初中數(shù)學(xué)“二次變式”的設(shè)計(jì)、實(shí)踐與思考

孫朝仁 朱桂鳳

摘要：以“中考同源試題”為研究載體，彰顯“二次變式”設(shè)計(jì)、實(shí)踐與思考的方法體系，涉及構(gòu)造思想、“擬經(jīng)驗(yàn)”心理過程，以及語言等值編碼等心理系統(tǒng)再造。研究“二次變式”編碼，有助于學(xué)生“會(huì)一題、通一類，連一片”，并以此促進(jìn)教師用好教材。

關(guān)鍵詞：二次變式? 問題編碼? 學(xué)習(xí)心理? 教學(xué)構(gòu)建? 初中數(shù)學(xué)

引用格式：孫朝仁，朱桂鳳.初中數(shù)學(xué)“二次變式”的設(shè)計(jì)、實(shí)踐與思考[J].教學(xué)與管理，2022（34）：51-55.

“變式”源于馬頓的“變異理論”，是問題、試題層出不窮的內(nèi)在淵源，是學(xué)科命題繞不開的思維通識(shí)?！岸巫兪健笔菍?duì)變式的變式，是一種穩(wěn)定的心理過程，帶有強(qiáng)烈的左右勾連、上下貫通的結(jié)構(gòu)心理特征。也就是說，只有通過抽象或邏輯分析才能發(fā)現(xiàn)它與原型關(guān)系的變式，二次變化參數(shù)、二次變化背景、不同側(cè)面地微妙地缺省某些條件等是二次變式的本體思想。一般來說，智慧技能獲得的唯一有效方法就是變式與二次變式，這種條件認(rèn)知與算法操作是建立學(xué)科方法體系的“思維切口”。因此，研究二次變式是學(xué)科學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)型的新途徑，能提高學(xué)科的育人質(zhì)量。

一、“二次變式”的教學(xué)設(shè)計(jì)

從思考的目標(biāo)過程看，“二次變式”是建立以原型為思維起點(diǎn)的序列問題“組塊”。組塊的組織過程涵蓋抽象過程、建模過程、“用?！边^程和遷移過程?；谶@種條件認(rèn)知，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、質(zhì)疑學(xué)習(xí)、猜想學(xué)習(xí)、證實(shí)證偽學(xué)習(xí)中構(gòu)造穩(wěn)定的問題結(jié)構(gòu)特征（同構(gòu)和異構(gòu)），這有助于場獨(dú)立、場一般、場依存學(xué)生的選擇性學(xué)習(xí)，提高不同學(xué)生的心理發(fā)展水平。其中“同構(gòu)”是“一次變式”（如數(shù)量的變化、位置的變化）的思維理論，“異構(gòu)”是“二次變式”（如參數(shù)的變化）的思維支架?！白兪健笔墙虒W(xué)設(shè)計(jì)的顯性特征和思維線索，是學(xué)生思維發(fā)展、心理發(fā)展的重要抓手。因此，變式教學(xué)設(shè)計(jì)要貫穿三個(gè)方面的思考，即原型意識(shí)、同構(gòu)意識(shí)和異構(gòu)意識(shí)，其中原型意識(shí)是同構(gòu)和異構(gòu)“二次變式”設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

1.原型意識(shí)

“原型”可解釋為概念、規(guī)則和關(guān)系，以及圖形與圖形之間的變換關(guān)系。而“原型意識(shí)”則是一類專家頭腦中的高度簡約的、內(nèi)潛的、濃縮的經(jīng)驗(yàn)、思想、方法。數(shù)學(xué)中的原型意識(shí)是指在教材上找到問題的“原型”（思維起點(diǎn)及其載體），體驗(yàn)問題的組織過程、思維編碼過程（語言等值編碼過程），以及經(jīng)驗(yàn)登記過程（經(jīng)驗(yàn)的構(gòu)造與再造），從而知道試題的由來（試題的起源與發(fā)展）。

