1，∠2與∠3相等，又因?yàn)椤?與∠ADM的和為90°，所以∠3與∠ADM的和為90°，即∠ADN為直角，所以△AND為等腰直角三角形，∠AND為45°. 因?yàn)镈N與MC平行，所以∠APM與∠AND相等為45°.

那么這道題是否還可以利用圖形變換的知識，尋找更多的解法呢？

反思考查意圖，尋找多種解法

通過這樣的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生反思試題的考查意圖、考查的知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想以及構(gòu)成的條件與試題背景之間的關(guān)系，找到考查的核心數(shù)學(xué)模型是等腰直角三角形. 通過觀察和分析，添加了輔助線將AM與BC相等，CN與BM相等，進(jìn)行有效利用，通過轉(zhuǎn)換和平移的方式，構(gòu)造出新的圖形即平行四邊形以及全等三角形，就可以得到等腰直角三角形. 通過解題后的反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一種全新的解題方法.

思路一：利用等量轉(zhuǎn)換

通過圖形的平移將相等的角或者線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，將已知條件與求證問題之間構(gòu)建起聯(lián)系，從而尋找解題思路. 本題就是將所求的角轉(zhuǎn)換到一個等腰直角三角形當(dāng)中，從而求得角的度數(shù).

解法2? 如圖3，過點(diǎn)A作AD與BC平行，取AD與CN相等，連接CD和MD構(gòu)造出平行四邊形ADCN，并且出現(xiàn)全等△MAD和△CBM，從而得到等腰直角三角形DMC，可以得出∠APM與∠DCM相等為45°.

在反思中交流，進(jìn)行歸納總結(jié)

解題結(jié)果的完成并不是真正完成了解題過程，解題之后還需要組織學(xué)生進(jìn)行相互交流，將自己分析的思路和解題方法進(jìn)行表達(dá)，生生之間互相傾聽解題分析，將各種解題方法進(jìn)行對比、分析和評價，互相取長補(bǔ)短，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ). 這樣可以使學(xué)生加深解題過程的印象，也能培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和合作能力，促進(jìn)學(xué)生共同進(jìn)步，協(xié)調(diào)發(fā)展.

思路二：利用圖形的位置變化

圖形可以通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式改變位置，但是不改變形狀，從而實(shí)現(xiàn)有關(guān)角或者線段位置的變化，實(shí)現(xiàn)已知條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系，進(jìn)而找到解題的方法和策略. 本題中，為了構(gòu)建所求的角與已知條件之間的關(guān)系，可以通過圖形的旋轉(zhuǎn)變化進(jìn)行新的圖形構(gòu)造.

解法3? 如圖4，△ABC以點(diǎn)C為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，將CB進(jìn)行順時針90°旋轉(zhuǎn)到CD，連接AD和DN，由此可以得到CD，CB與AM相等，CD與AB平行，這樣可以構(gòu)造出平行四邊形CDAM和全等三角形，△DCN與△CBM全等，從而得到等腰直角三角形DAN，由此可以得出∠APM與∠DAN相等為45°.

通過上述幾種解題方法的探討可以看到，這些解法都需要用到“添加輔助線構(gòu)造圖形”的方法，這種“特別”的解法都圍繞著角和線段的等量變換進(jìn)行展開，運(yùn)用到圖形變化的多種方式，如平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等，通過改變圖形的位置，在求答問題與已知條件之間構(gòu)建聯(lián)系，使結(jié)論與條件之間的關(guān)系充分顯現(xiàn)出來，從而獲得解題思路. 這樣的變化是解題過程中常用的技巧，需要學(xué)生能夠熟練掌握并強(qiáng)化，需要教師通過多種方式不斷訓(xùn)練學(xué)生，使學(xué)生能夠非常熟練地掌握這一解題的策略.

在解題之后反思解法，總結(jié)

成敗經(jīng)驗(yàn)

解題之后我們還常常需要反思剛剛的解題方法是否是最優(yōu)解法，有沒有更好的解法，解題方法是否需要進(jìn)行改進(jìn)等. 在進(jìn)行復(fù)雜題型的解答時，我們并不能一開始就找到最佳的解法，因此需要在解題過程中不斷地調(diào)整，以求找到最佳的解題路徑. 因此在解題之后進(jìn)行回顧，尋找最優(yōu)解法，從而思考是否抓住問題的關(guān)鍵，反思解題過程，拓展學(xué)生思維，鍛煉學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識.

經(jīng)過上述方法進(jìn)行思考，學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了另外一種解題方法.

