王雯

［摘 要］“現(xiàn)象教學(xué)”自2016年由芬蘭提出后，在國(guó)際上一直備受關(guān)注，而中國(guó)教育也進(jìn)入了“以核心素養(yǎng)為本”的改革新階段，兩者都是以學(xué)生為中心，期望培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力。課堂是教學(xué)的主陣地，有效性是教學(xué)的生命，因此如何實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)成為教師需要研究的重要問(wèn)題。文章以新高考下的“解三角形復(fù)習(xí)課”教學(xué)為例，從高考新題型出發(fā)，讓“現(xiàn)象教學(xué)”走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，重在發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，充分挖掘?qū)W生的潛力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

［關(guān)鍵詞］現(xiàn)象教學(xué)；數(shù)學(xué)課堂；解三角形

［中圖分類號(hào)］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2022）20-0011-03

一、背景介紹

芬蘭教育一直備受世界關(guān)注。2016年8月，芬蘭進(jìn)行了新一輪的教育教學(xué)改革，提出了“現(xiàn)象教學(xué)”的概念?！艾F(xiàn)象教學(xué)”可理解為基于現(xiàn)象的教學(xué)，它弱化了學(xué)科界限，圍繞學(xué)生感興趣的主題調(diào)配師資，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)環(huán)境，以培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力為目標(biāo)［1］?！艾F(xiàn)象教學(xué)”的出現(xiàn)，改變了傳統(tǒng)學(xué)科的分類，它的完成需要很多方面的能力，如學(xué)會(huì)調(diào)查，學(xué)會(huì)查閱資料，學(xué)會(huì)從各個(gè)角度去看待和分析問(wèn)題。2020年，江蘇省實(shí)施了新的高考方案。從《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》也可以看出，我國(guó)的課程改革及高考改革倡導(dǎo)以解決問(wèn)題為導(dǎo)向，以學(xué)生為中心，期望學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，具備自主學(xué)習(xí)的能力和分析解決問(wèn)題的能力。

目前新高考中增加了以結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題為核心的新題型，如何讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)選擇更優(yōu)的解題方法成為教師在教學(xué)中需要思考的問(wèn)題。讓“現(xiàn)象教學(xué)”走進(jìn)課堂，可調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程體會(huì)到獲取知識(shí)的快樂(lè)。下面筆者以“解三角形復(fù)習(xí)課”的教學(xué)為例，談一談如何讓“現(xiàn)象教學(xué)”走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與策略

新高考中對(duì)于解三角形知識(shí)的考查多以結(jié)構(gòu)不良的形式呈現(xiàn)，題目中常出現(xiàn)條件缺失或條件選擇的情況，解此類題型的基本思想有兩個(gè)：一是可解，即補(bǔ)充或選擇的條件可以達(dá)到解題的目的；二是簡(jiǎn)單，即補(bǔ)充或選擇的條件可使解題變簡(jiǎn)單、容易。當(dāng)然，補(bǔ)充或選擇的條件不同所出現(xiàn)的計(jì)算難度也會(huì)有所不同?；谶@兩個(gè)基本思想，“解三角形復(fù)習(xí)課”的教學(xué)重在充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生通過(guò)不斷改編題目而成為出題者，并在教師的引導(dǎo)下找到解決問(wèn)題的最佳方法，在形成完備知識(shí)體系的同時(shí)提高綜合能力。

“解三角形復(fù)習(xí)課”的教學(xué)片段如下：

師：請(qǐng)大家來(lái)看這道題目：在[△ABC]中，角[A， B， C]所對(duì)應(yīng)的邊分別為[a， b， c]，求滿足條件的其他邊和角：[A=60°]，[B=45°]，[c=2]。

