三階非線性效應(yīng)對(duì)邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中二次孤子的影響*

陳娟 胡巍 陸大全

1)(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院,南昌 330022)

2)(華南師范大學(xué),廣東省微納光子功能材料與器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510631)

面向邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)建立了二階和三階非線性共同作用時(shí)的二次孤子理論模型.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)有三階非線性效應(yīng)和無(wú)三階非線性效應(yīng)情況下的孤子解進(jìn)行對(duì)比,研究了三階非線性效應(yīng)對(duì)該系統(tǒng)中二次孤子的影響.結(jié)果表明,在孤子波形方面,三階非線性影響較小,僅輕微改變其橫向分布.但是在孤子的存在區(qū)間方面,三階非線性導(dǎo)致孤子只存在于強(qiáng)非局域和一般非局域情況,在弱非局域情況下找不到相應(yīng)的孤子.此外,三階非線性的存在還減少了孤子拓展半周期的個(gè)數(shù).而在孤子穩(wěn)定性方面,三階非線性則縮減了孤子的穩(wěn)定區(qū)間.

1 引言

光孤子是指光波在非線性介質(zhì)中發(fā)生自陷的穩(wěn)定傳輸現(xiàn)象,包括時(shí)間光孤子、空間光孤子以及時(shí)空光孤子[1,2].近年來(lái),非局域非線性介質(zhì)中的光孤子(非局域孤子)引起了研究人員的廣泛關(guān)注[3-8].非局域非線性介質(zhì)的非線性折射率與該點(diǎn)及其附近的光場(chǎng)均有關(guān).根據(jù)介質(zhì)非局域響應(yīng)函數(shù)特征寬度與光束束寬的相對(duì)大小,通常將非局域程度細(xì)分為強(qiáng)非局域、一般非局域、弱非局域以及局域4 種類型[1,9,10].非局域孤子涉及的傳輸介質(zhì)主要包括向列相液晶[4,11-13]、鉛玻璃[14,15]及二次非線性介質(zhì)[16-19].值得一提的是,二次非線性介質(zhì)中的孤子(二次孤子)盡管在1974 年就已經(jīng)被理論預(yù)言[20],并且在此后數(shù)十年里得到了諸多的研究[17,21-23],但是起初研究人員并沒(méi)有將其與非局域非線性聯(lián)系起來(lái).直到 2003 年,Nikolov 等[16]發(fā)現(xiàn)二次孤子可以等價(jià)于非局域孤子,二次諧波(SH)可以看作是由基頻波(FW)誘導(dǎo)的等價(jià)非局域非線性折射率,它會(huì)形成一個(gè)非線性波導(dǎo)并在二次參量過(guò)程中限制基頻波的傳輸.在此基礎(chǔ)上,研究人員發(fā)現(xiàn)二次非線性介質(zhì)中存在指數(shù)衰減型和正弦振蕩型兩種非局域響應(yīng)函數(shù)[16].在指數(shù)衰減型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中的二次孤子易于穩(wěn)定[17,21,24,25],而正弦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中的二次孤子則很難穩(wěn)定[22,26].

近年來(lái),本課題組對(duì)振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中的二次孤子進(jìn)行了一系列的研究.2014 年,我們通過(guò)引入邊界約束得到了自聚焦的振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中可穩(wěn)定傳輸?shù)墓伦咏鈁27,28].2017 年,我們進(jìn)一步在邊界約束的自散焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中找到了亮的二次孤子[29].2018 年,我們還在無(wú)邊界的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)下發(fā)現(xiàn)了暗-亮孤子對(duì)[30].與之前二次孤子的大多數(shù)研究工作一樣,在上述工作中只考慮了二階非線性效應(yīng)這一主要非線性.但是實(shí)際上,當(dāng)光在二次非線性介質(zhì)中傳輸時(shí),還會(huì)存在三階非線性效應(yīng).盡管三階非線性效應(yīng)比二階非線性效應(yīng)要弱很多,但是對(duì)于孤子不易穩(wěn)定的振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)而言,其對(duì)孤子的存在區(qū)間和穩(wěn)定性等方面仍有可能構(gòu)成較明顯的影響.

