由“分數(shù)乘法（三）”的教學談幾種數(shù)學思想的滲透

劉萬興

[摘 要]數(shù)學思想是人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質認識，它揭示了數(shù)學知識中普遍存在的規(guī)律，在小學數(shù)學課堂教學中，必須滲透數(shù)學思想。在教學中滲透數(shù)學思想，也體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學教育觀和數(shù)學素養(yǎng)的新內(nèi)涵，對提高學生創(chuàng)新思維能力和核心素養(yǎng)具有相當重要的作用和意義。結合北師大2011課標版小學數(shù)學五年級下冊“分數(shù)乘法（三）”的課堂教學，通過實例闡述極限思想等5種數(shù)學思想的滲透。

[關鍵詞]數(shù)學思想;數(shù)形結合;建模;極限;化歸;數(shù)學文化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0096-03

中小學數(shù)學課程在提升學生核心素養(yǎng)、促進學生全面發(fā)展方面有著其他學科不可替代的重要作用，是學校課程教育的重要組成部分。小學數(shù)學課堂教學不僅要讓學生掌握當代生活和課內(nèi)外學習中不可或缺的數(shù)學知識和數(shù)學技能，還要注意培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力和科學創(chuàng)新能力?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課程標準”）中指出，數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。學習數(shù)學，不僅要學習數(shù)學的結果，還要學習數(shù)學結果形成過程所蘊含的數(shù)學思想方法。這就要求教師必須在數(shù)學課堂教學和日常數(shù)學活動中不斷地滲透數(shù)學思想。

一般來說，數(shù)學思想就是指人們對數(shù)學的相關理論與內(nèi)容在本質方面的認識和看法，是從一些比較具體的數(shù)學認識過程當中提煉出來的觀點。這些觀點在很大程度上揭示了數(shù)學在發(fā)展過程中較為普遍的一些規(guī)律，直接支配著人們在數(shù)學方面的實踐活動。就當下數(shù)學界的觀點來說，數(shù)學思想包含函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程思想、整體思想、化歸思想、隱含條件思想、類比思想、建模思想、歸納推理思想、極限思想等。此外，數(shù)學文化作為數(shù)學發(fā)展中的重要組成部分，也應該作為一種數(shù)學思想，值得師生引起重視。

在教學中滲透數(shù)學思想，也體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學教育觀和數(shù)學素養(yǎng)的新內(nèi)涵，對不斷提高學生創(chuàng)新思維能力和核心素養(yǎng)具有相當重要的作用和意義。這里結合北師大2011課標版小學數(shù)學五年級下冊“分數(shù)乘法（三）”的課堂教學，談一談極限思想、數(shù)形結合思想、化歸思想、模型思想和數(shù)學文化思想等5種數(shù)學思想在小學數(shù)學課堂教學中的滲透策略。

一、在課堂教學中滲透極限思想

極限思想是在長期的社會實踐中產(chǎn)生的。要溯源的話，較早的文獻可以追溯到戰(zhàn)國時期著名思想家莊子的《逍遙游》一文和《天下》一文。 “上下四方有極乎”“無極之外，復無極也”是莊子在宏觀上對極限思維進行的闡述。魏晉南北朝時期的著名數(shù)學家劉徽的割圓術，其實也蘊含著極限思想，不過是建立在直觀基礎上的。極限思想在數(shù)學中是不可或缺的，在小學階段滲透極限思想，對學生后續(xù)的數(shù)學發(fā)展有著非常重要的作用。

在執(zhí)教“分數(shù)乘法（三）”的過程中，筆者引用《天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”創(chuàng)設數(shù)學情境，讓學生理解這段話的意思，然后用紙條代替棰，提出問題：每次拿走紙條的一半，剩下的部分占這張紙條的幾分之幾呢？學生通過思考分析，掌握了[12]的[12]可以列式為[12]×[12]，了解了剩下部分占整體的幾分之幾。分子為1，分母越大，則分數(shù)越接近0，但永遠也不會為0，，這說明紙條理論上是永遠也拿不完的，讓學生初步感受和體會極限思想。

類似的例子在小學數(shù)學教學中還有很多，比如“圓的面積”教學中，把圓形紙片對折后剪開，然后再沿半徑方向等分，分的份數(shù)越多，拼起來的圖形就越接近長方形，從而推導出圓的面積公式。還有循環(huán)小數(shù)的教學、梯形面積公式的推導等例子。