生1：可以先計(jì)算出角[C]，再利用正弦定理[asinA=bsinB=csinC]求出邊[a， b]。

師：很好，那通過(guò)這道題，你覺(jué)得正弦定理可以解決什么問(wèn)題？

生（齊）：已知兩角及一邊，求其他邊和角的問(wèn)題。

師：能否改變其中一個(gè)條件，卻仍能求解這個(gè)三角形的邊和角？

生2：將“[c=2]”改成“[b=4]”。

師：這樣改可以嗎？

生3：可以，但是與原題在本質(zhì)上是一樣的。我想把“[A=60°]”改成“[a=4]”。

師：大家覺(jué)得這樣改可以嗎？

生4：可以，但是不能用正弦定理求解，要改用余弦定理求解。

師：那你能說(shuō)說(shuō)是如何用余弦定理求解的嗎？

生4：利用余弦定理公式[b2=a2+c2-2accosB]可以求出邊[b]，已知三角形的三條邊，再運(yùn)用余弦定理就可以求出該三角形的另外兩個(gè)角了。

師：說(shuō)得很好。這位同學(xué)認(rèn)為不能利用正弦定理求解，大家有沒(méi)有不同的看法？

生5：結(jié)合正弦定理[asinA=bsinB=csinC]和題給條件[a=4]，[B=45°]，[c=2]，可得[4sinA=bsin45°=2sin（135°-A）]，我把能計(jì)算的都表示出來(lái)，得到[4sinA=b22=222cosA+22sinA]，即[bsinA=22，bsinA+bcosA=2 ，]所以[tanA=-2-2]，再利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系[sin2A+cos2A=1]可以計(jì)算出[sinA]，[cosA]，邊[b]以及角[C]。

（此時(shí)大家都對(duì)生5的解法表示驚嘆）

師：通過(guò)這個(gè)解法大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：對(duì)于解三角形，用正弦定理可以解決已知兩邊及其夾角的問(wèn)題，但計(jì)算量大，而且容易出錯(cuò)，用余弦定理會(huì)更方便些。

師：是的，所以正弦定理不是不能求解已知兩邊及其夾角的三角形問(wèn)題，而是求解起來(lái)比較麻煩。那正弦定理除了可以解決已知兩角及一邊的三角形問(wèn)題，還能解決其他情況下的三角形問(wèn)題嗎？

生7：將[B=45°]改成[a=4]，利用正弦定理[4sin60°=2sinC]可以求得[sinC=34]，通過(guò)[cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC]求出[cosB]，再根據(jù)余弦定理求出邊[b]。

師：很好，請(qǐng)大家按照這位同學(xué)的思路繼續(xù)往下做。

教師投影一位學(xué)生的解法：

因?yàn)閇sinC=34]，所以[cosC=± 134]，當(dāng)[cosC=134]時(shí)，[cosB=-cos（A+C）=-12×134+32×34=3-138]，所以[b2=16+4-2×4×2×3-138=14+213]；

當(dāng)[cosC=-134]時(shí)，[cosB=-cos（A+C）=-12×-134+32×34=3+138]，所以[b2=16+4-2×4×2×3+138=14-213]。

（投影完后，學(xué)生有不同的意見(jiàn)）

生8：因?yàn)閇a>c]，所以[A>C]，那么角[C]不可能為鈍角，不需要討論[cosC=-134]的情況。

師：非常好，這樣就為解這道三角形題目節(jié)省了時(shí)間。如果這道題不需要求解，而是問(wèn)：滿足題目條件的三角形有幾個(gè)？你能做出判斷嗎？

［學(xué)生畫圖（如圖1），并做解釋］

師：那能不能繼續(xù)改變條件求解該三角形呢？

生9：將“[A=60°]”改成“[△ABC]的外接圓半徑為2”，利用公式[asinA=bsinB=csinC=2R]（其中[R]為[△ABC]外接圓的半徑），就可以解該三角形了。

師：改得好，大家的思維已經(jīng)不再局限于邊、角的互改了。那大家還記得這個(gè)公式是怎么得來(lái)的嗎？

（教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了回顧）

師：還可以再改嗎？

生10：將“[A=60°]”改成“[△ABC]的面積為4”，利用[12acsinB=4]可求出邊[a]，再利用余弦定理求出邊[b]，最后通過(guò)正弦定理求出角[A]與角[C]，這樣就把三角形解出來(lái)了。

