雷俊磊，徐 玲，曾昌璽，高方啟

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴陽 550025）

混沌現(xiàn)象是E.N.Lorenz在簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型中發(fā)現(xiàn)的，其既非周期又不收斂，并且具有一定的初值敏感性。對(duì)混沌系統(tǒng)現(xiàn)象理論進(jìn)行研究可以通過Lorenz系統(tǒng)入手，目前在國(guó)內(nèi)已有許多專家學(xué)者對(duì)其理論進(jìn)行了深入研究，使其在許多相關(guān)學(xué)科包括數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域中都已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。另一方面，傳染病模型研究對(duì)于各類傳染病的有效防控有著重要意義，已有許多學(xué)者對(duì)其性質(zhì)、穩(wěn)定性做了分析，而SIR模型是傳染病模型中最經(jīng)典的模型，適用于研究患者康復(fù)后不再被感染的傳染病。

在眾多學(xué)者中，周圍[1]等詳細(xì)分析了基于Grünwald-Letnikov定義的分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化 Lorenz系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，徐寶春[2]給出了提前和延遲管控隔離對(duì)香港SARS疫情的總體影響分析，徐英、楊娟[3]等分析了HIV/AIDS傳播的動(dòng)力學(xué)模型，霍靜靜[4]基于分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)兩類分?jǐn)?shù)階模型的動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行研究，徐鴻鵬等[5]給出了一個(gè)新型的五維超混沌類Lorenz系統(tǒng)及其特性，并利用數(shù)值模擬進(jìn)行了驗(yàn)證，劉向虎等[6]分析了一類帶有不確定擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階P型迭代算法。但他們都沒有對(duì)整數(shù)階到分?jǐn)?shù)階變化的Lorenz系統(tǒng)以及SIR模型進(jìn)行分析，為探尋階數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)所帶來的影響，本文借鑒了程全發(fā)等[7-9]對(duì)一類分?jǐn)?shù)階微分方程的算法分析，主要是對(duì)三維分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)和SIR傳染病模型做了較為詳細(xì)的分析。

1 預(yù)備知識(shí)

2.1 簡(jiǎn)化Lorenz分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)及其吸引子

取 h=0.001s，a=5，初值為(1，2，3)時(shí)，由模型(12)可以得到該系統(tǒng)的吸引子軌線相圖如圖1所示。

圖1 分別為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)的吸引子及其在各平面的投影圖.

可以得出此時(shí)系統(tǒng)是混沌的。

2.2 q對(duì)系統(tǒng)的影響

由于當(dāng)a=5，q=0.98時(shí)該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，現(xiàn)為探討階數(shù)q能否影響系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生，取定 a=5，取階數(shù) q=0.50、0.65、0.80、0.90、0.93、1 時(shí)系統(tǒng)在x-z平面軌線的相圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)在不同階數(shù)下x-z平面軌線的相圖

由圖2知，在(0，1]范圍內(nèi)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的趨勢(shì)隨階數(shù)增加逐漸明顯，且階數(shù)在(0.90，0.93]范圍內(nèi)存在一個(gè)使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的界點(diǎn)。

進(jìn)一步探索該系統(tǒng)產(chǎn)生混沌時(shí)階數(shù)的確定取值。同樣取定參數(shù)a=5，取階數(shù)q=0.90、0.91、0.92、0.95、0.98、1時(shí)系統(tǒng)在x-z平面軌線的相圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)在不同階數(shù)下x-z平面軌線的相圖

由圖3可以得出當(dāng)q=0.92時(shí)該系統(tǒng)開始產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，若q=0.92是混沌產(chǎn)生的界點(diǎn)，可以通過Lyapounov指數(shù)去刻畫，限于篇幅，本文不作詳細(xì)論述。

3 SIR模型

圖5 SIR模型

圖6 階數(shù)變化時(shí)治愈者人數(shù)的軌線圖a;b

通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)階數(shù)從 q=1均勻遞減過程中，治愈者人數(shù)明顯不斷降低，并逐步趨向于平衡，當(dāng)q=0.2時(shí)，在40天內(nèi)治愈者人數(shù)始終低于100人，死亡率較高，傳染病難以控制；階數(shù)從q=1均勻遞增的過程中，治愈者人數(shù)顯著增加，在q=1.7時(shí)，治愈者人數(shù)隨時(shí)間的增加近似呈直線增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)速度較快，在40天內(nèi)治愈者人數(shù)已超過2000人，利于傳染病的控制。

4 結(jié)論

針對(duì)簡(jiǎn)化Lorenz分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，通過MATLAB仿真分析了系統(tǒng)階數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，發(fā)現(xiàn)階數(shù)的選取對(duì)系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生有著重要作用。此外，本文對(duì)SIR傳染病模型進(jìn)行從整數(shù)階到分?jǐn)?shù)階變化的研究發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)治愈者人數(shù)會(huì)隨階數(shù)的增加而增加，這對(duì)醫(yī)學(xué)上更好地修正治療方法或者方案進(jìn)行對(duì)傳染病的防治具有一定的啟示意義。