周淑英 沈婉萍 毛鴻?

1)(杭州師范大學(xué)物理學(xué)院,杭州 311121)

2)(浙江大學(xué)物理系,杭州 310058)

最近一級相變動力學(xué)的研究在早期宇宙、致密星體和相對論重離子對撞實驗等方面得到了廣泛的關(guān)注,特別是與一級相變相關(guān)的引力波方面的研究,是當(dāng)前宇宙學(xué)研究的熱點(diǎn)問題.本文利用有限溫度場論,在有限溫度和密度下,研究了Friedberg-Lee 模型下的單圈有效勢能和量子色動力學(xué)退禁閉相變的動力學(xué)機(jī)制,結(jié)果表明在全相圖中存在一級相變,在μ=0 MeV 時,臨界溫度 Tc =119.8 MeV;在T=50 MeV 時,臨界化學(xué)勢 μc=256.4 MeV.在薄壁近似下,通過液滴核合成唯象模型研究了均質(zhì)氣泡成核的強(qiáng)子夸克一級相變的動力學(xué)過程,在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下,求解場的運(yùn)動方程,計算不同溫度和密度下氣泡臨界位形隨半徑的演化,獲得了表面張力、臨界半徑和核合成自由能等物理量隨溫度與夸克化學(xué)勢密度的變化關(guān)系.為了證明薄壁近似的可靠性和優(yōu)勢,本文將薄壁近似的分析結(jié)果與相應(yīng)的精確解進(jìn)行了對比,討論了薄壁近似的適用條件,以及薄壁近似的優(yōu)缺點(diǎn)等問題.雖然本文的計算結(jié)果是模型相關(guān)的,但是一般性的研發(fā)方法和結(jié)論具有普適性,所獲得的結(jié)果對其他領(lǐng)域一級相變動力學(xué)研究有較大的參考價值和現(xiàn)實意義.

1 引言

當(dāng)溫度和重子數(shù)密度達(dá)到一定程度時,夸克和膠子將不再屬于某一個強(qiáng)子,而是形成一種新的物質(zhì)狀態(tài),即夸克膠子等離子體(quark-gluon plasma,QGP),目前正在運(yùn)行的相對論重離子對撞實驗可以從實驗上揭示QGP 和強(qiáng)相互作用的物理特性.理論上,雖然量子色動力學(xué)(quantum chromodynamics,QCD)是描述強(qiáng)相互作用的基本理論,可以用來描述強(qiáng)子夸克相變的動力學(xué),但由于色禁閉的存在,使得中低能非微擾區(qū)域QCD 的理論和數(shù)值計算都受到了極大地限制[1],因此,通常需要借助有效模型或理論來理解量子色動力學(xué)的非微擾性質(zhì),比如夸克介子模型(quark meson,QM)[2],Nambu-Jona-Lasinio(NJL)模型[3,4]、以及它們的Polyakov loop 拓展模型[5,6]等.

對于一級相變,亞穩(wěn)態(tài)真空可通過氣泡核合成的機(jī)制隧穿至穩(wěn)定真空,而氣泡的成核率等相變動力學(xué)的問題可利用標(biāo)準(zhǔn)的量子場論方法計算出來[7-11].另一方面,對于相變動力學(xué)機(jī)制的研究,有效勢能是一個十分重要和有效的理論工具.基于朗道的相變理論,在相變臨界區(qū)域,有效勢能可以按照系統(tǒng)序參量的階數(shù)進(jìn)行展開,得到關(guān)于相變動力學(xué)機(jī)制的普適性特征,而不必太關(guān)注相變背后具體的物理背景和動力學(xué)過程.一般性而言,對于二級相變,通常保留序參量的二階項和四階項,不過對于一級相變,還需要加入非常關(guān)鍵的三階項,當(dāng)然,如果要研究存在三相點(diǎn)的相變體系,比如存在過渡相變和一級相變的交叉點(diǎn)的問題,需要把有效勢能按照序參量展開成二階項、四階項和六階項的形式[12].所以,對于研究強(qiáng)相互作用一級相變的動力學(xué)問題,只要把系統(tǒng)的有效勢能按照序參量展開到二階、三階和最高階四階即可.從這個意義上講,Friedberg-Lee 模型及其衍生的模型對于研究一級相變動力學(xué)有著天生的優(yōu)勢和得天獨(dú)厚的條件[13-15].當(dāng)然,這里需要指出的是,利用該模型計算得到的結(jié)果從定量上看肯定是模型依賴的,但是關(guān)于一級相變動力學(xué)的定性結(jié)論卻是普適的和一般的,可被廣泛應(yīng)用于宇宙學(xué)、凝聚態(tài)物理和致密星體等領(lǐng)域.