解法4? 如圖5，過點(diǎn)A作AF與AB垂直，過點(diǎn)M作EM與AB垂直，過點(diǎn)C作FC與BC垂直，三條線的交點(diǎn)分別有點(diǎn)F和點(diǎn)E，由此得到矩形ABCF和正方形AMEF，再在CF上截取CG與CB相等，連接GN和GA，得到全等△GCN和△AFG，以及平行四邊形AMCG. 這一解題方法與解法3的方法類似.

由此可以得到等腰直角三角形GAN，得出∠APM與∠GAN相等為45°.

這一解題方法較為煩瑣，需要構(gòu)造全等三角形和平行四邊形，但是圖形中由于有兩個正方形，因此給了我們一些啟示，那就是正方形的對角線可以平分對角得到45°，從而使得解法4能夠找到另外一條解題思路. 通過相似三角形的對應(yīng)角相等，再進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化就可以找到解題的結(jié)論，得到解法5.

思路三：利用相似圖形進(jìn)行變化

圖形的相似變換需要利用數(shù)學(xué)性質(zhì)或者概念中有關(guān)角或者線段進(jìn)行位置轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換，從而在求答問題與已知條件構(gòu)建聯(lián)系，進(jìn)而尋找解題思路.

解法5? 如圖6，過點(diǎn)M作EM與AB垂直，過點(diǎn)C作EC與BC垂直，交點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE和EN. 因?yàn)樗倪呅蜯BCE是矩形，所以EC，BM相等，EM，BC相等，又因?yàn)锳M與BC相等，BM與CN相等，所以△AME和△NCE是等腰直角三角形. 這樣可以得到兩個底角∠AEM和∠CEN都等于45°. 所以EM與AE的比值與EC和EN的比值相等，都等于. 又因?yàn)椤螦EN等于∠AEM與∠MEN的和即∠CEN與∠MEN的和為90°，則∠AEN與∠MEC相等. 所以△AEN與△MEC相似，∠1與∠2相等. 因?yàn)椤?與∠4相等，所以∠AEM與∠APM相等為45°.

在反思中進(jìn)行拓展延伸，總結(jié)規(guī)律

經(jīng)過解法5的嘗試，我們可以聯(lián)想到其中經(jīng)常使用到的一種解題方法，即兩個正多邊形如果共頂點(diǎn)，那么其對應(yīng)頂點(diǎn)的連線的夾角正好等于其內(nèi)角. 因?yàn)閮蓚€正多邊形的邊若相等，那么這兩個正多邊形相似，其對應(yīng)的頂點(diǎn)連線的夾角就等于其共頂點(diǎn)的角.

如圖7，正△ABM和正△CNM，連接BC與AN相交于點(diǎn)P，那么可以得到∠APB為60°.

如圖8，正方形AMBF和正方形CENM，連接CB和AN相交于點(diǎn)P，可以得到直角∠APB. 觀察圖8，可以證明△BMC和△AMN為相似三角形或者全等三角形，得到對應(yīng)的∠1與∠2相等. 又因?yàn)椤?與∠4相等，所以∠APB與∠AMB相等.

因此可以進(jìn)一步探究：兩個等腰直角三角形共頂點(diǎn)，那么這兩個等腰直角三角形相似嗎？如圖9和圖10，可以發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)頂點(diǎn)的連線夾角也等于共頂點(diǎn)的角.

觀察圖9，等腰直角△AME和等腰直角△NCE相似，可以得到AE與EN的比值與ME和CE的比值相等，由∠AEM與∠NEC相等，可以得到∠AEN與∠MEC相等. 所以△AEN與△MEC相似，∠1與∠2相等. 因?yàn)椤?與∠4相等，所以∠APM與∠AEM相等為45°.

運(yùn)用同樣的解題方法可以得到圖10中∠APB，∠ACB為直角.

由此可以得到進(jìn)一步的猜想：兩個三角形相似，其中有一對對應(yīng)頂點(diǎn)為共點(diǎn)，那么另外兩組對應(yīng)頂點(diǎn)的連線的夾角與共頂點(diǎn)的對應(yīng)角度數(shù)相等.

……

綜上所述，解題之后反思試題本質(zhì)，將題目的條件進(jìn)行變化和聯(lián)想，在圖形變化中通過多種解法的運(yùn)用，能鍛煉學(xué)生的思維能力. 習(xí)題的反思和圖形的變化，不僅在于探討多種解法，更重要的是通過不同解法的探究，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性. 通過解題反思，進(jìn)行解題方法共性總結(jié)，可以總結(jié)規(guī)律，歸納解題方法，由特殊到一般，使學(xué)生的思維更加廣闊，在探索中感受數(shù)學(xué)的魅力.