針對(duì)這一問(wèn)題,本文面向邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)建立二階和三階非線性共同作用時(shí)的二次孤子理論模型.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)有三階非線性效應(yīng)和無(wú)三階非線性效應(yīng)情況下的孤子解進(jìn)行對(duì)比,系統(tǒng)地研究三階非線性效應(yīng)對(duì)孤子波形、孤子存在區(qū)間、以及孤子穩(wěn)定性三個(gè)方面的影響.

2 理論模型

二階和三階非線性效應(yīng)共同作用時(shí),孤子傳輸滿足耦合方程組[22,26,31]:

式中,E1和E2分別表示基頻波和二次諧波光電場(chǎng)的復(fù)振幅;ω1和ω2=2ω1分別為基頻波和二次諧波的頻率;k1=n1ω1/c和k2=n2ω2/c分別為基頻波和二次諧波的波數(shù),其中n1和n2分別為介質(zhì)對(duì)基頻波和二次諧波的折射率; Δk=2k1-k2為相位失配量;分別為二階和三階有效非線性極化率.方程(1)和方程(2)的第一項(xiàng)代表傳輸,第二項(xiàng)代表衍射或群速度色散,第三項(xiàng)代表二階非線性效應(yīng),最后一項(xiàng)代表三階非線性效應(yīng).

對(duì)方程(1)和方程(2)引入下面一組變換參數(shù):

其中wg＞0 為光束束寬或脈沖寬度,ZR=＞0 為光束的瑞利距離或色散距離,E10和E20為歸一化常數(shù).可得無(wú)量綱傳輸方程組:

其中s1的符號(hào)決定了系統(tǒng)的非線性是自聚焦的(s1=1)還是自散焦的(s1=-1).在不考慮三階非線性效應(yīng)時(shí)(即n=0 時(shí)),上述孤子模型可以等價(jià)為非局域孤子的傳輸模型[16],二次諧波可視為由基頻波誘導(dǎo)的等價(jià)非局域非線性折射率.因此,二次諧波可以表示為基頻波與響應(yīng)函數(shù)的卷積形式,即

其中R(·)代表響應(yīng)函數(shù).當(dāng)s2=1 時(shí),響應(yīng)函數(shù)為指數(shù)衰減型,即

其中σ=.而對(duì)于s2=-1 情況,當(dāng)系統(tǒng)無(wú)邊界條件約束時(shí)響應(yīng)函數(shù)為正弦振蕩型,即

但在有界系統(tǒng)中(設(shè)兩邊界分別位于l1和l2,介質(zhì)寬度為l=l2-l1),當(dāng)邊界兩邊的折射率差足夠大時(shí)(如二次介質(zhì)樣品放置于空氣中),光場(chǎng)主要集中于介質(zhì)內(nèi).此時(shí)的邊界條件近似滿足第一類邊界條件(即φ1,2(l1)=φ1,2(l2)=0),相應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為[27,28]

由(8)-(10)式可見(jiàn),非局域響應(yīng)函數(shù)的特征寬度可用參量σ=來(lái)表示.通常用非局域響應(yīng)函數(shù)特征寬度σ與光束束寬的比值大小來(lái)衡量非局域程度.因此,α的值越小,特征寬度σ就越大,非局域程度就越強(qiáng).如果將非局域程度作粗略的分類,通常把比值遠(yuǎn)小于1 的情況稱為弱非局域;把比值與1 可比擬的情況稱為一般非局域;把比值遠(yuǎn)大于1 的情況稱為強(qiáng)非局域.

接下來(lái)基于方程(5)和方程(6)的模型,研究三階非線性效應(yīng)對(duì)邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)中(即s1=-s2=1)二次孤子的影響.孤子的數(shù)值求解采用牛頓迭代法.此外,為了判斷孤子的穩(wěn)定性,對(duì)通過(guò)牛頓迭代法得到的孤子解進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析.對(duì)基波和二次諧波的試探孤子解都加入微擾:

其中μ,ν,p,f都為實(shí)數(shù),且μ,ν,p,f?1 .將微擾解代入方程(3)和方程(4),可得一個(gè)實(shí)矩陣b=(μ,ν,p,f)T的特征值問(wèn)題:

其中

而

在第一類邊界條件下,利用中心差分法離散化求解特征方程的特征值ε.ε的實(shí)部(εr)表示不穩(wěn)定增長(zhǎng)率,若εr≤0 則孤子穩(wěn)定,反之則不穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

基于二階和三階非線性效應(yīng)共同作用時(shí)的孤子模型,研究了該模型下的孤子波形、存在區(qū)間以及穩(wěn)定性.下面詳細(xì)地討論三階非線性效應(yīng)對(duì)這三方面的影響.