師：這位同學(xué)已經(jīng)想到三角形的面積問(wèn)題了，那如果我們把條件“[B=45°]”換成“[a=6]”以及把“[c=2]”換成“[S△ABC=63]”，即題目條件變成“[A=60°]，[a=6]，[S△ABC=63]”，你能求解該三角形嗎？

教師借助投影，展示兩位學(xué)生的解法：

生11：由[asinA=bsinB=csinC=2R ]，得[b=43sinB ]，[c=43sinC]，由[S△ABC=63]得[12×43sinB]

[43sinC×32=123sinBsinC=63]，所以[sinBsinC=12]，即[sinBsin（120°-B）=12]，展開后化簡(jiǎn)得[2sin2B-π6=1]，所以[B=π6]或[B=π2]，當(dāng)[B=π6]時(shí)，[C=π2]，所以[b=23]，[c=43]；當(dāng)[B=π2]時(shí)，[C=π6]，所以[b=43 ， ?c=23]。

生12：由[S△ABC=63]得[12bc×32=63]，所以[bc=24]，由[b2+c2-a2=2bccosA]得[b2+c2=60]，所以[（b-c）2=12]，[（b+c）2=108]，所以[b=43]，[c=23]，[B=π2]，[C=π6]或者[b=23]，[c=43]，[B=π6]，[C=π2]。

師：從這兩位同學(xué)的解法中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生13：對(duì)于解三角形會(huì)有不同的方法，但是所消耗的時(shí)間會(huì)有很大的不同，這就提醒我們要靈活應(yīng)用公式，盡可能地選擇最優(yōu)方案。

（教師展示一道具體的例題，引導(dǎo)學(xué)生鞏固拓展）

［例題］（2020年新高考Ⅰ卷）在①[ac=3]，②[csinA=3]，③[c=3b]這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求[c]的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

問(wèn)題：是否存在[△ABC]，它的內(nèi)角[A， B， C]的對(duì)邊分別為[a， b， c]，且[sinA=3sinB]，[C=π6]， ? ? ? ? ? ? ？

三、教學(xué)反思

（一）探索性提問(wèn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

本節(jié)課采用了探索性提問(wèn)，通過(guò)讓學(xué)生改編題目調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而問(wèn)題作為學(xué)生探究的主線，其設(shè)置的合理性尤為關(guān)鍵。問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)單，會(huì)讓學(xué)生沒(méi)有思考，無(wú)法啟發(fā)學(xué)生思維；問(wèn)題過(guò)于深?yuàn)W，會(huì)讓學(xué)生無(wú)從下手沒(méi)有辦法回答，這樣會(huì)打擊學(xué)生的積極性，長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生抵觸情緒。因此，問(wèn)題不但要有階梯性，以便學(xué)生能夠不斷深入思考，還要有一定的引導(dǎo)性，使學(xué)生能夠逐步發(fā)展思維，提升能力。本節(jié)課中教師所提出的問(wèn)題，如“如果這道題不需要求解，而是問(wèn)：滿足題目條件的三角形有幾個(gè)？你能做出判斷嗎？”“那大家還記得這個(gè)公式是怎么得來(lái)的嗎？”一方面給予了學(xué)生鼓勵(lì)，讓學(xué)生盡可能多思考；另一方面讓學(xué)生的思維更發(fā)散，所獲取的知識(shí)更全面。“這位同學(xué)認(rèn)為不能利用正弦定理求解，大家有沒(méi)有不同的看法？”這種提問(wèn)給予了學(xué)生充分質(zhì)疑的時(shí)間和空間，很好地鍛煉了學(xué)生辨析問(wèn)題的能力。而“這位同學(xué)已經(jīng)想到三角形的面積問(wèn)題了，那如果我們把條件‘[B=45°]’換成‘[a=6]’以及把‘[c=2]’換成‘[S△ABC=63]’，即題目條件變成‘[A=60°]，[a=6]，[S△ABC=63]’，你能求解該三角形嗎？”這個(gè)問(wèn)題將解三角形提升到了一個(gè)新的高度，并且通過(guò)展示學(xué)生的不同解法，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)不同方法的不同運(yùn)算過(guò)程，進(jìn)而找到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、挖掘問(wèn)題本質(zhì)的能力。