小學生一般比較擅長形象思維，但隨著年齡增長，他們的思維方式也會不斷提升和轉換，因此教師在課堂中也引入極限思想，從形象思維過渡到抽象思維，讓學生用極限思想去觀察現(xiàn)實問題、思考和理解現(xiàn)實問題、解決現(xiàn)實問題，從而提高數(shù)學思維能力，提升數(shù)學理解能力、數(shù)學核心素養(yǎng)和綜合能力，為將來進一步學習數(shù)學做好鋪墊。

二、在課堂教學中滲透數(shù)形結合思想

數(shù)與形作為數(shù)學的研究對象由來已久，作為現(xiàn)代數(shù)學中最基本的研究對象，它們是緊密聯(lián)系的。我們通常把這個聯(lián)系叫作數(shù)形結合。通常在數(shù)學中加上一定條件就可以實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉化。

數(shù)與形反映了數(shù)學中的事物在兩個方面不同而又有聯(lián)系的屬性。數(shù)形結合在日常教學中一般有兩種情況，一種是借助數(shù)學圖形來研究數(shù)量關系，另一種是借助數(shù)量關系來研究圖形特征。概括起來，就是我們常講的把抽象思維和形象思維有機結合起來，把復雜的問題變得簡單，把抽象的問題變得具體，以簡單的問題和具體的問題為基礎，從而達到優(yōu)化解題過程的目的。

在“分數(shù)乘法（三）”一課的教學過程中，筆者首先讓學生理解“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話，并出示圖1。

通過紙條展示數(shù)學中的形，讓學生逐步理解1的[12]，[12]的[12]，[14]的[12]……引導學生在數(shù)形結合中逐步掌握“求一個數(shù)的幾分之幾用乘法計算”和“分數(shù)單位乘分數(shù)單位的分數(shù)乘法”。

其次，在教學[34]×[14]時，筆者出示面積模型，讓學生通過折一折、涂一涂、說一說，直觀了解[34]×[14]是多少，如圖2。

先將單位“1”平均分成4份，涂出其中的3份，表示[34]。在此基礎上再將每1份平均分成4份，每個涂色部分分成的4份中取1份，表示每個涂色部分的[14]，也就是[34]的[14]。從圖上可以直觀地看出[34]×[14]=[316]。

再次，筆者引導學生探究分數(shù)乘法。4×4=16，表示單位“1”被平均分成16份，也就是分母乘分母，深色部分表示3個1，也就是分子乘分子，引出[3×14×4 ]這個關鍵步驟，為下一步總結分數(shù)乘分數(shù)的計算方法做好鋪墊。這樣一來，學生通過直觀的形，看到了具體的數(shù)，通過數(shù)形結合明白了分數(shù)乘分數(shù)的算理，突破了這節(jié)課的難點。

在小學數(shù)學教學中，教師要學會充分利用圖形形象、直觀、便于分析這三個優(yōu)點，把數(shù)與形緊密結合起來，讓學生快速、準確地解決數(shù)學問題。

三、滲透化歸思想

課堂上，學生動手折的過程中還出現(xiàn)了如圖3所示的情況：

這個圖形其實先是將單位“1”平均分成4份，取其中的3份，也就是單位“1”的[34]，然后把3份中的每1份又平均分成4份，其中的1份就是[14] 的[14，]即每一份深色部分占單位“1”的[116] ，一共有3個[116]，也就是[316] ，從而引出[14] ×[14] ×3，涉及分數(shù)單位乘分數(shù)單位的分數(shù)乘法。新的分數(shù)乘分數(shù)的知識通過這樣的分解，巧妙地轉化成了已經(jīng)學過的分數(shù)乘整數(shù)的計算。

這就是常說的轉化思想。研究和解決數(shù)學問題常常就是將數(shù)學問題通過某種變換和轉化，把復雜的數(shù)學問題轉化成相對簡單的數(shù)學問題，把比較難解決的數(shù)學問題轉化成相對容易的數(shù)學問題，把還沒有解決或還沒有學過的數(shù)學問題轉化成已經(jīng)解決或已經(jīng)學過的數(shù)學問題。前面提到數(shù)與形的相互轉化和后面將要提到的實際問題與數(shù)學模型的相互轉化，都是這種思想在教學中的體現(xiàn)。

