輔助線在初中幾何解題中的應(yīng)用

李芳

【摘要】幾何是初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容，在于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力與幾何圖形分析能力，關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)提升.正因幾何知識(shí)抽象性，造成很多學(xué)生在解題中頻出問(wèn)題，需要引入合理解題方式.從某種層面分析，合理添加輔助線不僅能幫助學(xué)生梳理解題思路，更能降低幾何問(wèn)題難度，調(diào)動(dòng)學(xué)生掌握知識(shí)以及解題積極性和主動(dòng)性，可謂數(shù)學(xué)課程改革與創(chuàng)新關(guān)鍵所在.對(duì)此，本文則從多方面分析在幾何解題中應(yīng)用輔助線，望給予相關(guān)教師教學(xué)提供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);邏輯思維;幾何圖形

1 在解答三角形中構(gòu)建輔助線

縱觀初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)基本都涉及角與角和邊與邊間關(guān)系，例如圖形與幾何單元中收錄的‘全等三角形’知識(shí)點(diǎn)，全等三角形兩個(gè)對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等，通常學(xué)生在求證等角和等邊中會(huì)構(gòu)建兩個(gè)全等三角形解答題目.

例1 以圖1為所示，AD=BE，∠ADC=∠E，求證AC=BC.

解題分析 上述題目所給出的圖形較為簡(jiǎn)單且條件較少，常用解題方法：證明AC與BC線段所在的三角形為全等.

觀察圖1發(fā)現(xiàn)，AC與BC的三角形△ACD與△BCE并未全等，很多學(xué)生在解答到此就不知該如何繼續(xù).事實(shí)上，經(jīng)深入思考可得知，當(dāng)無(wú)法運(yùn)用求證全等三角形方式后可立即運(yùn)用輔助線，使AC與BC相等，換言之使兩個(gè)三角形的邊與角相等.

針對(duì)上述題目，已知AD=BE，∠ADC=∠E，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，隨即運(yùn)用輔助線構(gòu)造一對(duì)角或邊相等即可順利解題.

其中解法①：構(gòu)造一對(duì)角相等;若問(wèn)題條件給出圖形一對(duì)角或一對(duì)邊相等，那么就需尋找一對(duì)角相等后便可得出兩角一邊對(duì)應(yīng)相等，緊接著應(yīng)用角邊角定理可順利的得出AC與BC兩個(gè)三角形為全等三角形.

解法②：構(gòu)造一對(duì)邊相等;該方法并非隨意應(yīng)用，需參照其中一個(gè)三角形，由此一來(lái)才能保證所構(gòu)造的另一三角形為全等.

學(xué)生在畫輔助線時(shí)應(yīng)遵循以下原則，若構(gòu)造軸對(duì)稱或中心對(duì)稱型全等三角形需根據(jù)圖形特征合理添加輔助線，形成翻折型或旋轉(zhuǎn)型全等三角形.同時(shí)根據(jù)題目中已知條件繪制，若得知角平分線信息可在角平分線兩邊做輔助線，若題目已有線段垂直平分線時(shí)，則可運(yùn)用輔助線連接線段兩端后明確線段與角關(guān)系.

2 在解答平行四邊形中構(gòu)建輔助線

在解答平行四邊形題目中應(yīng)用輔助線目的在于將四邊形轉(zhuǎn)為三角形，從而由易至難解決幾何問(wèn)題.

例2 如圖2，在平行四邊形ABCD中，O與P為平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)且BO=DP，證明四邊形AOCP為平行四邊形.

解題分析 學(xué)生在解答上述題目中需證明對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形，也是判定平行四邊形原理之一.

對(duì)此，在繪制輔助線時(shí)先連接AC，再根據(jù)已知條件四邊形ABCD為平行四邊形，

故而HA=HC，HB=HD，

再已知BO=DP，可直接推斷出HP=HO，

所以AOCP為平行四邊形.

3 在解答梯形中構(gòu)建輔助線

梯形是一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形，求證此類圖形可運(yùn)用輔助線將其轉(zhuǎn)化為平行四邊形或三角形，常見拼接、分割以及作梯形的高等輔助線應(yīng)用方式.

方法1 連接對(duì)角線構(gòu)造三角形，上述為求證梯形問(wèn)題時(shí)常用輔助線方式.

例3 如圖3所示，已知四邊形ABCD中，AB=AC，BD=CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明DE=DF.

解題分析 如果想要對(duì)DE=DF進(jìn)行求證，通常需要先求證△DBE≌△DCF，然而題目并未給出與上述求證有關(guān)的全等條件.

可連接AD由邊邊邊得△ABD≌△ACD，

所以AD平分∠EAF.

再運(yùn)用“角平分線”原理可得出DE=DF.

所以，通過(guò)連接AD可對(duì)AD平分∠EAF進(jìn)行證明，

最后運(yùn)用角平分線的判定定理可得出DE=DF.就不需要證明△DBE≌△DCF.

方法2 割補(bǔ)法

例4 圖4為一塊四邊形土地，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=303m，CD=503m，求該土地面積.

解題分析 在計(jì)算圖4四邊形面積時(shí)需要該圖形轉(zhuǎn)化成與三角形有關(guān)問(wèn)題，結(jié)合題目中所給條件，∠ABD=120°，延長(zhǎng)BD與CA，交于點(diǎn)P，

得出S平行四邊形ACDB=S△CDP-S△ABP，簡(jiǎn)化證明S△CDP-S△ABP難度.

總之，幾何貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程始終，在學(xué)生學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可小覷的作用，甚至?xí)?duì)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)質(zhì)量產(chǎn)生重要影響.

通過(guò)幾何解析能強(qiáng)化抽象思維能力、邏輯思維能力以及空間想象能力，在解答幾何題中應(yīng)用輔助線能引領(lǐng)學(xué)生基于空間思維角度探究解題方式，形成清晰解題思路，將看似抽象復(fù)雜圖形分為多個(gè)熟悉圖形，大幅度降低解題難度，為迅速解答提供便利.

學(xué)生在輔助線指引下能迅速整理圖形中有效信息，提升解題效率，對(duì)后續(xù)更深層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).