（二）投影式點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生找到問(wèn)題的本質(zhì)

個(gè)體的發(fā)展需要借助工具，也需要通過(guò)與社會(huì)的互動(dòng)，與人的互動(dòng)，不斷地反思，不斷地修正來(lái)實(shí)現(xiàn)。本節(jié)課對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題的回答大多采用口述的方式，但對(duì)于“看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不易”的問(wèn)題則進(jìn)行了投影點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生在自己的方法和其他同學(xué)的方法的對(duì)比中找到最優(yōu)方法，進(jìn)而達(dá)到自我修正、培養(yǎng)能力的效果。祁建新等人認(rèn)為，同樣是教學(xué)生思考，還要分是思考什么以及怎樣思考。對(duì)知識(shí)進(jìn)行思考，得到的是對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)；對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行思考，得到的是對(duì)世界的認(rèn)知［2］。通過(guò)投影學(xué)生的解題過(guò)程與結(jié)果，能看到學(xué)生思考問(wèn)題的過(guò)程，而對(duì)于方法的點(diǎn)評(píng)，可以讓學(xué)生了解自身的不足，并且學(xué)會(huì)接納其他方法，而學(xué)生這種“容他”的表現(xiàn)，體現(xiàn)了教師的德育滲透十分有效。

（三）互動(dòng)式教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率

教育不應(yīng)僅僅是把前人已有的經(jīng)驗(yàn)﹑知識(shí)教給學(xué)生，而應(yīng)將學(xué)生培養(yǎng)成完整的人，使得他們具有思考的能力﹑判斷的能力以及獨(dú)立解決問(wèn)題的能力［3］。傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課大多是以先復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)再應(yīng)用的方式進(jìn)行的，這樣的課堂較沉悶，學(xué)生也覺(jué)得無(wú)趣。如果我們換種方式，以學(xué)生為主體，鼓勵(lì)他們實(shí)踐，讓他們不只是被動(dòng)地做題，而是成為出題者，并且自己去發(fā)現(xiàn)、去探究，那么不僅能完成知識(shí)的回顧及應(yīng)用，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這與“現(xiàn)象教學(xué)”中“強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)環(huán)境，以培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力為目標(biāo)”不謀而合。本節(jié)課通過(guò)互動(dòng)式教學(xué)，讓學(xué)生一直處于思考中，思考自己提出的問(wèn)題，思考同學(xué)提出的問(wèn)題，思考老師提出的問(wèn)題，大大提高了課堂教學(xué)效率，學(xué)生的思維也在課堂上真正“活”了起來(lái)。

四、結(jié)束語(yǔ)

有效性是教學(xué)的生命，因此，在響應(yīng)國(guó)家“減負(fù)”號(hào)召的同時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)掌握更多的知識(shí)，提高他們各方面的能力，要讓“高效教學(xué)”真正在每節(jié)課中得到落實(shí)。為此，教師要明確自己的角色定位，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生去表達(dá)自己的想法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)反思及協(xié)同合作，讓知識(shí)的穩(wěn)固及加深變得更容易，盡可能地減少不同層次學(xué)生之間的差異。

要實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)需要以學(xué)生為中心。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極投入到學(xué)習(xí)中，成為問(wèn)題的提出者和解決者，并且能理解問(wèn)題的本質(zhì)，把握問(wèn)題的解決方法。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?俞建芬，蔡國(guó)英. 芬蘭“現(xiàn)象教學(xué)”的理念﹑內(nèi)涵與啟示［J］.教學(xué)與管理，2019（33）：121-124.

［2］ ?祁建新，徐建東，水菊芳，等.注重?cái)?shù)學(xué)思想引領(lǐng) 深化“現(xiàn)象教學(xué)”探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（13）：25-28.

［3］ ?程元元.現(xiàn)象教學(xué)進(jìn)課堂的策略研究：基于高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（36）：17-18，25.

（責(zé)任編輯 黃春香）