特別是在近期,一級相變動力學(xué)的研究越來越受到重視,在致密星體的研究中,可以通過引力波來研究混合中子星的一級相變下的物態(tài)方程,而在宇宙學(xué)中,一級相變被認(rèn)為是引力波(GWs)的潛在來源之一,并且在不久的將來可能被直接探測到[16-18].另外,在早期宇宙的研究中,一級相變在弱電重子數(shù)核合成和暗物質(zhì)的研究中也占據(jù)著非常重要的地位.對于強(qiáng)子夸克相變,由于對弱一級強(qiáng)子夸克相變的性質(zhì)已經(jīng)進(jìn)行了大量深入的研究[19],利用薄壁近似,本文將采用解析的近似方法深入研究Friedberg-Lee 模型在有限溫度、有限密度下強(qiáng)一級強(qiáng)子夸克相變動力學(xué)機(jī)制,并與前期的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,得到普適和一般性的結(jié)論[20].

本文首先簡要介紹了Friedberg-Lee 模型,然后基于有限溫度場論,給出了Friedberg-Lee 模型的有效勢能,并計算得出了相圖結(jié)構(gòu).通過介紹薄壁近似后計算得出穩(wěn)定真空相氣泡的臨界位形、表面張力、臨界半徑和核合成自由能隨溫度與化學(xué)勢密度的變化關(guān)系,并將結(jié)果與精確解進(jìn)行對比討論.

2 Friedberg-Lee 模型

1977 年Friedberg 和李政道提出Friedberg-Lee(FL)模型,在過去的數(shù)十年里,被廣泛應(yīng)用于研究真空中單個核子的靜態(tài)物理性質(zhì),并取得了很大的成功[13-15,21].此外,在有限溫度場論框架下,該模型還被用于研究QCD 強(qiáng)一級退禁閉相變的熱力學(xué)和動力學(xué)性質(zhì)[20,22-26].FL 模型的基本物理框架是把核子看成非拓?fù)涔伦?通過引用唯象標(biāo)量場σ來描述量子色動力學(xué)真空的非微擾特性,同時,該標(biāo)量場代表核子內(nèi)各個成分之間的相互作用,包括夸克之間、膠子之間以及夸克和膠子之間,直觀展示了夸克禁閉和退禁閉相變的物理特性.當(dāng)系統(tǒng)處于真空態(tài)時,標(biāo)量場σ的數(shù)值很大,使得組分夸克質(zhì)量超過1 GeV,這時夸克就被囚禁在核子中.但隨著系統(tǒng)溫度或密度的升高,標(biāo)量場σ的數(shù)值減小,并在臨界溫度處標(biāo)量場有效值變?yōu)榱?夸克變成了自由夸克,即實現(xiàn)了退禁閉相變的動力學(xué)過程.

FL 模型的拉格朗日密度表示如下:

方程(1)中,ψ表示自旋 1/2的u,d夸克場;σ就是唯象標(biāo)量場,用以表征真空的非微擾特性;g為耦合常數(shù);m為夸克的流質(zhì)量,在FL 模型中取u,d夸克的流夸克質(zhì)量為零;γμ為狄拉克矩陣.U(σ)為σ場的非線性自相互作用勢能,取到四次項:

對U(σ)求極值,可求得

其中σ0為局域最小值,對應(yīng)為亞穩(wěn)態(tài)真空(或稱為偽真空),此處的夸克的有效質(zhì)量為零;而σv為絕對最小值,對應(yīng)為穩(wěn)定真空(或稱為真真空),此時夸克與σ耦合而得到非常大的有效質(zhì)量gσv,從而實現(xiàn)夸克的禁閉.為使σv0,參數(shù)a,b,c需滿足b2＞3ac.將兩個真空的有效勢能之差記為ε,取U(0)=0,則真空態(tài)下口袋常數(shù)ε表示為

