黃燕紅

【摘 要】算理教學(xué)是計(jì)算教學(xué)中不可缺少的環(huán)節(jié)。學(xué)生只有理解了算理才能更深入地理解算法，才能更好地應(yīng)對(duì)計(jì)算時(shí)千變?nèi)f化的情況，從而提高學(xué)生的運(yùn)算能力。如何讓學(xué)生真正理解算理，也成為教學(xué)中的難點(diǎn)。算理的理解光靠教師講解是不夠的，學(xué)生一定要親身經(jīng)歷算理研討才能真正理解算理，所以教師一定要精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，才能讓學(xué)生“獲得”算理理解。

【關(guān)鍵詞】整數(shù)除以分?jǐn)?shù) 學(xué)習(xí)體驗(yàn) 算理理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。由此可見，算理教學(xué)是計(jì)算教學(xué)中不可缺少的環(huán)節(jié)。學(xué)生只有理解了算理才能更深入地理解算法，才能更好地應(yīng)對(duì)計(jì)算時(shí)千變?nèi)f化的情況，從而提高運(yùn)算能力。算理教學(xué)從一開始的不被重視，也漸漸地為廣大教師所認(rèn)同。在教學(xué)中老師們都為算理教學(xué)留下了一席之地，但是往往還是形同虛設(shè)，學(xué)生到最后記住的都只是算法，算理教學(xué)就如同學(xué)生眼前飛逝而過的一處風(fēng)景，沒有在學(xué)生的頭腦中留下任何痕跡。如何讓學(xué)生真正理解算理，也成為教學(xué)中的難點(diǎn)。

盧梭曾經(jīng)說過：“不要給你的學(xué)生任何口頭上的傳授，他們應(yīng)該只能從自己的體驗(yàn)中接受知識(shí)?！睕]有恰當(dāng)?shù)捏w驗(yàn)，只是分享自己對(duì)世界的理解和情感，注定要以失敗而告終。因此，需要通過精心設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)來揭示核心內(nèi)容的可能含義。算理的理解也是如此，光靠教師講解是不夠的，學(xué)生一定要親身經(jīng)歷算理研討才能真正理解算理。所以在計(jì)算教學(xué)中，教師一定要精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生“獲得”算理理解。

“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”是六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法單元的主要教學(xué)內(nèi)容之一，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。相對(duì)于分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理學(xué)生在理解上要困難一些。在本節(jié)課的教學(xué)中，為了讓學(xué)生充分經(jīng)歷算理的理解，給學(xué)生一個(gè)深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)過程，筆者主要做了以下嘗試：

一、精心選擇研究材料

作為教學(xué)設(shè)計(jì)師，我們不僅有責(zé)任選擇好的教材來支持目標(biāo)，還要確保使用教材中設(shè)計(jì)得好的部分，彌補(bǔ)其中不完備的地方，使教材在組織信息和提供練習(xí)以增強(qiáng)關(guān)鍵知識(shí)和技能方面發(fā)揮最大作用。

教材上例2是通過分橙子的問題情境，從整數(shù)除法的數(shù)量關(guān)系帶出整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算式，這樣做有助于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義。但是例3卻沒有沿用例2的教學(xué)情境，而是換成了剪4米長的彩帶，應(yīng)該是考慮到學(xué)生可以通過操作得到計(jì)算的結(jié)果。

在這節(jié)課的教學(xué)中，筆者放棄了教材上的研究材料，選擇了“分江陰特產(chǎn)馬蹄酥”這個(gè)問題情境，并通過這個(gè)問題情境把例2和例3的學(xué)習(xí)內(nèi)容串聯(lián)在一起，情境的一致性有利于學(xué)生思維的通達(dá)。馬蹄酥這個(gè)操作材料更接近圓這個(gè)平面圖形，分餅的過程更容易在直觀圖上呈現(xiàn)，也更有利于學(xué)生操作。

二、精心組織學(xué)習(xí)過程

“教學(xué)”最恰當(dāng)?shù)亩x或許是對(duì)學(xué)習(xí)的組織。因此，成功的教學(xué)是為真正的結(jié)果組織學(xué)習(xí)……與大家所熟悉的教學(xué)定義（將其作為學(xué)習(xí)的引導(dǎo)或指導(dǎo)）相比，很明顯這個(gè)定義更恰當(dāng)些。它使我們從教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)習(xí)還是指導(dǎo)學(xué)習(xí)的爭論中解脫出來—— 其實(shí)這些爭論是無關(guān)緊要的，因?yàn)閮烧叨际墙處煈?yīng)該做的。筆者把研究算理、構(gòu)建算法的過程設(shè)計(jì)分成了三個(gè)環(huán)節(jié)：