在強(qiáng)非局域和一般非局域情況下,找到了一系列的孤子解,它們的波形如圖1 所示.可以看到,二階和三階非線性共同作用下的孤子波形與只有二階非線性作用時(shí)的二次孤子波形很接近.具體而言,在強(qiáng)非局域條件下基頻波呈鐘型分布,二次諧波呈正弦振蕩型周期分布,如圖1(a)和圖1(b)所示.在一般非局域條件下,基頻波存在兩種波形,其中一種波形存在一些肩膀,具有格子孤子的特點(diǎn),第二種波形平滑流暢,如圖1(c)和圖1(d)所示.

圖1 強(qiáng)非局域和一般非局域情況下二階和三階非線性共同作用時(shí)的孤子波形(紅色: 基頻波;綠色: 二次諧波)(a),(b)強(qiáng)非局域情況 α=0.04,其中圖(b)的波形是在圖(a)的基礎(chǔ)上向兩邊各拓展了半個(gè)周期;(c),(d)一般非局域情況 α=10,其中圖(c)中 l=18.0974,圖(d)中 l=18.7214 .圖中虛線為二階和三階非線性共同作用時(shí)的孤子波形;實(shí)線為只有二階非線性作用時(shí)的二次孤子波形;|d2/d1|=1Fig.1.Soliton profiles(red: FW;green: SH)with quadratic and cubic nonlinearities for strongly nonlocal case and general nonlocal case:(a),(b)Strongly nonlocal case α=0.04 ;the soliton in panel(b)is an extension of that in panel(a)toward the right and left sides;(c),(d)general nonlocal case α=10 ,where(c)l=18.0974,(d)l=18.7214 .Dotted line: soliton profiles with quadratic and cubic nonlinearities;Solid line: the profiles of quadratic solitons with only quadratic nonlinearity. |d2/d1|=1.

但是在弱非局域條件下發(fā)現(xiàn),當(dāng)三階非線性系數(shù)n在10-3—10-1范圍內(nèi)時(shí),無(wú)論|d2/d1|取何值都不存在對(duì)應(yīng)的孤子解.也就是說(shuō),三階非線性效應(yīng)的存在使得在此情況下找不到對(duì)應(yīng)的孤子.我們也嘗試了在更弱的三階非線性系數(shù)條件下去尋找孤子解,但是直到當(dāng)n取10-6時(shí),方程才出現(xiàn)了孤子解.然而此時(shí)n～10-6量級(jí)相對(duì)于二階非線性效應(yīng)來(lái)說(shuō),三階非線性的作用就是一個(gè)極小的微擾量,結(jié)果與僅有二階非線性情況并無(wú)實(shí)質(zhì)區(qū)別,因此無(wú)意義.所以在本文后續(xù)的討論中,只考慮強(qiáng)非局域和一般非局域的情況,并取三階非線性系數(shù)n=0.003.

圖2 所示為孤子基頻波的束寬和功率隨樣品寬度l的變化情況,其中功率和束寬分別為

從圖2 可以看出,二階和三階非線性共同作用時(shí)的變化規(guī)律與只有二階非線性作用時(shí)的規(guī)律基本一致,都是呈現(xiàn)周期性的分段變化.區(qū)別主要在于,考慮了三階非線性效應(yīng)后,其變化曲線在無(wú)三階非線性效應(yīng)情況的對(duì)應(yīng)曲線基礎(chǔ)上向右發(fā)生了偏移.但值得注意的是,圖2 中第2,3 支的束寬和功率是在第1 支的基礎(chǔ)上對(duì)樣品寬度分別拓展半個(gè)周期和一個(gè)周期所得.在對(duì)孤子進(jìn)行拓展的過(guò)程中,可以發(fā)現(xiàn)三階非線性的存在減少了孤子可拓展半周期的個(gè)數(shù),如圖2(a)最多只能拓展半個(gè)周期.