FL 模型中有4 個可調(diào)參數(shù),分別為a,b,c,g.為了擬合這4 個參數(shù),基于非拓?fù)涔伦永碚揫27],先求得系統(tǒng)的Euler-Lagrange 方程:

在平均場近似條件下,將σ看作與時間無關(guān)的經(jīng)典場:

考慮球?qū)ΨQ情形,用一組完備的狄拉克函數(shù)將夸克場算符展開:

其中夸克的基態(tài)波函數(shù)形式為

加上波函數(shù)歸一化條件為

對于核子,(13)式中的N取3.通過求解聯(lián)立的方程組(11)-(13),可以求得核子的質(zhì)量、半徑、軸向向量常數(shù)和磁矩等物理量,并與實驗數(shù)值進(jìn)行比較,從而確定模型的參數(shù).選擇不同參數(shù)得到定量的物理結(jié)果會有所差異,但基本的物理圖像和結(jié)論不依賴于具體的參數(shù).本文選取了一組在文獻(xiàn)中被廣泛采用的參數(shù):a=17.70 fm-2,b=-1457.4 fm-1,c=20000,g=12.16,該組參數(shù)可以很好地擬合單個核子真空的物理性質(zhì)[25].

3 Frieberg-Lee 模型的有效勢能及相圖

有效勢能是量子場論中的一個重要的理論工具,非常適合用來研究對稱性自發(fā)破缺和熱力學(xué)相變等物理問題.在有限溫度場論中[28,29],通過系統(tǒng)的巨配分函數(shù),熱力學(xué)量都可以通過系統(tǒng)的巨正則勢能得到:

利用標(biāo)準(zhǔn)的有限溫度場論方法,FL 模型在有限溫度、有限密度下的單圈有效勢能形式如下:

其中β=1/T,μ是夸克數(shù)化學(xué)勢.VB(σ;β)是有限溫度下玻色子的單圈貢獻(xiàn),VF(σ;β,μ)是有限溫度和密度下費(fèi)米子的單圈貢獻(xiàn).玻色項和費(fèi)米項的具體形式是:

獲得系統(tǒng)的有效勢能之后,類比于MIT 口袋模型,FL 模型的口袋常數(shù)定義為亞穩(wěn)態(tài)真空與穩(wěn)定真空的有效勢能之差為

當(dāng)體系的溫度和密度比較小的時候,亞穩(wěn)態(tài)真空的能量大于穩(wěn)定真空的能量,系統(tǒng)的口袋常數(shù)大于零,自由夸克被束縛在核子內(nèi)部,而隨著溫度和密度的升高,這個口袋常數(shù)逐漸減小,并在T=Tc的時候,ε(T,μ)=0 .此時,意味著自由夸克將不再被囚禁在核子內(nèi)部,從而變成了自由的夸克,進(jìn)而實現(xiàn)了夸克的退禁閉相變.

圖1 給出了T-μ下FL 模型的退禁閉相變相圖結(jié)構(gòu).圖中的曲線為強(qiáng)子相和夸克相的臨界線,在曲線上,亞穩(wěn)態(tài)真空和穩(wěn)定真空的有效勢能相等,如果溫度繼續(xù)上升,兩個真空之間將實現(xiàn)了反轉(zhuǎn).此外,對于FL 模型,在整個相圖的相變臨界點(diǎn),由于兩個真空之間還被一個勢壘隔開,FL 模型只能給出強(qiáng)一級強(qiáng)子夸克相變.從圖1 可得到,任何溫度T下的臨界化學(xué)勢μc或任何化學(xué)勢μ下的臨界溫度Tc,可知在μ=0 MeV 時,臨界溫度Tc=119.8 MeV;在T=50 MeV 時,臨界化學(xué)勢μc=256.4 MeV.

圖1 FL 模型下的QCD 相圖結(jié)構(gòu)Fig.1.QCD phase diagram structure under FL model.