（一）復(fù)習(xí)整數(shù)除法，引導(dǎo)意義理解

1.復(fù)習(xí)整數(shù)除法得出數(shù)量關(guān)系，為引出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)做鋪墊

整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義和整數(shù)除法是相同的，通過這兩個(gè)整數(shù)除法的例子，順利引出整數(shù)除法的數(shù)量關(guān)系：總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)，幫助學(xué)生回憶起整數(shù)除法的意義：已知總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)，也就是求一個(gè)數(shù)里有幾個(gè)幾，用除法計(jì)算。

2.變化除數(shù)引出整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義

通過這道題讓學(xué)生理解，總數(shù)還是4個(gè)，每份數(shù)變成了1/2個(gè)，也就是求4里面有幾個(gè)1/2，也可以用除法來計(jì)算。因?yàn)閿?shù)量關(guān)系沒有變，學(xué)生能很好地理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義。理解了意義，學(xué)生才能更好地理解算理，它是算理理解的基礎(chǔ)。

（二）經(jīng)歷算理研究過程，充分理解算理

1.讓學(xué)生想象，為理解展翅

在學(xué)生研究4÷1/2時(shí)，直接拋出問題，讓學(xué)生去想象分餅的過程：每人分得個(gè)，一共可以分給幾個(gè)小朋友？不用操作畫圖，大部分學(xué)生能想到：1個(gè)餅?zāi)軌蚍纸o2個(gè)人，那么4個(gè)餅就分給4個(gè)2人，4÷=4×2=8（人），所以一共可以分給8人。

后面通過繼續(xù)變化每人分得的份數(shù)，可以得到“4÷”和“4÷”這兩個(gè)算式。也可以讓學(xué)生先想象分餅的過程，然后得出計(jì)算的方法。

2.借助直觀圖，為理解助力

（1）借助直觀圖，驗(yàn)證想象

不管是每人分個(gè)，還是每人分個(gè)，或者每人分個(gè)，通過想象分餅的過程大部分學(xué)生能理解算理，得出算法，但是他們的想法到底對(duì)不對(duì)呢？這時(shí)，筆者馬上課件出示分餅的直觀過程，來為學(xué)生的想象提供依據(jù)，驗(yàn)證想法的合理性。

通過直觀圖，已經(jīng)得到結(jié)論的同學(xué)進(jìn)一步驗(yàn)證了自己的想法，而一部分沒有想法的同學(xué)也被點(diǎn)醒了，這樣就能夠幫助他們理解算理，同時(shí)也能得出算法。

（2）借助直觀圖，解決疑難

繼續(xù)變化每人分得的份數(shù)，每人分得個(gè)，可以得到式子“4÷”。這里讓學(xué)生想象分餅的過程是有困難的，這時(shí)就要讓學(xué)生借助直觀圖來操作分餅的過程，在下圖上圈一圈，每人分個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

這樣的直觀操作，就如給學(xué)生的理解注入了一股力，學(xué)生通過操作很容易發(fā)現(xiàn)4個(gè)餅，每人分個(gè)，一共可以分給6個(gè)人。

3.促學(xué)生思理，為理解深入

學(xué)生通過直觀圖得出：4個(gè)餅，每人分個(gè)，一共可以分給6個(gè)人。這時(shí)借助直觀圖進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)生思考：為什么4個(gè)餅，每人分個(gè)，一共可以分給6個(gè)人呢？想一想：前面每次分餅的過程，我們都先想了什么？學(xué)生得出：每次都是先想每個(gè)餅可以分給幾個(gè)人？這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察操作圖得出：1個(gè)餅可以分給1個(gè)半人，也就是個(gè)人。再讓學(xué)生思考討論：為什么1個(gè)餅?zāi)軌蚍纸o個(gè)人呢？促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步去深入思考。最后學(xué)生通過討論得出：因?yàn)?個(gè)餅中有3小份，每人得2小份，所以3÷2=（個(gè)）。這個(gè)結(jié)論的得出為學(xué)生進(jìn)一步研究算理打開了門路，層層深入的提問，也促使學(xué)生對(duì)算理的理解一步步走向深入。

4.定語言導(dǎo)向，為理解定格

通過重點(diǎn)研究“4個(gè)餅，每人分個(gè)，一共可以分給幾個(gè)人”這個(gè)問題，學(xué)生對(duì)算理的理解基本有了方向，思考“幾個(gè)餅分給幾個(gè)人”的問題，要先思考“1個(gè)餅可以分給幾個(gè)人”。

這時(shí)出示：6個(gè)餅，如果每人分個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友？

列出算式后提問：要思考這個(gè)問題，我們可以先想什么？思考“1個(gè)餅可以分給幾個(gè)人”可以怎么想？讓學(xué)生先通過思考說一說分餅的過程。

6個(gè)餅，如果每人分個(gè)，每個(gè)餅分成5小份，每人得3小份，所以5÷3=（個(gè)），1個(gè)餅可以分給個(gè)人。這樣6÷=6×=10（個(gè)）。

