淺談矩陣的初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用

張亞龍

(北京科技大學(xué)天津?qū)W院基礎(chǔ)部 301830)

目前，《線性代數(shù)》這門課程是理工科和經(jīng)管類必開設(shè)的一門課程，主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容中，為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)，下面歸納總結(jié)了關(guān)于矩陣初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.

1 矩陣中的應(yīng)用

1.1 求矩陣的逆

解作一個(gè)3×6的矩陣(A，E)，并對其做矩陣的初等行變換.

1.2 求矩陣的秩

矩陣秩的定義是非零子式的最高階數(shù)，我們知道初等變換不改變矩陣的秩，對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B，由行列式的性質(zhì)可知，矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數(shù)相同，所以矩陣A與矩陣B的秩相等.

解對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.

因?yàn)榫仃嘊中有三個(gè)非零行，即R(B)=3，所以R(A)=3.

2 在向量組中應(yīng)用

2.1 求向量組的秩

由于任何矩陣A，它的行秩=列秩=R(A)，因此我們只需將向量組中的向量均按列構(gòu)成一個(gè)矩陣A，向量組的秩就等于矩陣A的秩.

例3求向量組α1=(1，-2，2)，α2=(1，-4，0)，α3=(1，-2，2)的秩.

2.2 求向量組的極大無關(guān)組

由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關(guān)系，因此可由初等行變換求解向量組的極大無關(guān)組.

例4求向量組α1=(1,2,3,0)，α2=(-1,-2,0,3)，α3=(2,4,6,0)，α4=(1,-2,-1,0)的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

非零行首非零元1所在的列作極大線性無關(guān)組，因此向量組α1,α2,α3,α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組為α1,α2,α4.

3 在線性方程組中的應(yīng)用

通過一系列的初等行變換，將系數(shù)矩陣或增廣矩陣化為行最簡形矩陣，判斷方程組是否有解，有解的情況下，求出通解.

3.1 解齊次線性方程組

例5求解齊次線性方程組

3.2 解非齊次線性方程組

解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換，化為行最簡形矩陣.

4 在矩陣特征向量中的應(yīng)用

上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組，計(jì)算矩陣的特征向量就會(huì)涉及到解齊次線性方程組.

矩陣的初等行變換貫穿于整個(gè)線性代數(shù)章節(jié)中，熟練應(yīng)用初等行變換是學(xué)好線性代數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生要在平時(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，使每個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系.