4 薄壁近似下的核合成

對于典型的一級相變,當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到相變臨界溫度或臨界化學(xué)勢時,模型的熱力學(xué)有效勢能具有兩個相等的極小值,在這兩個極小值之間有一個勢壘將它們隔開.隨著溫度或化學(xué)勢的降低,兩個極小值將不再保持相等,其中,σ0 處的極小值稱為局域極小值,該數(shù)值較大,所以對應(yīng)的真空定義為亞穩(wěn)態(tài)真空,而σσv處的極小值為絕對最小值,對應(yīng)的真空定義為穩(wěn)定真空.亞穩(wěn)態(tài)真空在經(jīng)典物理中是穩(wěn)定的,但在量子物理中,亞穩(wěn)態(tài)真空有一定的概率通過量子隧穿效應(yīng)變成穩(wěn)定真空[30,31].

當(dāng)T＜Tc或μ＜μc時,由熱漲落產(chǎn)生穩(wěn)定真空的氣泡在亞穩(wěn)態(tài)真空中可能增長也可能收縮,這取決于系統(tǒng)兩種能量之間的競爭.亞穩(wěn)態(tài)真空中的體自由能密度高于穩(wěn)定真空中的體自由能密度,因此,從亞穩(wěn)態(tài)真空到穩(wěn)定真空的轉(zhuǎn)變,即氣泡膨脹過程中,會降低整個系統(tǒng)的能量.但是,穩(wěn)定真空的氣泡需要一個界面將穩(wěn)定真空與亞穩(wěn)態(tài)真空隔開,界面的表面張力使得整個系統(tǒng)的能量增大.因此,從亞穩(wěn)態(tài)真空到穩(wěn)定真空的相變機(jī)制取決于體系自由能密度與表面張力之間的競爭.穩(wěn)定真空的氣泡的體自由能與R3成正比,兩真空相之間的表面張力與R2成正比,其中R為氣泡半徑.當(dāng)R比較小的時候,兩個真空相直接的轉(zhuǎn)換使得整個體系的能量增大,氣泡將會收縮直至最終消失,反之,當(dāng)R較大時,氣泡將不斷膨脹,直至占據(jù)整個系統(tǒng),從而完成相變整個過程.所以是否能完成相變?nèi)Q于氣泡半徑是否大于臨界半徑Rc,只有半徑大于臨界半徑Rc的氣泡在一級相變中起決定性作用.

根據(jù)液滴核合成模型的標(biāo)準(zhǔn)場論方法[7,8,10,32],對于FL 模型,系統(tǒng)自由能如下:

氣泡臨界位形是自由能函數(shù)對于標(biāo)量場σ的一個極值解.將系統(tǒng)自由能F(σ)對σ進(jìn)行變分,得到一個非線性常微分方程:

為了便于后續(xù)討論,通常將Veff(0;T,μ)固定為0.故系統(tǒng)單位時間、單位體積的臨界氣泡成核率可以表示為

其中T為系統(tǒng)的溫度,P通常近似表示為T4.亞穩(wěn)態(tài)真空與穩(wěn)定真空之間界面的表面張力定義為

對于一般的有效勢Veff,(22)式通常難以解析求解,一般要通過計算機(jī)求得該方程的數(shù)值解.但是對于數(shù)值求解,由于這是一個典型的兩點(diǎn)邊值二階微分方程,數(shù)值求解難度通常也很大,主要取決于猜測值是否合適,如果猜測值與實際值很接近,那么很容易得到正確的結(jié)果,但是如果猜測值與實際值相差較大,那么數(shù)值計算收斂性就很差,一般很難得到正確的結(jié)果.所以運(yùn)氣和經(jīng)驗對于數(shù)值求解孤子運(yùn)動方程顯得尤為重要.當(dāng)然,還有第二種方案可以選擇,就是求該運(yùn)動方程的近似解.對于處于臨界狀態(tài)的系統(tǒng),在TTc或μμc時,亞穩(wěn)態(tài)真空和穩(wěn)定真空的勢能之差ε遠(yuǎn)小于隔開兩個真空的勢壘,此時穩(wěn)定真空氣泡的半徑遠(yuǎn)大于氣泡壁厚.在這種情況下,可以將(22)式中的第2 項舍去,則(22)式變?yōu)槿缦滦问?

