王寧
(北京郵電大學(xué)理學(xué)院,北京 100876)
1982 年,波蘭學(xué)者PAWLAK[1]提出了粗糙集理論,為處理不確定性提供了一個有效的工具。為了完善粗糙集理論,YAO[2]提出了決策理論粗糙集的概念?;跊Q策理論粗糙集,YAO[2]進一步提出了三支決策的理論。該理論將決策論域劃分為三個互不相交的域,并給出了對應(yīng)的解釋。即用接受,拒絕和不做承諾三個決策行動來解釋粗糙集的三個域。目前,三支決策已經(jīng)成功應(yīng)用到很多領(lǐng)域并取得了很好的結(jié)果[3]。
目前,很多三支決策模型都是基于一型模糊集并取得了很好的結(jié)果,但隨著決策環(huán)境不斷地變復(fù)雜,一型模糊集已經(jīng)不能滿足決策的需求。二型模糊集作為一型模糊集的推廣[4-6],能更好地描述不確定信息。故Xiao 等[7]提出了基于二型模糊集的三支決策??紤]到?jīng)Q策者的行動可能會受到不同風(fēng)險態(tài)度的影響,Wang 等[8]提出了一個區(qū)間二型模糊環(huán)境下基于后悔理論的三支決策模型[7]。在實際的決策問題中,往往涉及多個屬性而不是單一的屬性,所以多屬性三支決策受到了很多學(xué)者的關(guān)注。區(qū)間二型模糊集在表達和計算上更加的簡潔,因此我們將多屬性三支決策推廣到區(qū)間二型模糊集的環(huán)境下,來提高模型處理不確定信息的能力。
定義1 假設(shè)U 是一個論域,?A 是一個二型模糊集可以表示為:
由決策理論粗糙集的定義可知,一個模糊概念的上下近似可以通過條件概率和閾值來確定。在決策理論粗糙集中通常包含兩個狀態(tài)和三個行動,分別記作Ω={C,┒C},D={aP,aB,aN}。C 和┒C 分別表示對象屬于和不屬于C。aP表示對象x∈pos(C),即接受決策;aN表示對象x∈neg(C),即拒絕決策;aB表示對象x∈bn(C),即拒絕決策;aB表示對象x∈bn(C),即延遲決策。每個行動的損失函數(shù)如表1 所示,其中λPP,λBP,λNP分別表示對象x 屬于狀態(tài)C 時執(zhí)行行動aP,aB,aN所產(chǎn)生的損失,λPN,λBN,λNN分別表示對象x 不屬于狀態(tài)C 時執(zhí)行行動aP,aB,aN所產(chǎn)生的損失。假設(shè)P(C│[x])是對象屬于[x]的情況下屬于C 的概率,然后通過一對閾值0≤β≤α≤1,可以得到如下的決策規(guī)則:
表1 損失函數(shù)的矩陣
接受:pos(C)={xi∈U│P(C│[x])≥α},
不做承諾:bn(C)={xi∈U│β<P(C│[x])<α},
拒絕:neg(C)={xi∈U│P(C│[x])≤β}。
根據(jù)貝葉斯決策理論和最小風(fēng)險原則,我們可以用式(4)至式(6)計算出閾值參數(shù)α,β,γ,其中0≤β≤γ≤α≤1:
當決策環(huán)境更加復(fù)雜時,使用一型模糊集有時不能很好的表達決策對象的評價信息。區(qū)間二型模糊集作為一型模糊集的拓展,在表達不確定信息上優(yōu)于一型模糊集,所以我們提出了一個區(qū)間二型模糊環(huán)境下的多屬性三支決策模型。
雖然區(qū)間二型模糊集在表達不確定信息上比一型模糊集更有優(yōu)勢,但在表達形式和計算上會更加的復(fù)雜。當?shù)玫竭@些模糊評價信息時,為了便于比較和計算,我們首先要對這些區(qū)間二型模糊信息進行處理,將區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值的形式并得到一個數(shù)值的信息表。因此我們需要提出一個函數(shù)將區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)換為數(shù)值。
通過定義2 提出的函數(shù),我們可以將所有的區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值,下文將用一個案例來說明該定義的計算過程。