在《初中數(shù)學(xué)》（江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社）教材中多處呈現(xiàn)了“母子正方形”，如八年級(jí)上冊第72頁第3題，八年級(jí)下冊的第82頁例5、第95頁第22題等，從不同側(cè)面滲透了母子正方形的對(duì)稱思想、變換思想等重要的思想方法。因此，多個(gè)城市的試卷命制了“母子正方形問題”，很好地考查了學(xué)生的幾何直觀能力。其中，以“母子正方形”為思維起點(diǎn)，連云港市分別在2014年和2015年考查了該問題，只不過考查角度發(fā)生了變化。2015年考查了旋轉(zhuǎn)、構(gòu)造、最值思想（見例1），2014年考查了函數(shù)關(guān)系最值、等積變形、點(diǎn)的軌跡以及中點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱最值等數(shù)學(xué)方法體系（見例2）。2021年宿遷市考查了母子正方形問題（見例3），主要考查了相似變換、全等變換和動(dòng)點(diǎn)軌跡問題。

例1（2015·連云港市）

例2（2014·連云港市）

例3（2021·宿遷市）

這種“變式考查”思想，是一種好的命題途徑，落實(shí)了“從不同側(cè)面、不同層次”研究同源問題的目標(biāo)過程。因此，用好教材、超越教材是學(xué)科教學(xué)的根本，不是“刷題”、更不是“亂練”，也不是無原則的“練熟”。

2.同構(gòu)意識(shí)

“同構(gòu)”是一種同化構(gòu)造，旨在不改變原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，直接將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到本質(zhì)特征相同的一類事物中去。在課堂教學(xué)過程中，舉例說明、正反例證、寫出類似的問題就是一種常見的同構(gòu)意識(shí)，帶有等值語言編碼特征。從教學(xué)論來看，同構(gòu)的本質(zhì)就是一種組合思想、組塊行為和編碼意識(shí)。

例3中的圖7與圖8就是一種同構(gòu)關(guān)系（等值語言編碼），揭示了“相似變換→全等變換”的“穩(wěn)定結(jié)構(gòu)特征”，有助于“場依存”認(rèn)知風(fēng)格的學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。其實(shí)，無論母子圖、編碼圖，還是類組合、似構(gòu)造、等值編碼都是一種平衡條件認(rèn)知，都有助于學(xué)生建立相對(duì)穩(wěn)定的學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，可以有效提高概念變式、命題變式和問題變式的能力。

3.異構(gòu)意識(shí)

“異構(gòu)”是一種內(nèi)源變式（如參數(shù)的變化等），是對(duì)新舊經(jīng)驗(yàn)加以概括，形成一種能包容新舊經(jīng)驗(yàn)的更高一級(jí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并以此適應(yīng)外界的變化。通俗地說，異構(gòu)意識(shí)就是一種“有用組合”，帶有強(qiáng)烈的“再創(chuàng)造”特征。世界上的組合有無數(shù)，但有用組合卻相對(duì)有限。所有的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造都來自于“有用組合”。當(dāng)然，學(xué)科的發(fā)展、結(jié)論的誕生、客觀知識(shí)的二次發(fā)展，都是有用組合的必然產(chǎn)物。

例3中的前兩個(gè)問題與第三個(gè)問題之間的變式關(guān)系，就是異構(gòu)思維、異構(gòu)意識(shí)的產(chǎn)物，帶有強(qiáng)烈的內(nèi)源變式特征（背景的變化），反映了“高投入”思維特征和問題結(jié)構(gòu)化特點(diǎn)。這種從復(fù)雜中揭示出簡單規(guī)律（統(tǒng)一性）的目標(biāo)過程，是學(xué)生知識(shí)遷移的心理基礎(chǔ)。

綜上，“二次變式”教學(xué)設(shè)計(jì)，不止于原型意識(shí)、同構(gòu)意識(shí)和異構(gòu)意識(shí)，更在于對(duì)原型通過同構(gòu)和異構(gòu)進(jìn)行改造、重組和關(guān)聯(lián)，形成梯度的問題思維“反應(yīng)塊”，讓不同的學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)上獲得相應(yīng)的發(fā)展。