對其進(jìn)行化簡,可得

兩邊進(jìn)行積分,可得

可以發(fā)現(xiàn),只要將(22)式中的第2 項舍去,即使沒有求解運(yùn)動方程(22)式,也可以解析地得到體系運(yùn)動方程的解,從而進(jìn)一步得到系統(tǒng)的表面張力、鞍點(diǎn)解σb的場位形和臨界氣泡成核率等物理量.這種近似稱為薄壁近似(thin-wall approximation),被廣泛地運(yùn)用于各種體系的一級相變動力學(xué)機(jī)制的研究中.

在薄壁近似的情況下,考慮到體自由能和表面張力的競爭,可以將半徑為R的氣泡的系統(tǒng)自由能表示為

其中Σ是亞穩(wěn)態(tài)真空與穩(wěn)定真空之間界面的表面張力,ε表示亞穩(wěn)態(tài)真空與穩(wěn)定真空的有效勢能之差.當(dāng)F(R)為最小值時,氣泡有臨界半徑,對(29)式進(jìn)行求導(dǎo),可得臨界半徑Rc:

只有當(dāng)穩(wěn)定真空氣泡半徑大于臨界半徑Rc,才對系統(tǒng)一級相變起作用.

當(dāng)ε=0 時,將(27)式代入(25)式,可求得薄壁近似下的表面張力表達(dá)式:

從(24)式可以看出指數(shù)因子對氣泡成核率有著重要影響,將(30)式代入(29)式,可得

運(yùn)用(32)式可近似求解相變動力學(xué)的相關(guān)物理量,甚至不需要求解運(yùn)動方程(22).所以薄壁近似是一個非常高效、快捷的研究方法.

5 近似解及其與精確解的討論

運(yùn)用方程(28)可以得到不同溫度和化學(xué)勢密度下σ場隨半徑r的演化關(guān)系.圖2 分別繪制出了μ=0 MeV,T=0,70,100,105,109 MeV 及T=50 MeV ,μ=0,150,200,230,240 MeV 時的標(biāo)量場σ場位形圖.

從圖2(a)可以看出,隨著半徑的增大,所有曲線都趨向于零,且穩(wěn)定真空氣泡的半徑隨著溫度T的增大而增大,這一趨勢與文獻(xiàn)[20]中精確數(shù)值解的結(jié)論一致,只是近似解析解求得的氣泡半徑比精確數(shù)值解略小.此外,從圖2(a)還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)溫度T＜109 MeV 時,氣泡內(nèi)部σ(0)的數(shù)值開始慢慢從σv偏離,并且隨著溫度的降低,σ(0)偏離σv越來越大,當(dāng)溫度等于零的時候,σ(0)略微大于σv/2 .根據(jù)薄壁近似的結(jié)果,由(28)式不難得到,當(dāng)溫度在臨界溫度或者非常接近臨界溫度的時候,對于0＜r＜R有σ(r)=σv,而對于r＞R,則σ(r)=0,這里R是穩(wěn)定真空氣泡的半徑.所以從圖2(a)可知,當(dāng)溫度小于 109 MeV 時,由于σ(0)開始偏離其預(yù)期值σv,說明此時表面薄壁近似的適用性有待重新評估.

對圖2(b)可做類似的分析,可以發(fā)現(xiàn)隨著化學(xué)勢μ的增大,所有曲線都趨向于零,且穩(wěn)定真空氣泡的半徑隨著化學(xué)勢μ的增大而增大,但利用薄壁近似計算得到的半徑值略小于精確解.從圖2(b)可以看出,當(dāng)化學(xué)勢μ＜230 MeV 時,σ(0)開始偏離其預(yù)期值σv,并且隨著化學(xué)勢的降低,σ(0)偏離σv的程度越來越大,故此時表面薄壁近似的適用性需要重新考慮.

圖2 (a)μ=0 MeV ,T=0,70,100,105,109 MeV 時氣泡臨界位形;(b)T=50 MeV ,μ=0,150,200,230,240 MeV時氣泡臨界位形Fig.2.(a)Bubble critical configuration at μ=0 MeV,T=0,70,100,105,109 MeV;(b)bubble critical configuration at T=50 MeV ,μ=0,150,200,230,240 MeV .

