實(shí)例分析輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

郭寶山

【摘要】在初中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會(huì)遇到解題過程十分復(fù)雜的難題，如果依然采用傳統(tǒng)的解題思路，不僅需要耗費(fèi)大量時(shí)間和精力，也極易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的情況，為此，本文通過輔助圓解題思路在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用分析，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用輔助圓解決各類數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)初中生的全面發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】輔助圓;初中數(shù)學(xué);解題思路

“圓”作為初中階段重要的教學(xué)內(nèi)容，其自身具備的特殊性在許多解題中都具有良好的運(yùn)用效果。如果能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用輔助圓來解決其它問題，則能夠大大簡化解題難度，同時(shí)也能夠幫助學(xué)生理清解題思路，更好地理解數(shù)學(xué)問題，將抽象數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化成具象圖形進(jìn)行求解，從而提高初中生的數(shù)學(xué)解題能力，對初中生未來學(xué)習(xí)與發(fā)展具有重要意義。

一、利用輔助圓構(gòu)建，求解直線方程問題

直線方程問題是初中數(shù)學(xué)科目中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是一直困擾學(xué)生的一種題型，雖然初中直線方程問題沒有像高中直角坐標(biāo)系求解二元一次方程圖形那么難，但是對于初中生的學(xué)習(xí)來說，也經(jīng)常需要耗費(fèi)大量精力與時(shí)間，嚴(yán)重影響初中生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)積極性。為此，當(dāng)學(xué)生在遇到直線方程這類問題求解時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用輔助圓的構(gòu)建來解決直線方程問題，將原本復(fù)雜的問題簡單化，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的解題能力。

例題1：已知圓C外一點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4），圓C為（x-1）2+（y-1）2=1，做PA、PB兩條切線分別交予圓外P點(diǎn)，連接切點(diǎn)A和B，求解AB直線方程。

例題解析：通過題目可知，想要解決AB直線方程，如果從AB點(diǎn)的切點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解，那么需要較大的運(yùn)算量，而且在求解過程中極易出錯(cuò)。為此，在這道題目的求解時(shí)可以利用輔助圓的構(gòu)建，使兩個(gè)圓形方程相減，這樣就能夠直接獲取直線AB方程。如圖1所示，通過PA線段為半徑構(gòu)建輔助圓，P點(diǎn)作為圓的圓心，確保輔助圓與圓心C點(diǎn)、A點(diǎn)和B點(diǎn)相交，因?yàn)镻A與CA垂直，所以可以得到PC=，由此可知：

故圓P的方程為（x-2）2+

（y-4）2=9? （1）

由于AB點(diǎn)和B點(diǎn)分別處于C圓中，結(jié)合已知條件C圓方程為（x-1）2+（y-1）2=1，進(jìn)行兩圓相減就得到了AB直線方程，最終結(jié)果為：

AB：x+3y-5=0? ? ? ? ? ? ?（2）

圖1

二、利用輔助圓求解線段長度

在初中數(shù)學(xué)幾何題目中，求解線段長度也是一種常見題型，而通過構(gòu)建輔助圓的方式求解直線方程中線段長度，也能夠簡化解題步驟，降低解題難度，讓學(xué)生更容易理解與作答，而通過輔助圓求解線段長度的原理主要是通過圓內(nèi)共同端點(diǎn)的線段都相等這一特顯，以端點(diǎn)為圓心進(jìn)行畫圓，并且以相同線段長度為半徑，畫出輔助圓，隨后便可以結(jié)合圓的性質(zhì)，輕松求解線段長度。

例題2：由圖2中的四邊形ABCD可知，線段AB與CD平行，同時(shí)在長度上線段AB、AD和AC均為5，線段BC長度為，求解線段BD長度。

例題解析：從本道題目的已知條件可知，四邊形中AB線段和CD平行，同時(shí)AB=AD=AC，通過輔助圓進(jìn)行解答時(shí)，首先以A為圓點(diǎn)畫圓，而由于A點(diǎn)到B、C、D點(diǎn)均相等，所以三點(diǎn)均處于圓上，AB、AD、AC也均為圓的半徑，其次通過AB線段反向延長至E點(diǎn)，同時(shí)AE也為圓的半徑，將D點(diǎn)與E點(diǎn)連接，由題目中已知條件獲悉AB與CD平行，所以圓周角對應(yīng)的弧相等，由此可得BC和DE弧線同樣相等，因此線段ED與線段BC長度相等，結(jié)合輔助圓可以判斷EB為圓的直徑，所以∠EDB為指數(shù)，線段BE等于2AB為10，由此可以求解線段BD的長度：

