王 棟，朱書月

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；2.中航西安飛機(jī)工業(yè)集團(tuán)股份有限公司，西安 710089）

圓形薄板是典型的工程結(jié)構(gòu)形式，在實(shí)際工程有廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，有關(guān)圓板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性及響應(yīng)的研究已有豐富的成果，采用解析或數(shù)值方法能有效地求解圓板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題[1－3]。這些方法的基本思路都是基于結(jié)構(gòu)的邊界條件，修改相應(yīng)的位移試函數(shù)或插值函數(shù)來(lái)獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。Liu和Lee[1]采用有限元法分析了三維圓板結(jié)構(gòu)(考慮厚度)的振動(dòng)頻率與振型。Gupta等[2]采用微分-積分方法分析了非均質(zhì)變厚度圓板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問(wèn)題。Zhou 等[3]利用對(duì)偶法求解固有頻率，從而求得了不同尺寸的圓形、環(huán)形和扇形薄板的振動(dòng)特性，并與有限元數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。石先杰等[4]采用譜幾何法建立彈性邊界條件下圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動(dòng)分析模型，并將求解結(jié)果與有限元法計(jì)算、實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了譜幾何法的精確性和有效性。陳美霞等[5]研究了彈性邊界條件下圓板的流-固耦合振動(dòng)特性，將圓板位移展開為級(jí)數(shù)形式，并采用速度勢(shì)函數(shù)描述流體運(yùn)動(dòng)。王忠民等[6]基于微分求積法分析了旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)于變系數(shù)的圓板的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)微分方程，采用微分求積法離散方程和邊界條件，分析了周邊固支、簡(jiǎn)支和自由3 種約束條件下旋轉(zhuǎn)圓板的前幾階復(fù)頻率值。

對(duì)于一般的結(jié)構(gòu)，支承不僅能起到固定結(jié)構(gòu)的作用，還能改變結(jié)構(gòu)的剛度分布及其動(dòng)力學(xué)性能，有效控制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。對(duì)于具有附加支承的薄板結(jié)構(gòu)，其相應(yīng)的動(dòng)力性能分析以及附加支承的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究也取得到了一定的成果。Wang[7]分析了環(huán)形支承圓板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)支承沿徑向發(fā)生移動(dòng)時(shí)，圓板結(jié)構(gòu)的模態(tài)會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)換。Zur[8]利用擬格林函數(shù)求解了具有固支、自由和簡(jiǎn)支邊界的功能梯度圓板振動(dòng)頻率問(wèn)題。綜合研究了邊界約束條件、體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、環(huán)支承位置和剛度對(duì)圓板固有頻率的影響。Kumar[9]總結(jié)了瑞利-里茲(Rayleigh–Ritz)法在結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)力分析與計(jì)算中的廣泛應(yīng)用。Wang 等[10]采用瑞利-里茲法對(duì)矩形板附加彈性支承的位置進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，計(jì)算了使薄板的基頻達(dá)到原系統(tǒng)的第2 階固有頻率所需的最小支承剛度值。通過(guò)求解特征方程的最小正值解，獲得了板的附加支承在最優(yōu)位置的最小剛度值。近期Wang 和Friswell[11]分析了附加支承附帶質(zhì)量對(duì)彈性支承最優(yōu)設(shè)計(jì)的影響。然而對(duì)于圓形薄板結(jié)構(gòu)附加彈性支承問(wèn)題，相關(guān)的研究成果卻比較少。附加支承對(duì)圓形薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)性能的影響也有待進(jìn)一步深入研究和分析。

本文采用瑞利-里茲法分析計(jì)算圓形薄板結(jié)構(gòu)附加彈性鉸(點(diǎn))支承時(shí)的振動(dòng)特性，保證支承位置能在結(jié)構(gòu)內(nèi)能連續(xù)移動(dòng)，不受有限元法網(wǎng)格劃分的限制。采用正交梁多項(xiàng)式作為圓板的徑向位移試函數(shù)，用完整的傅里葉級(jí)數(shù)作為圓板周向位移試函數(shù)，確保圓板結(jié)構(gòu)的對(duì)稱與反對(duì)稱模態(tài)能完備地獲取。通過(guò)與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。隨后分析了附加支承的數(shù)量、剛度和位置對(duì)圓板固有頻率的影響，探討了圓板結(jié)構(gòu)第一階固有頻率與附加支承分布對(duì)稱性的變化情況。