然后讓學(xué)生在下面的圖上圈一圈，進(jìn)一步驗(yàn)證自己的想法，通過驗(yàn)證得出這樣的想法是合理的。

這時(shí)再出示：那么如果有10個(gè)餅，每人分個(gè)，可以分給幾個(gè)人？

這道題學(xué)生列出算式后，直接讓學(xué)生想象分餅的過程，并說一說。

10個(gè)餅，如果每人分個(gè)，每個(gè)餅分成9小份，每人得5小份，所以9÷5=（個(gè)），1個(gè)餅可以分給個(gè)人。這樣10÷=10×=18（個(gè)）。

這次不再借助直觀圖，而是讓學(xué)生想象分餅的過程，這是學(xué)生從算理直觀化走向算法抽象化的過渡過程。經(jīng)歷這個(gè)過程，學(xué)生才能真正理解算理，最終完成算法的主動(dòng)建構(gòu)。

以上的教學(xué)過程由淺入深、由表及里，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷算理研究的過程中充分理解了算理，也為下面算法的得出做好了充分準(zhǔn)備。

（三）引導(dǎo)學(xué)生回顧計(jì)算過程，得出算法

通過前面的教學(xué)，算法的得出可謂是呼之欲出，水到渠成。通過剛才這么多整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算，你們能說一說整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法嗎？此時(shí)教室里小手雀躍，大部分的孩子都能得出計(jì)算的方法。正是有了前面經(jīng)歷的算理理解的一步步過程，學(xué)生才能自主地構(gòu)建算法，計(jì)算方法的得出就是順勢(shì)而為。

三、做好學(xué)習(xí)活動(dòng)的指導(dǎo)者

追求理解的教學(xué)更接近指導(dǎo)而不是講授， 特別是在學(xué)習(xí)活動(dòng)流程和學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)教師的要求方面?！皩?duì)某個(gè)觀點(diǎn)的口頭交流可能激發(fā)一個(gè)人對(duì)問題的自我認(rèn)識(shí)，并思考類似的觀點(diǎn)，要不然， 他的智力興趣可能會(huì)受到抑制，在思考上的努力也可能會(huì)受到束縛。 但他直接獲得的還不能稱為觀點(diǎn)，只有當(dāng)他自己直接處理問題的各種狀況，從中尋找和發(fā)現(xiàn)他自己的方式時(shí)，他才能獲得真正的觀點(diǎn)?！?/p>

在學(xué)生探究“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，一定要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主角，教師的任務(wù)是組織好學(xué)生的活動(dòng)。學(xué)生自己能想到的，讓學(xué)生自己去想;學(xué)生自己能動(dòng)手操作的，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作;學(xué)生自己能表達(dá)的，讓學(xué)生自己去表達(dá)?？赡軐W(xué)生的想法不一定完美，可能學(xué)生的操作不一定恰如其分，可能學(xué)生的表達(dá)不一定一語中的，但是經(jīng)歷錯(cuò)誤、經(jīng)歷曲折，才能使學(xué)生真正掌握所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。教師要做的是在學(xué)生經(jīng)歷錯(cuò)誤、經(jīng)歷曲折卡殼時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)，讓學(xué)生走出死胡同，找到正確的思考方向。

例如在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，筆者進(jìn)行了幾處有意識(shí)的指導(dǎo)：（1）初次遇到一個(gè)數(shù)除以幾分之幾時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的想法，甚至一下子得不到正確的計(jì)算結(jié)果，這時(shí)適時(shí)指導(dǎo)學(xué)生借助畫圖操作，很快就能找到正確的計(jì)算結(jié)果。（2）在學(xué)生得出計(jì)算結(jié)果后，要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考，促使學(xué)生想到要算幾個(gè)餅分給幾個(gè)人，就要想清楚每個(gè)餅分給幾個(gè)人，而每個(gè)餅分給幾個(gè)人更是理解算理得出算法的關(guān)鍵。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論交流就很有必要。（3）指導(dǎo)整數(shù)除以幾分之幾的算理表達(dá)。每一次都要讓學(xué)生說清楚每個(gè)餅分給幾個(gè)人，并且說清楚為什么。引導(dǎo)說清楚這個(gè)問題，就是弄清楚整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理，這樣學(xué)生在思考和表達(dá)中對(duì)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理就逐漸清晰了，算法的得出也就水到渠成了。

總之，在計(jì)算教學(xué)中，一定要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，組織教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由算理直觀化到算法抽象化的過渡和演變過程，獲得深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使學(xué)生達(dá)到對(duì)算理的深度理解和對(duì)算法的切實(shí)把握，完成算法的主動(dòng)建構(gòu)，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力。