二、“二次變式”的教學(xué)實(shí)踐

在教學(xué)實(shí)踐論范疇，“二次變式”是一種本原思想，是學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)、事實(shí)經(jīng)驗(yàn)和客觀經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化、遷移、調(diào)用的心理?xiàng)l件。其中，事實(shí)經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體經(jīng)驗(yàn)向客觀經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化的“二次變式”教學(xué)實(shí)踐的中介。一般來說，“本原”是本體論中的一個(gè)術(shù)語，指一切事物的最初根源或構(gòu)成世界的最根本實(shí)體。哲學(xué)上對(duì)本原的思考凸顯為一種刨根問底的探尋精神，始終把理解世界的“始基”或“構(gòu)成要素”作為第一問題?！岸巫兪健北旧砭褪堑谝徽軐W(xué)問題，是以個(gè)體經(jīng)驗(yàn)為“始基”的，終于客觀經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生式“產(chǎn)生”。為此，個(gè)體經(jīng)驗(yàn)到客觀經(jīng)驗(yàn)的過程，包括概念變式編碼、命題變式編碼、問題變式編碼，涉及做、說、用等思維編碼過程。

1.概念變式編碼，讓學(xué)生在“做”中形成個(gè)體經(jīng)驗(yàn)

概念是一切知識(shí)的出發(fā)點(diǎn)，也是歸宿。概念變式是學(xué)習(xí)的通用方法，是學(xué)生獲得知識(shí)的外在法定標(biāo)準(zhǔn)。概念變式編碼是以“組塊”的思維方式存在的，能促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生式“產(chǎn)生”。通過概念變式編碼，將概念的“工具性理解”上升到“關(guān)系性理解”。從認(rèn)知心理學(xué)來說，工具性是一種法定標(biāo)準(zhǔn)，而關(guān)系性是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)生把握對(duì)象的心理邏輯。認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生將自己的認(rèn)識(shí)信息組織起來的心理系統(tǒng)，包括圖式、支架、模型、組塊等。一般來說，只有概念成為個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)的組成部分，才說明理解了、會(huì)了、懂了。這不是似會(huì)非會(huì)，而是深度理解，并能將結(jié)構(gòu)知識(shí)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以，概念變式編碼不是教知識(shí)，而是教結(jié)構(gòu)、教概念和概念關(guān)系（一類群論）。

片斷1 “概念變式”思維編碼過程如下（以例1為例）：

首先，在圖1中，根據(jù)“母子圖”的特征，以“SAS”為條件，證出△ADG與△ABE全等。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及圖形位置的顯性特征，可以確定直線的位置關(guān)系。

其次，在圖2中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性，在（1）的基礎(chǔ)上可知BE=DG。結(jié)合題干信息和問題（2）的條件，在勾股定理參與下，可知BH=AH=，HG==。至此，答案呼之欲出。

最后，根據(jù)最值思想和“動(dòng)中取靜”特點(diǎn)，不難知道點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是在兩個(gè)半圓（弧GAE、弧BAD）上（如圖9）。當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足△GHE與△BHD面積之和最大的約束條件，進(jìn)而可求正確答案。

設(shè)計(jì)意圖：本題可以作為課堂教學(xué)例題呈現(xiàn)，讓學(xué)生說概念、說經(jīng)驗(yàn)、說思想方法，揭示“變中不變”的道理、“不變而變”的價(jià)值，促進(jìn)概念變式編碼的內(nèi)驅(qū)力提升，提高經(jīng)驗(yàn)形成的水平。

綜上，如果說問題（1）是“做”的思維起點(diǎn)，那么問題（2）就是概念變式編碼的必然產(chǎn)物，而問題（3）則是概念關(guān)系從工具性理解轉(zhuǎn)向關(guān)系性理解的具體表現(xiàn)。如果說個(gè)體經(jīng)驗(yàn)是“做”的必然結(jié)果，不如說“全等變換→全等變換附加編碼→動(dòng)點(diǎn)最值”是組塊問題組織的一般過程，能較好地促進(jìn)不同認(rèn)知風(fēng)格學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展。這才是概念變式的價(jià)值理性，也是概念變式編碼的本體思想，能讓學(xué)生在學(xué)好中產(chǎn)生結(jié)構(gòu)理性。