同樣,利用前面得到的有效勢能,根據(jù)(31)式可以計算薄壁近似下的氣泡表面張力.圖3 給出了在臨界溫度Tc下,夸克強(qiáng)子一級相變的表面張力隨化學(xué)勢密度μ的變化關(guān)系.從圖3 可以看出,當(dāng)T=Tc時,強(qiáng)子相的表面張力隨著化學(xué)勢密度的增大而增大,溫度接近零度時,表面張力大約為14·73 MeV/fm2.

圖3 T=Tc 時表面張力隨化學(xué)勢 μ 的變化關(guān)系Fig.3.Surface tension as a function of chemical potential μwhen T=Tc.

運(yùn)用同樣的方法,也可以計算出非臨界狀態(tài)下的表面張力,圖4 分別給出了μ=0 MeV 及T=50 MeV 時表面張力的變化.圖4(a)給出了μ=0 MeV 時表面張力與溫度的演化關(guān)系,隨著溫度T升高,表面張力先緩慢增長,當(dāng)T＞60 MeV 時,表面張力快速增長,這與文獻(xiàn)[20]中的精確解得到的結(jié)果一致.不同的是,精確解給出的表面張力在T趨于 109 MeV 時快速增大,并在T=109 MeV 時達(dá)到最大值Σ(T)?7.38 MeV/fm2,在109 MeV＜T＜119.8 MeV 范圍內(nèi),表面張力隨著溫度的升高而減小.而薄壁近似給出的結(jié)果顯示,溫度接近于臨界溫度Tc=119.8 MeV 時,表面張力迅速增加,并在Tc=119.8 MeV 時達(dá)到最大值Σ(T)?9.17 MeV/fm2,大于精確解給出的臨界溫度時的表面張力.

圖4(b)給出了T=50 MeV 時表面張力與化學(xué)勢μ的演化關(guān)系,顯示出了相似的曲線,薄壁近似下表面張力隨著化學(xué)勢μ的增加而持續(xù)增加,并在臨界化學(xué)勢μc=256.4 MeV 時達(dá)到最大值Σ(T)?12.64 MeV/fm2;而對于精確解,表面張力的最大值出現(xiàn)在μ=230 MeV 處,其數(shù)值為Σ(T)?7.73 MeV/fm2,小于薄壁近似給出的近似解.可知,薄壁近似下,臨界化學(xué)勢下的表面張力大于精確解.

圖4 (a)μ=0 MeV 時表面張力與溫度 T 的關(guān)系;(b)T=50 MeV 時表面張力與化學(xué)勢 μ 的關(guān)系Fig.4.(a)Surface tension as a function of temperatureT when μ=0 MeV ;(b)surface tension as a function of chemical potential μ when T=50 MeV .

表面張力精確解與近似解的差別主要來源于運(yùn)動方程的“阻力”項.對于薄壁近似,通常忽略了這一阻力項,而對于精確解,表面張力的大小不僅與有效勢Veff有關(guān),還與有關(guān),并且項對表面張力的影響大于有效勢Veff.從文獻(xiàn)[20]給出的臨界氣泡位形圖可以看出,當(dāng)化學(xué)勢μ=0 MeV 時,在 0 MeV＜T＜109 MeV 范圍內(nèi),隨著溫度的升高而增大,因此表面張力在此溫度(0 MeV＜T＜109 MeV)范圍內(nèi)一直單調(diào)遞增,但在109 MeV＜T＜119.8 MeV 范圍內(nèi),逐漸變小,因此表面張力從T=109 MeV 開始變小.故精確解結(jié)果是表面張力在T=109 MeV 時達(dá)到最大值,隨后減小.但是,薄壁近似下表面張力隨著溫度的降低單調(diào)遞減.