雞兔同籠問題中假設兔子抬起兩只前爪或者雞將翅膀尖著地，平行四邊形的面積、梯形的面積、三角形的面積計算公式的推導等都是經(jīng)典例子。在教學中不斷變更問題，先對已知成分進行變形，轉化成已經(jīng)學習或掌握的熟悉內(nèi)容進行研究，都是化歸思想在小學數(shù)學教學中的具體體現(xiàn)?；瘹w作為一種重要的數(shù)學思想，是學生學習數(shù)學的過程中最基本的思維策略和有效的思維方式。在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生運化歸思想來思考問題和解決問題，不但能夠鞏固舊知識，促進對新知識的理解和掌握，而且對提高學生思考和解決問題的水平、提升學生自信心有著非常重要的作用。

四、滲透模型思想

一般來說，人們描述一個實際現(xiàn)象的時候，為了讓描述具有科學性、邏輯性、客觀性和可重復性，就會選用一種大家都覺得比較嚴謹?shù)恼Z言，這種語言也包括數(shù)學語言。數(shù)學語言當中，針對或參照某種事物的特征或數(shù)量關系，近似地表達出數(shù)學結構，就是我們所說的數(shù)學模型。通常，數(shù)學模型的建立是有一定要求的，在建模的過程中，我們要學會將一個現(xiàn)實的問題經(jīng)過大腦的分析，轉化成一個數(shù)學問題，再選用合適的數(shù)學思維方法去解決。這不但是一種思考問題的方法，而且是一種運用數(shù)學語言的方法，經(jīng)歷抽象、簡化從而建立能解決實際數(shù)學問題和現(xiàn)實問題的一種非常有效的手段。

對小學數(shù)學教學和學習來說，建立數(shù)學模型的過程，其實就是一個數(shù)學化的過程。在本課小結時，筆者出示《九章算術》的相關材料，說明分數(shù)乘法運算在中國古代著作《九章算術》中有記載，其法則是“母相乘為法，子相乘為實，實如法而一”，用現(xiàn)代文翻譯過來就是“分母相乘作積的分母，分子相乘作積的分子”。然后，筆者出示[ba]×[dc]，引導學生建立[ba]×[dc=b×da×c]=[bdac]（a、c均不等于0）這樣一個數(shù)學模型，從而使分數(shù)乘分數(shù)的計算法則“兩個分數(shù)相乘，分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母”上升到數(shù)學模型的高度。這樣能夠幫助學生初步形成建模意識，形成模型思想，提高他們對數(shù)學以及與數(shù)學相關的其他學科的興趣和應用意識。

五、滲透數(shù)學文化思想

“分數(shù)乘法（三）”一課的教學中，既滲透了《莊子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，又引入了《九章算術》中關于分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。在課堂教學中，將教學內(nèi)容與中國幾千年來優(yōu)秀的數(shù)學和哲學思想結合起來，讓優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化得到充分的發(fā)揚，從而讓學生感悟中國豐富的傳統(tǒng)文化，讓學生的數(shù)學文化素養(yǎng)得到有效提升。

當然，在小學數(shù)學課堂教學中，教師一定要精心設計教學方案，把握機會對學生進行數(shù)學文化的滲透，努力讓學生在數(shù)學學習的過程中切實感受到數(shù)學文化的魅力，對數(shù)學文化產(chǎn)生認同和共鳴，體會數(shù)學的獨特文化品位，體察到其他社會文化和數(shù)學文化之間的互動，增強對數(shù)學的興趣，提升綜合能力。

六、結語

數(shù)學思想和我們一般所說的數(shù)學概念和解題技能是不同的，數(shù)學技能一般通過一定時間的訓練就能夠掌握，但是數(shù)學思想需要教師在教學中長期滲透才能夠形成。培養(yǎng)學生的思維能力是數(shù)學教學的核心目標之一，在日常教學中不斷地滲透數(shù)學思想不僅可以鍛煉學生的思維能力，還可以提高學生觀察、理解和解決現(xiàn)實中的問題的能力。

教師要不斷加強理論修養(yǎng)，不斷引入源頭活水，在課堂中滲透數(shù)學思想，用數(shù)學這門學科具有的魅力引導學生逐步走上數(shù)學學習、數(shù)學研究的道路，使學生在潛移默化中日積月累，通過提升數(shù)學素養(yǎng)達到學好數(shù)學的目的，讓學生即使忘卻了學習的數(shù)學知識，還能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的思維、數(shù)學的方法去觀察、理解、解決現(xiàn)實中的問題。

【本文系甘肅省定西市“十四五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學有效課堂教學策略研究”的階段性成果（課題編號：DX[2021]GHB0332）?！?/p>

（責編 楊偲培）