2.問題變式編碼，讓學(xué)生在“用”中產(chǎn)生客觀經(jīng)驗(yàn)

問題不是題目，問題具有結(jié)構(gòu)認(rèn)知特征，一般涵蓋辨別編碼、差異編碼和內(nèi)化編碼（比如研究性學(xué)習(xí)問題、課題學(xué)習(xí)問題、活動(dòng)型問題等）。問題能促進(jìn)人的思維發(fā)展，并強(qiáng)調(diào)將理性具體轉(zhuǎn)化為理性一般。問題變式編碼就是讓學(xué)生在“用”中獲得研究對(duì)象，在變式中獲得研究對(duì)象特征，在辨別編碼和差異編碼中建立客觀經(jīng)驗(yàn)，并將客觀經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為主觀能力。有專家認(rèn)為，問題變式編碼理論“堅(jiān)持學(xué)習(xí)就是辨別，辨別依賴于對(duì)差異的認(rèn)識(shí)，教師應(yīng)當(dāng)通過變異維數(shù)的擴(kuò)展引導(dǎo)學(xué)生更好地去認(rèn)識(shí)對(duì)象的各個(gè)方面”[1]。這就要求問題變式編碼必須具備3個(gè)方面的認(rèn)知心理?xiàng)l件，方能讓學(xué)生在獲得研究對(duì)象的過程中，建立一種個(gè)體內(nèi)化的客觀經(jīng)驗(yàn)。第一方面，以“用”為情境編碼特征，突出辨別編碼和差異編碼，有助于人人獲得良好的教育;第二方面，讓學(xué)生在外源變式思考中獲得研究對(duì)象的本體論特征，并建立發(fā)現(xiàn)問題的二次編碼條件;第三方面，讓學(xué)生在內(nèi)源變式思考中獲得認(rèn)知遷移能力，并將定義變式、命題變式和問題變式統(tǒng)一起來，從經(jīng)驗(yàn)重組中獲得新思想、新方法和新路徑，提高二次變式能力以及概念內(nèi)化能力。

片斷2 “外源問題變式編碼”具體過程如下（以例2為例）：

首先，在圖4中，經(jīng)過數(shù)論與形論分析，可以確認(rèn)問題（1）屬于函數(shù)最值問題。為此，鑒于動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)約束條件，需要構(gòu)造函數(shù)關(guān)系。設(shè)正方形APDC與正方形PBFE的面積和為y，AP=x。結(jié)合題干信息，不難得到y(tǒng)=x2+（8-x）2。由此，可求出函數(shù)最小值。顯然，這里的問題（1）與片段1的概念變式編碼、命題變式編碼的問題（1）測量視角不同。例1考查了圖形變換，例2考查函數(shù)最值。這是將“母子圖”的情境置于編碼，其二次變式編碼方式不同，學(xué)生的心理發(fā)展不同。

其次，在圖5中，經(jīng)過構(gòu)造分析、分離圖形分析，可知問題（2）屬于外源變式附加編碼——一種“等積變形+作差思想”的復(fù)合思維。在輔助思維的參與下，結(jié)合母子圖情境置于方式，可構(gòu)造梯形APFD。這樣就構(gòu)造了等值語言編碼“同底等高”問題，以此不難獲得“存在性”等積圖形（△APK與△FDK面積量性相等）。

設(shè)計(jì)意圖：本題可以作為課后基礎(chǔ)練習(xí)。問題外源變式編碼旨在讓學(xué)生經(jīng)歷情境置于式編碼、情境置于式組塊過程，體驗(yàn)不同視角、不同維數(shù)變式編碼不同，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和問題提出的能力不同（變中不變，前者屬于數(shù)論變量、后者屬于形論變量）。這里的提出問題就是二次變式的產(chǎn)物。

如果說問題（1）是理性具體，問題（2）則屬于理性一般;如果說函數(shù)最值是一種數(shù)論，“等積變形”則是一種形論，能促進(jìn)學(xué)生在“做”和“思考”的過程中，將個(gè)體經(jīng)驗(yàn)客觀化。