圖3 是不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨樣品寬度l、非局域程度α、以及比值d2/d1的變化.對(duì)于不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨樣品寬度l的變化情況而言(圖3(a)和圖3(b),與圖2 對(duì)應(yīng)),可以發(fā)現(xiàn),考慮了三階非線性效應(yīng)的孤子其不穩(wěn)定增長(zhǎng)率曲線在只有二階非線性作用時(shí)曲線的基礎(chǔ)上也向右發(fā)生了偏移.另外,通過(guò)與只有二階非線性作用時(shí)的二次孤子穩(wěn)定性區(qū)間對(duì)比還發(fā)現(xiàn),三階非線性效應(yīng)的存在縮減了孤子的穩(wěn)定區(qū)間,如圖3(c)和圖3(d)所示.

圖2 基頻波的束寬(藍(lán)色)和功率(紅色)隨樣品寬度l 的變化規(guī)律(a)強(qiáng)非局域情況 α=0.04;(b)一般非局域情況 α=10 .虛線為二階和三階非線性共同作用時(shí)的結(jié)果;實(shí)線為只有二階非線性作用時(shí)的結(jié)果.|d2/d1|=0.8Fig.2.Soliton width(blue line,right ordinate)and power(red line,left ordinate)of the FW versus the sample size l:(a)Strongly nonlocal case α=0.04;(b)general nonlocal case α=10 .Dotted line: results with quadratic and cubic nonlinearities;Solid line:results with only quadratic nonlinearity. |d2/d1|=0.8 .

圖3 (a),(b)對(duì)應(yīng)圖2 的孤子不穩(wěn)定增長(zhǎng)率曲線;(c)孤子的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨非局域程度α 的變化規(guī)律,l=18 ,|d2/d1|=2 ;(d)孤子的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨 d2/d1 的變化規(guī)律,α=0.11,l=18 .虛線為二階和三階非線性共同作用時(shí)的結(jié)果;實(shí)線為只有二階非線性作用時(shí)的結(jié)果Fig.3.(a),(b)Curves of unstable growth rate corresponding to Fig.2;(c)unstable growth rate versus the nonlocal degree α.l=18,|d2/d1|=2;(d)unstable growth rate versus d2/d1 .α=0.11,l=18 .Dotted line: results with quadratic and cubic nonlinearities;Solid line: results with only quadratic nonlinearity.

圖4 所示為圖3(d)中兩個(gè)圓點(diǎn)所對(duì)應(yīng)孤子解的數(shù)值模擬傳輸結(jié)果.將牛頓迭代法得到的孤子解作為初始輸入,基于方程(3)和方程(4)采用分步傅里葉算法對(duì)其進(jìn)行了傳輸模擬.在傳輸模擬時(shí)給預(yù)期穩(wěn)定的孤子解中的基頻波加入了1%的微擾,而預(yù)期不穩(wěn)定的孤子解則不加微擾.從圖4 可以觀察到,預(yù)期穩(wěn)定的孤子解經(jīng)過(guò)1000 個(gè)瑞利距離ZR的傳輸后,孤子仍然能保持穩(wěn)定,而預(yù)期不穩(wěn)定的孤子解僅僅經(jīng)過(guò)幾十個(gè)瑞利距離后就再也不能穩(wěn)定傳輸下去.

圖4 圖3(d)中兩個(gè)圓點(diǎn)所對(duì)應(yīng)孤子解的數(shù)值模擬傳輸結(jié)果(a),(b)基頻波;(c),(d)二次諧波.第一行中 d2/d1=-0.8 ;第二行中d2/d1=-0.4Fig.4.Propagation of the two solitons corresponding to the two dots in Fig.3(d):(a),(b)The FW;(c),(d)the SH.Upper row:d2/d1=-0.8;Bottom row: d2/d1=-0.4 .

4 結(jié)論

本文系統(tǒng)研究了三階非線性效應(yīng)對(duì)邊界限制的自聚焦振蕩型響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)(s1=-s2=1)中二次孤子的影響.發(fā)現(xiàn)考慮了三階非線性作用后,孤子只存在于強(qiáng)非局域和一般非局域情況,弱非局域情況下找不到相應(yīng)的孤子(過(guò)去忽略三階非線性作用時(shí)在各類非局域程度下都存在孤子解).此外還發(fā)現(xiàn),三階非線性效應(yīng)的存在減少了孤子拓展半周期的個(gè)數(shù),同時(shí)也縮減了孤子的穩(wěn)定區(qū)間.而在孤子波形方面,三階非線性影響較小,僅輕微改變其橫向分布.

感謝東莞理工學(xué)院陳曼娜博士的有益討論.