一所學(xué)校需要對一個學(xué)生進行評估,假設(shè)V={1,2,…,10},班主任對該學(xué)生的評價為?A =[(5,7,8,9;1,0.9),(6,7,7,8;0.8,0.8)],其中?A 是V 上的一個區(qū)間二型模糊集。 假設(shè)V={1,2,…,10},?A =[(5,7,8,9;1,0.9),(6,7,7,8;0.8,0.8)] 是V 上的一個區(qū)間二型模糊集。利用函數(shù)T 我們可以計算出:
相當于班主任對這個學(xué)生的評價可以近似為0.635。
處理完區(qū)間二型模糊信息,則需要考慮三支決策的兩個關(guān)鍵因素:條件概率和閾值。首先,考慮到不同的屬性的重要程度可能是不同的,如果將各個屬性的權(quán)重設(shè)為一樣的,那么得到的決策結(jié)果可能會有偏差,因此我們將權(quán)重加入條件概率的公式之中,并給出了加權(quán)的條件概率的定義。
利用條件概率的公式計算出條件概率后,則需要考慮三支決策的另一個關(guān)鍵因素:閾值參數(shù)。閾值參數(shù)可以通過貝葉斯風(fēng)險決策理論和最小風(fēng)險原則計算得到,為了減小模型的計算量,本文的閾值參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗直接給出的。給定一對閾值α 和β(0≤β≤α≤1),如下的三支決策規(guī)則被給出:
接受:pos(C)={xi∈U│P(C│xi)≥α},
不做承諾:bn(C)={xi∈U│β<P(C│xi)<α},
拒絕:neg(C)={xi∈U│P(C│xi)≤β}。
通過以上討論,我們建立了一個基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策模型。
本節(jié)中筆者將通過一個數(shù)值的例子來驗證所提出的基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策的有效性和合理性。
假設(shè)一個科技公司需要招聘后端開發(fā)工程師,一共有3 名求職者U={x1,x2,x3}通過了筆試的篩選進入了面試的流程,面試官將通過專業(yè)知識、實踐經(jīng)驗和綜合分析能力三個方面對應(yīng)聘者進行評估。這三個屬性的權(quán)重分別為(0.3,0.3,0.4),基本集V={1,2,…,10},狀態(tài)集Ω={C,┒C},其中狀態(tài)C 表示通過面試。得到的信息如表2 所示。
表2 一個關(guān)于面試的區(qū)間二型模糊信息表
首先,我們利用定義2 中的函數(shù)T 對得到的區(qū)間二型模糊信息進行處理,將所有的區(qū)間二型模糊信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值,得到的信息如表3 所示。
表3 一個關(guān)于面試的數(shù)值信息
然后,通過定義3 給出的條件概率的計算公式,得到各個求職者的條件概率如下:
P(C│x1)=0.601,
P(C│x2)=0.747,
P(C│x3)=0.450。
根據(jù)以往的經(jīng)驗,我們設(shè)閾值α=0.7 和β=0.4,根據(jù)推導(dǎo)出的三支決策規(guī)則可以得到:
接受:pos(C)={xi∈U│P(C│xi)≥0.7}={x2},
不做承諾:bn(C)={xi∈U│0.4<P(C│xi)<0.7}={x1,x3},
拒絕:neg(C)={xi∈U│P(C│xi)≤0.4}=?。
通過上面的決策結(jié)果,我們可以知道求職者x2通過了面試,得到了該科技公司的工作;針對求職者x1和x3,該科技公司沒有給出正面的評價,需要增加面試的次數(shù)再進一步考慮是否錄用,決策的結(jié)果如圖1 所示。
圖1 決策結(jié)果
本文給出了一個基于區(qū)間二型模糊集的多屬性三支決策模型。與基于一型模糊集的三支決策模型相比,該模型在表達模糊信息上更有優(yōu)勢。且能夠處理更多的模糊信息和決策問題。條件概率和閾值是三支決策的兩個關(guān)鍵因素,本文給出了條件概率的計算公式,但閾值是根據(jù)經(jīng)驗直接給定的。為了完善我們的模型,在未來將研究區(qū)間二型模糊環(huán)境下閾值的確定方法。另外,隨著決策環(huán)境不斷地變復(fù)雜,決策過程中往往涉及多個決策者,所以我們還將研究基于區(qū)間二型模糊集的多屬性群三支決策。