片斷3 “內(nèi)源問題變式編碼”過程如下（以例2為例）：

首先，問題（3）是內(nèi)源變式編碼問題——一種動(dòng)點(diǎn)軌跡等值語言編碼方式。結(jié)合題干信息，不難知道線段PQ中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，PQ長度的一半為半徑，在正方形內(nèi)部形成閉合的四段等?。?6π）。

其次，問題（4）屬于直線型軌跡問題和對(duì)稱最值問題，帶有強(qiáng)烈的二次變式、內(nèi)源變式編碼特征（變化背景）。根據(jù)問題求解的需要和圖形附加編碼的特點(diǎn)，在問題（1）的基礎(chǔ)上，可知正方形APDC的邊長為x、正方形PBFE的邊長為（8-x）。以此為基礎(chǔ)，結(jié)合已知信息，可得G（，x）、H（，8-x），線段GH的中點(diǎn)O（，4）。至此，根據(jù)自變量x的定義域1≤x≤7，可知點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是長度為3的線段。根據(jù)對(duì)稱，易求得OM+OB的最小值為BM′==。

設(shè)計(jì)意圖：本題旨在內(nèi)源變式思維參與下，讓學(xué)生通過“做”將客觀經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為等值語言編碼能力。同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡與坐標(biāo)法的引進(jìn)有助于場獨(dú)立認(rèn)知風(fēng)格的學(xué)生獲得數(shù)學(xué)再造能力、二次變式能力，為“提出問題”形成積極的心理準(zhǔn)備狀態(tài)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)靠“悟道”和“練到”?！氨驹詥栴}有助于悟道理解，變式問題有助于練到理解”[2]。如果說問題（3）的解決是一種客觀經(jīng)驗(yàn)支配的結(jié)果，那么問題（4）則是一種辨別編碼和內(nèi)化編碼的具體表現(xiàn)，有助于場獨(dú)立認(rèn)知風(fēng)格學(xué)生的思維縱向貫通，提高語言等值轉(zhuǎn)化的能力，促進(jìn)高階思維的發(fā)展。當(dāng)然，任何“悟道”與“練到”都始于對(duì)知識(shí)價(jià)值的追求。所以，教學(xué)不僅僅是教做題，也不是教會(huì)做題，而是教變式、教方法、教思想，這才是學(xué)習(xí)的根基。

3.命題變式編碼，讓學(xué)生在“說”中建立事實(shí)經(jīng)驗(yàn)

命題是通過判斷一件事情的語句來描述的。命題變式編碼包括兩個(gè)階段，在命題初期以顯性變式編碼為主，使得問題之間有一定的同一性。比如，例1中的問題（1）和問題（2）之間的概念關(guān)系就屬于顯性變式（全等變換→全等變換附加編碼）。命題應(yīng)用后期以隱性變式編碼為主，使得問題類型與問題情境不同（如例3中的圖7與備用圖之間的概念關(guān)系就屬于隱性變式），這樣可以促進(jìn)事實(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行縱向遷移。命題變式編碼是以“說”為內(nèi)在表征形式的，帶有強(qiáng)烈的“擬經(jīng)驗(yàn)”特征，不僅需要“顯性→隱性”的縱向遷移，還需要準(zhǔn)備恰當(dāng)?shù)摹爸悄懿僮鳌盵3]平臺(tái)（超級(jí)畫板、希沃白板等），方能將隱性命題變式的“不變性”直觀地揭示出來。這樣，學(xué)生才能在“說”和二次變式思考中，將“個(gè)體經(jīng)驗(yàn)”轉(zhuǎn)化為“事實(shí)經(jīng)驗(yàn)”。

片斷4 “命題變式”思維編碼過程如下（以例3為例）：

首先，根據(jù)題干信息，可知AB∶AC=AG∶AF=1∶，根據(jù)情境置于式編碼，不難知道∠BAG=∠FAC。至此，易知△BAG與△CAF相似。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可求得答案。

