基于概念教學 讓數(shù)學思維拔節(jié)生長

江夢瑤

摘 要：數(shù)學概念的形成是一個抽象的過程，《倍的認識》這一節(jié)課的教學目標是讓學生形成和建立“倍”的概念，掌握解決有關“倍”的相關問題的方法，提升學生學習數(shù)學的思維邏輯。本文通過剖析當下，聚焦疑難困惑;追本溯源，理解概念本質(zhì);深入挖掘，建立數(shù)學模型;回顧反思，彰顯概念本質(zhì)，讓學生多次進行對比分析，在質(zhì)疑中交流，在歸納中抽象出“倍”的概念，真正領悟出“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵。

關鍵詞：倍的認識;倍比關系;數(shù)學思維

數(shù)學概念是學生學習數(shù)學知識、形成數(shù)學技能的基礎，“倍的認識”這一節(jié)課是學生第一次接觸兩個量之間的倍比關系，為以后學習“分數(shù)”，“百分數(shù)”，“小數(shù)”和“比”打下基礎。《課程標準》提出，要充分了解學生的認知發(fā)展水平和具備的生活經(jīng)驗，以學情為基礎來確定概念數(shù)學的教學目標，使得目標具有針對性，準確性和合理性，從而更好地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，建立相應數(shù)學模型，提高學習數(shù)學的思維能力。

一、剖析當下，聚焦疑難困惑

（一）概念模糊，浮于表面

認知心理學家洛斯認為，記憶中的種種概念，是按照概念的具體例子來表示的，而不是以某些抽象的規(guī)則或者一系列相關特性來表示的。比如講到“倍”時，可能人的意識中首先出示的是直觀的圓形和正方形的數(shù)量比較，而不是它的形式定義。在“倍的認識”中，學生無法真正深入理解倍就是在兩個量的相互比較下產(chǎn)生的，也就是一個量為標準量，另一個量里有幾個這樣相同的幾份就是幾倍。在處理“某班男生人數(shù)是女生的5倍，男生有30人，求女生有多少人？”的問題上，大多數(shù)同學都認為30×5=150人，只有部分同學能準確求出女生是6人，并清楚說明自己的想法。由此可見，概念的教學存在偏差，缺乏形象直觀的表征意義，因此增加了學生理解和記憶的難度。

（二）技能缺失，生搬硬套

當下新課標提出的過程與方法旨在學生理解一個新知識之后，還要具備靈活解決該知識點的技能，也就是“會學”。技能是指在某種操作規(guī)則或操作程序下通過實踐，練習等方式獲得的操作技術和運用數(shù)學知識解決問題的能力。在“倍的認識”這一節(jié)課中，大多數(shù)同學通過背誦和機械模仿記住了倍的“三段式”，當真正著手處理相關實際問題，卻無從下手，不清楚什么是標準量，找不到標準量，更無法通過標準量去尋找比較量和它的關系。

（三）思維定勢，形式單一

數(shù)學思維能力主要指的是邏輯思維，具備邏輯思維能力，能夠使學生思維開闊，善于總結和歸納，能夠將數(shù)學中遇到的問題準確推理出來，同時還具備在數(shù)學中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的一種獨特的思維能力。當前學生學習存在的通病是跟著老師的思路，可以解決相關練習，一旦脫離指導，甚至題型略有變化，使得簡易數(shù)學模型無法直觀顯現(xiàn)，對他們來說就成了一個全新的知識。學生對倍的認識僅僅停留在標準結構模型上，當面對非標準結構模型的時候，學生認為倍數(shù)不存在，束手無策，失去了解決倍數(shù)問題的通常策略。如果在教學中加入數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，那么就能提高學生自主學習的能力和創(chuàng)新能力。

二、追本溯源，研究教學意義

（一）解讀教材體系，確定教學方向

“倍的認識”這一節(jié)課是新人教版小學數(shù)學三年級上冊的內(nèi)容，人教版將其內(nèi)容安排在三年級上冊的好處是知識后移之后使得難度下降，并且在教學利用倍的知識解決實際問題的時候不再受乘除知識的限制，使得知識更具有邏輯性，最后在統(tǒng)一教學利用乘除的相關方法去解決含有“倍”的實際問題的時候，能夠讓學生對除法含義有更進一步的認識。