對T=50 MeV 的情況可做類似分析: 在溫度T=50 MeV 時,有效勢Veff隨著化學(xué)勢μ的升高而增大,故在薄壁近似下,表面張力呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的趨勢;而對于精確求解情況,在溫度T=50 MeV時,當(dāng) 0 MeV＜μ＜230 MeV 時,隨著溫度的升高而增大,因此在 0 MeV＜μ＜230 MeV 范圍內(nèi),表面張力一直單調(diào)遞增,但在230 MeV＜μ＜256.4 MeV 范圍內(nèi),逐漸變小,因此表面張力從μ=256.4 MeV 開始變小.故精確解結(jié)果是表面張力在μ=256.4 MeV 時達(dá)到最大值,隨后減小.

計算得到表面張力后,可利用(30)式分別計算出μ=0 MeV及T=50 MeV 情況下氣泡臨界半徑的演變關(guān)系,如圖5 所示.根據(jù)液滴核合成唯象模型,半徑小于臨界半徑的氣泡會在亞穩(wěn)態(tài)真空中收縮并且消失,只有半徑大于臨界半徑的氣泡會增長并推動相變,因此半徑大于臨界半徑的氣泡在相變中起著決定性作用.

從圖5 可以看出,氣泡的臨界半徑隨著溫度或化學(xué)勢的升高,先緩慢增大,當(dāng)趨近于臨界溫度或臨界化學(xué)勢時,氣泡的臨界半徑迅速增加至無窮大.這個現(xiàn)象可以根據(jù)(30)式作出解釋,當(dāng)T→Tc或μ→μc時,亞穩(wěn)態(tài)真空和穩(wěn)定真空的有效勢之差ε→0,這導(dǎo)致了氣泡臨界半徑分散,該結(jié)果與精確解一致.

從亞穩(wěn)態(tài)真空向穩(wěn)定真空相變的過程會使系統(tǒng)自由能降低,薄壁近似下自由能的轉(zhuǎn)變可由(32)式算出.從(24)式可以看出指數(shù)因子Fb/T對氣泡成核率有著重要影響,圖6 分別繪制了μ=0 MeV及T=50 MeV下Fb/T的演變關(guān)系.

從圖6(a)可以看出,當(dāng)μ=0 MeV 時,Fb/T隨著溫度升高先減小后增大,在接近臨界溫度時迅速增大至發(fā)散.當(dāng)T?114.5 MeV 時,Fb/T≈1,則成核率Γ將受到指數(shù)因子Fb/T的強(qiáng)烈抑制,系統(tǒng)將會在亞穩(wěn)態(tài)真空中保持較長的時間.當(dāng)系統(tǒng)溫度T＜114.5 MeV .從圖5(a)也可以看出,當(dāng)溫度T＜114.5 MeV 時,臨界半徑Rc很小,任何半徑大于臨界半徑的氣泡都將膨脹完成亞穩(wěn)態(tài)真空到穩(wěn)定真空的相變,而當(dāng)114.4 MeV＜T＜119.8 MeV時,臨界半徑Rc迅速增大并發(fā)散,任何半徑小于臨界半徑的氣泡都將收縮并消失,故此時成核率受到抑制.

圖5 (a)μ=0 MeV 時臨界半徑與溫度 T 的關(guān)系;(b)T=50 MeV 時臨界半徑與化學(xué)勢 μ 的關(guān)系Fig.5.(a)Typical radius of the critical bubble as a function of temperature T when μ=0 MeV ;(b)typical radius of the critical bubble as a function of chemical potential μ when T=50 MeV .

圖6 (a)μ=0 MeV時Fb/T 與溫度 T 的關(guān)系;(b)T=50 MeV時Fb/T 與化學(xué)勢 μ 的關(guān)系Fig.6.(a)Fb/T as a function of temperature T when μ=0 MeV;(b)Fb/T as a function of chemical potential μ when T=50 MeV.

針對圖6(b)中T=50 MeV 的情況可做類似分析,從圖6(b)可以看出,當(dāng)T=50 MeV 時,Fb/T隨著化學(xué)勢升高單調(diào)遞增,在接近臨界化學(xué)勢時迅速增大至發(fā)散.當(dāng)μ?229.4 MeV 時,Fb/T≈1,成核率Γ受到指數(shù)因子Fb/T的強(qiáng)烈抑制,系統(tǒng)將會在亞穩(wěn)態(tài)真空中保持較長的時間.從圖5(b)也可看出,當(dāng)化學(xué)勢μ＜229.4 MeV 時,臨界半徑很小,任何半徑大于臨界半徑Rc的氣泡都將膨脹完成亞穩(wěn)態(tài)真空到穩(wěn)定真空的相變,而當(dāng)229.4 MeV＜μ＜256.4 MeV 時,臨界半徑Rc迅速增大并發(fā)散,任何半徑小于臨界半徑的氣泡都將收縮并消失,故此時成核率受到抑制.上述結(jié)果與精確解保持一致.