其次，結(jié)合題干信息，根據(jù)探究MN與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系的需要，必須添加輔助思維。即連接BM并延長至點(diǎn)H，使得HM=BM，連接HE、HF。根據(jù)“SAS”可判斷△BCM與△HFM全等。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與四邊形CBEF的內(nèi)角和的共性部分，在作差思想的參與下，不難知道∠BAE=∠HFE。根據(jù)“母子圖”的旋轉(zhuǎn)不變性、三角形全等變換的性質(zhì)，可知△BEH是等腰直角三角形。這樣，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，就可獲得正確答案。

最后，根據(jù)動(dòng)線問題，需要添加輔助線（如圖10）。即取線段AB的中點(diǎn)O，連接ON、OQ。這樣，根據(jù)動(dòng)線約束條件，不難知道線段QN掃過的面積是以點(diǎn)O為圓心、分別以O(shè)Q、ON為半徑的同心圓的圓環(huán)部分。這樣，結(jié)合問題（3）的已知條件，可知OQ-ON=3。繼而可求出動(dòng)線掃過的圖形面積為9π。

設(shè)計(jì)意圖：本題屬于命題變式編碼問題，可以作為“例題附加練習(xí)”來研究。這樣有助于學(xué)生在“相似變換”中獲得母子正方形的反常規(guī)視角，在“全等變換”附加編碼中獲得深度推理能力，在圖形變化中獲得將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的能力。

綜上，從心理學(xué)認(rèn)知論看，問題（1）與問題（2）之間屬于顯性命題變式，問題（1）與問題（3）之間屬于隱性命題變式。如果把“旋轉(zhuǎn)變換”作為“說”的思維主線，那么“相似變換→全等變換→動(dòng)線問題”則屬于擬經(jīng)驗(yàn)變式編碼，能促進(jìn)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)事實(shí)化。這樣的命題變式編碼過程帶有追本溯源的特征，有助于學(xué)生獲得變而不變的能力。這也是事實(shí)經(jīng)驗(yàn)得以轉(zhuǎn)化遷移的具體表現(xiàn)，是二次變式的必然結(jié)果。

三、“二次變式”的教學(xué)思考

變式是教師教學(xué)的“始基”，“二次變式”是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力體系。二次變式的“本原性”表現(xiàn)為源于教材、高于教材和超越教材，二次變式的“再造性”表現(xiàn)為情境置于編碼、語言等值編碼、聯(lián)結(jié)抽象編碼。

1.情境置于編碼——源于教材

“母子正方形”是源于教材的，兩個(gè)城市、三個(gè)年份試題考查的視角“南轅北轍”，這就是情境置于編碼的產(chǎn)物。在實(shí)際數(shù)學(xué)中，二次變式教學(xué)設(shè)計(jì)要基于教材，體現(xiàn)圍繞教材考的目標(biāo);要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)那榫尘幋a，突出概念方法體系的特點(diǎn)。上述3個(gè)例題中的問題（1）就是二次變式編碼的好例子。

2.語言等值編碼——高于教材

一堂好課，必須滿足源于教材、高于教材的二次變式認(rèn)知條件。語言等值編碼（提出、推理、表達(dá)）是學(xué)科教學(xué)的頂層設(shè)計(jì)（對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，指用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界），指向提出問題、反常規(guī)能力的培養(yǎng)。例3中的3個(gè)問題就揭示了教學(xué)的本體價(jià)值，不留痕跡地將“相似變換、全等變換、動(dòng)線軌跡”渾然天成。

3.聯(lián)結(jié)抽象編碼——超越教材

“會(huì)一題、通一類、連一片”是學(xué)科教學(xué)，特別是理科教學(xué)的理想狀態(tài)，是聯(lián)結(jié)抽象編碼的目標(biāo)對(duì)象，是超越教材的宗旨。利用智能平臺(tái)，進(jìn)行聯(lián)結(jié)式抽象編碼，讓學(xué)生經(jīng)歷“不變而變的形論，變而不變的數(shù)論”的過程，勢必能將“連一片”轉(zhuǎn)化成“學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)”，這就是二次變式的教學(xué)終極追求。

參考文獻(xiàn)

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*該文為江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)資助課題“初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)支持系統(tǒng)的構(gòu)建研究”（B-a/2020/02/42）的研究成果