這一塊內(nèi)容，它是學生第一次接觸“整數(shù)倍”，是“量”到“率”的起始課程，是以后學習小數(shù)倍，百分數(shù)，分數(shù)，比等內(nèi)容的基礎，而小數(shù)倍，分數(shù)，百分數(shù)，比等這些概念它們的本質(zhì)都是“比率，。比率在概念教學中發(fā)揮著非常重要的作用，是學生在學習比例和一元函數(shù)的基石，關于比率，我做了如下整理，請見圖1。

因此，在實際教學中，先要讓學生對“倍比”和“差比”有一個清晰的認識，從對“份”到“幾個幾”再到對標準量以及比較量的認識，理解倍的本質(zhì)概念。在倍的概念建立之后，要學會應用倍的相關知識去解決“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”以及“求一個數(shù)的幾倍是多少”的數(shù)學問題，不斷培養(yǎng)學生解決問題的能力和應用意識。

（一）基于學生學情，制定教學策略

1.追尋知識起點

學習“倍的認識”這一節(jié)課之前，學生在二年級已經(jīng)掌握了乘法和除法的相關知識，理解并且掌握了什么叫做“幾個幾”以及“包含除”的概念，這些都是學習“倍的認識”的基礎知識。二年級“乘法的初步認識”中，學生認識了相同的加數(shù)以及相同加數(shù)的個數(shù)，也理解掌握了乘法表示的就是相同加數(shù)相加。乘法和除法兩者都表示兩個量的關系，與“倍的認識”存在一定的相同點，基于此，學生在理解倍的同時能夠和舊知建立起一定的聯(lián)系。

2.明確學生問題

在學習本節(jié)課之前，學生在一年級接觸了“比多少”，在二年級的學習中學習了“差比”，倍相對“比多少”來說要更加抽象，不容易理解，學生在學習的過程中也常常將“倍比”與“差比”搞混。盡管在生活中部分學生具備了對倍的認識，也都聽說過倍，但每個人的理解層次都是不一樣的，對于“標準量”，“比較量”和“倍數(shù)”三者的關系是模糊的，也就是缺乏對倍本質(zhì)概念的理解。

基于這節(jié)課的教學對象是三年級的學生，因此，通過對學生學習心理的分析以及生活經(jīng)驗的了解，“倍的認識”教學設計遵循學生主動建構，環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)化深入的途徑，設計出以學情為線索，以活動為抓手，以練習為載體的的教學過程，逐漸完善學生對倍概念的深入理解，掌握解決和倍數(shù)有關的實際問題，從而在頭腦中建立相應數(shù)學模型，不斷增強學生的數(shù)學邏輯思維，滲透相關數(shù)學思想。

三、深入挖掘，建立數(shù)學模型

（一）以學情為起點，形成概念本質(zhì)

1.例題整改，感知概念

心理研究表明，兒童對色彩具有一定的敏感性，但如果研究對象顏色過于鮮艷和豐富，則會影響孩子邏輯思維的延伸性，使得接收的信息短而碎?！侗兜恼J識》這一節(jié)課采用的主題圖就是色彩鮮艷的紅蘿卜和胡蘿卜，它在視覺上給了學生一定的沖擊，但是由于學生無法區(qū)分紅蘿卜和胡蘿卜，導致教學無意識向區(qū)分兩種蘿卜靠攏，所以我將主題圖改為正方形和圓形。

簡單的圖形對比圖，消除了判斷兩種蘿卜帶來的知識負擔，使得教學對象清晰直接，從而能更加順暢引入有關倍的相關知識。同時，利用正方形和圓形這樣的材料，可以很好地貫穿整個教學，使得教學流程環(huán)環(huán)相扣，具有一定的整體性。

2.錯中明晰，確定概念

概念的形成不是一蹴而就的，必須主動經(jīng)歷概念的形成過程，教師要善于將學生的錯誤轉化成具有教學意義的重要內(nèi)容。“倍”是從“加法結構”向“乘法結構”的一個過渡，認知結構發(fā)生了質(zhì)的變化，因此，容易將“倍比”和“差比”搞混。在利用正方形和圓形這一組圖形教學3倍關系的時候，學生由于受到“差比”關系的影響，部分學生認為“圓形是正方形的2倍”，如圖2。