（3）

圖2

三、利用圓內(nèi)角和外角構(gòu)建輔助圓，求解圓周角關(guān)系

圓周角的定義而言，在圓周上其中的某個(gè)定點(diǎn)中與二邊都和圓存在交集，然而由于這幾個(gè)交點(diǎn)所組成的即為圓周角。因?yàn)樵趫A周上，所以每個(gè)弧長所對應(yīng)的圓周角都是對應(yīng)直角圓周角的一半。然而，由于圓周角度數(shù)和自身對應(yīng)弧度也相當(dāng)，所以在求解圓周角度數(shù)問題時(shí)，就相當(dāng)于弧線所對應(yīng)度數(shù)的二分之一了。而從圓周角與圓角概念出發(fā)，在圓周外定點(diǎn)和圓相交，在這種距離同時(shí)也與二邊交點(diǎn)，即叫做圓外角，而同時(shí)在圓周內(nèi)又存在著一定點(diǎn)，兩邊也與圓周存在交點(diǎn)，就叫做圓角。

例題3：在圓O上存在一點(diǎn)C，圓內(nèi)存在一點(diǎn)P，同時(shí)P點(diǎn)與O點(diǎn)處于圓形弧AB的同側(cè)，線段BP與線段AP同交于點(diǎn)P，而線段BC與線段AC交于點(diǎn)C，試求證∠APB大于∠ACB。

例題解析：在求解這道題目時(shí)，可以通過輔助圓構(gòu)建，將線段BP延長至圓心位置，并交于點(diǎn)D，連接線段AD。由于同弧所對應(yīng)的角度都相等，同時(shí)∠ACB與∠ADB屬于同一側(cè)，所以對應(yīng)的圓弧都為AB，因此這兩個(gè)角相等。又因?yàn)椤螦PB為三角形外角，同時(shí)∠APB=∠ADB+∠DAP。故∠APB=∠ACB+∠DAP，因此∠APB大于∠ACB。

通過上述求解可以得出，在一個(gè)圓周內(nèi)，同一圓弧所對應(yīng)的圓周角都要等于同一圓弧所相應(yīng)的圓內(nèi)角度。因此，統(tǒng)一圓弧對應(yīng)的圓周角也要等于同一圓弧所相應(yīng)的圓周外角度。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)作為學(xué)生中考及未來數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，在實(shí)際教學(xué)中占據(jù)重要地位，而數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有一定抽象性，在實(shí)際解題中經(jīng)常會(huì)受到解題思路的限制，導(dǎo)致學(xué)生失去解題興趣，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展。為此，必須重視利用輔助圓解題思維的傳遞，引導(dǎo)初中生掌握輔助圓構(gòu)建方法，靈活地運(yùn)用輔助圓圈求解更多數(shù)學(xué)問題，不僅能夠簡化數(shù)學(xué)問題，同時(shí)還有助于豐富初中生數(shù)學(xué)解題思路，對今后的學(xué)習(xí)起到重要幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢建龍，秦瑞霞.“無中生有”巧構(gòu)圓——巧用輔助圓解決有關(guān)問題[J].? 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（Z2）.

[2]吳秀明.一類動(dòng)態(tài)問題中輔助圓的妙用[J].理科考試研究，2017（16）.

[3]王冬青.無中生有巧構(gòu)圓[J].初中生世界，2017（19）.

[4]鄧文忠.巧添輔助圓妙解幾何題[J].數(shù)學(xué)大世界（初中版），2012（12）.

[5]王忠根.初中數(shù)學(xué)解題策略研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（22）.

[6]聶慧蘭.初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)探究[J].學(xué)園，2017（28）.

[7]陳琦.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中關(guān)注對學(xué)生讀題的指導(dǎo)[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2015（1）.

責(zé)任編輯? 吳華娣