6 總結(jié)

基于Frieberg-Lee 模型,本文采用薄壁近似,通過液滴核合成唯象模型研究了均質(zhì)氣泡成核的強(qiáng)子夸克一級相變的動力學(xué)過程,并將薄壁近似得到的結(jié)果與精確解進(jìn)行了比較和討論,同時給出了Friedberg-Lee 模型的相圖.

在化學(xué)勢μ=0 MeV 時,氣泡表張力呈現(xiàn)遞增趨勢,表面張力最大值為Σ(T)?9.17 MeV/fm2,近似結(jié)果略大于精確解結(jié)果,同時解釋了兩者存在差別的原因.此外發(fā)現(xiàn)μ=0 MeV 時氣泡臨界半徑Rc與溫度T的演化關(guān)系是先緩慢增大,臨近臨界溫度時迅速增大至發(fā)散,而μ=0 MeV時Fb/T與溫度T的演化關(guān)系是先減小后增大,在接近臨界溫度時迅速增大至發(fā)散.進(jìn)一步,對于T=50 MeV的情況進(jìn)行了分析,在此情況下,氣泡表面張力也呈現(xiàn)遞增趨勢,最大值為Σ(T)?12.64 MeV/fm2.本文還給出了T=50 MeV 時氣泡臨界半徑Rc與化學(xué)勢μ的演化關(guān)系是先緩慢增大,而T=50 MeV時Fb/T與化學(xué)勢μ的演化關(guān)系是持續(xù)增大,兩者在接近臨界化學(xué)勢時均迅速增大至發(fā)散.

表面張力在QCD 相變、宇宙學(xué)和致密星體的研究中有重要作用,被廣泛關(guān)注和討論.在合適的邊界條件下,數(shù)值求解方程(22)是一個典型的兩點(diǎn)邊值問題,求解此類問題最關(guān)鍵的是找到方程解的猜測值,猜測值與真實值越接近,方程越容易求解,反之則很困難.此外,由于存在數(shù)值計算的不確定性,對于某些溫度,找到正確的精確解仍是一個挑戰(zhàn),故難以求得整個相圖的表面張力.考慮到精確數(shù)值求解運(yùn)動方程的困難,通?？梢圆捎帽”诮苼斫馕銮蠼庠撨\(yùn)動方程,從而得到表面張力、臨界半徑和系統(tǒng)自由能的近似值,通過與精確解析結(jié)果的比對,發(fā)現(xiàn)即使溫度低于或者遠(yuǎn)小于臨界溫度,解析解與數(shù)值解的差別也不大,說明對于一級相變的大部分問題,都可以采用薄壁近似來處理,進(jìn)而可以避開難以求解的兩點(diǎn)邊值問題.此外,對于缺乏精確解,只有近似解的模型,如QM 模型和PQM 模型(Polyakov-quark-meson model),知道近似解和精確解之間的差別是十分重要的,本文利用FL 模型討論發(fā)現(xiàn),雖然近似解會抹掉一些重要的信息,比如表面張力隨溫度變化的非線性行為,但在定性的結(jié)論上兩者差別并不是很大,這從側(cè)面反映出其他模型的近似解和精確解在定性結(jié)論上的差異.

此外,通過比對解析解和數(shù)值解的場位形,對于那些一定需要精確求解的物理體系,解析解也可以作為精確求解方程的猜測值,從而更容易得到收斂的數(shù)值解.比如對于QM 模型、NJL 模型以及其拓展模型,通常數(shù)值求解運(yùn)動方程非常困難,薄壁近似有助于更快得到精確的數(shù)值解,目前所有的這些研究工作正在進(jìn)行中.