這是一個非常具有教學價值的觀點，它是學生倍的概念與原有認知產(chǎn)生沖突的結果。抓住這個錯誤信息，繼續(xù)追問“圓形是正方形的2倍，你是怎么想的？？”引發(fā)生生之間的爭辯，由認為“圓形是正方形的3倍”的同學來闡述他們的想法，并思考“3在哪里？”，“為什么3個圈？”“明明2個，為什么說成是1？”，連續(xù)多個問題之后再提出“把兩個正方形看成1份，圓形有這樣的3份，我們就說圓形是正方形的3倍”，從而理解倍的概念本質(zhì)。

（二）以活動為抓手，打破機械模仿

1.對比溝通，形成技能

在小學數(shù)學的教學過程中，比較是一種比較常用的方法之一，通過比較，可以激發(fā)學生的學習興趣，辨別異同，深化對知識的理解，打破機械式地模仿，提升解決問題的技能?！氨兜恼J識”這一節(jié)課，通過兩次改變比較量的數(shù)量，在標準量不變的前提下去判斷圓形和正方形的倍數(shù)關系，接著比較量不變，改變標準量的數(shù)量，最后將這兩組進行對比分析，如圖3所示。

學生在標準量不變，比較量發(fā)生變化的情況下以及比較量不變，標準量發(fā)生變化的練習中，利用圈一圈，說一說，再結合兩組例子的對比，與原有知識產(chǎn)生共鳴，初步感知“都是把正方形看作一份，圓形有這樣的幾份就是幾倍”，形成解決倍數(shù)有關問題的相關技能，即要先找到標準量，再去找另一個量當中包含幾個這樣的標準量。

2.多種表征，強化技能

多元表征是指一個概念或者問題用多種不一樣的形式表征，與“單一表征”相比，同一個問題，用多種方式進行呈現(xiàn)，會強化對知識的理解，增強解決數(shù)學問題的能力。三年級學生以具體形象思維為主，需要提供足夠的直觀材料和充分的實踐操作經(jīng)驗作為基礎，運用多元表征的方式，加深學生對倍的理解，突出其本質(zhì)屬性。課堂中，讓學生用自己喜歡的方式表示出4倍關系，如圖4。

學生在畫一畫，擺一擺，拍手，列算式等過程中感受描述4倍的多種途徑，對描述倍數(shù)的“三段式”有了進一步的認識，也能夠用畫圖等方式去反過來證明這種倍數(shù)關系，進而在頭腦中強化尋找倍數(shù)的方法，也就是“一個量中包含幾個另一個量”是解決倍數(shù)問題的基本策略。

（三）以練習為載體，促進思維發(fā)展

1.適時拓展，彰顯聯(lián)系

我們學生普遍都缺少創(chuàng)新思維，喜歡按部就班，我們要教會學生變換自己的思維方式，可以由單一的練習到變式的練習，循序漸進，讓學生感受數(shù)學的延展性，體會知識之間的聯(lián)系，增強數(shù)學邏輯思維。課堂中，為了打破學生認為少的量就是標準的思想，拓寬對倍比關系的理解，可以安排標準量的數(shù)量大于比較量的數(shù)量，而且剛好是比較量的一半。

學生通過討論交流，打破認知里只存在整數(shù)倍的情況，同時這一道題的出現(xiàn)幫助學生再一次明白先確定標準量的重要性，明白無論題目怎么變，只要轉變思維角度，始終抓住“一個量里面包含幾個另一個量”就能輕松解決各種題型。

2.圖長思維，完善認知

數(shù)學圖形它不僅為抽象思維提供具體表象，并且也為促進形象和抽象思維提供最大的幫助。在實際教學過程中，我們都習慣于利用標準圖形進行認知，時間長了之后學生的思維就有了定勢，一旦碰到非標準結構模型的時候，就會感到困惑，束手無措。在教學過程中，應該要讓學生對一個圖形有不同角度的認識，用不同的方式去辨圖，合理利用圖形，是鞏固知識，提升解題能力一個非常重要的策略，同時也是培養(yǎng)學生思維靈活性的有效方法。在“倍的認識”這一節(jié)課當中，學生頭腦中缺少對其非標準結構模型的認識，因此，設計了如圖6和圖7這樣的題目。

學生就這樣打破傳統(tǒng)倍數(shù)相關問題的刺激和探討中，不斷深化對倍的理解，同時體會整體思想在數(shù)學學習中的作用，學會轉換角度，改變策略去解決相關問題，數(shù)學思維也得到了進一步的鍛煉。

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