1 圓板彎曲振動(dòng)基本方程

如圖1 所示，假設(shè)一個(gè)厚度均勻的彈性圓環(huán)形薄板結(jié)構(gòu)作橫向自由振動(dòng)，板內(nèi)有一個(gè)彈性鉸支承與基礎(chǔ)相連。圓環(huán)形薄板的外半徑是a，內(nèi)半徑是b，內(nèi)外半徑之比為c=b/a，厚度為h。在極坐標(biāo)r?θ平面內(nèi)，支承位置為p(rs，θs)。根據(jù)克?；舴虮“謇碚?Kirchhoff hypothesis)，在極坐標(biāo)系下圓環(huán)形薄板的自由振動(dòng)特征方程為[3]：

圖1 圓環(huán)形薄板結(jié)構(gòu)附加一個(gè)彈性支承

式中：ω表示結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)頻率，D=D=是薄板的彎曲剛度，E是材料的彈性模量，μ是泊松比，ρ是材料體積密度。ks是附加支承的剛度系數(shù)，δ(?)是Dirac Delta函數(shù)。為了避免分析計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)分母為零的情況，本文將圓形板近似成內(nèi)半徑b極小的環(huán)形薄板。

根據(jù)瑞利-里茲法，本文將圓(環(huán))形薄板的橫向位移函數(shù)W(r,θ)近似表達(dá)為：

式中：φm(r)、ψn(θ)和χn(θ)分別表示圓板沿徑向與周向的位移試函數(shù)，并且φm(r)至少要滿足圓環(huán)板內(nèi)外邊界幾何約束條件。M和N為沿著徑向與周向位移試函數(shù)所取的項(xiàng)數(shù)。未知系數(shù)Amn與Bmn將由振動(dòng)特征方程確定。對(duì)于彈性圓形薄板，根據(jù)其振動(dòng)模態(tài)對(duì)稱性的特點(diǎn)，本文在圓板兩個(gè)方向上分別取不同形式的位移試函數(shù)。

2 位移試函數(shù)選取

2.1 徑向位移試函數(shù)

采用正交梁特征多項(xiàng)式作為圓板沿徑向的位移試函數(shù)[12]。根據(jù)圓板的內(nèi)外邊界約束情況，先獲得等效的梁的邊界約束條件，從而確定初始的位移試函數(shù)φ1(ξ)。再根據(jù)Gram-Schmidt遞歸過(guò)程構(gòu)造其他各項(xiàng)位移試函數(shù)：

其中各項(xiàng)試函數(shù)應(yīng)滿足正交性條件：

根據(jù)以上條件，試函數(shù)構(gòu)造式中的系數(shù)Bk和Ck分別為：

定義φ0(ξ)為0。而初始位移試函數(shù)φ1(ξ)按如下多項(xiàng)式分別構(gòu)造：

其中的系數(shù)aj(j=1，…，5)按照?qǐng)A環(huán)徑向內(nèi)、外邊界約束，根據(jù)等效梁的邊界條件確定[12]。各典型約束邊界對(duì)應(yīng)的系數(shù)如表1所示。

表1 邊界約束條件與初始位移函數(shù)中的系數(shù)

對(duì)于圓板結(jié)構(gòu)，由于采用的是內(nèi)半徑極小的圓環(huán)板來(lái)近似圓形薄板，因此其位移試函數(shù)的內(nèi)邊界全部按自由狀態(tài)選取，允許圓板的圓心自由變形。實(shí)際只需考慮圓形薄板外邊界的約束狀況即可。

2.2 周向位移試函數(shù)

由于圓板沿周向位移函數(shù)需要滿足對(duì)稱性的條件，因此在式(2)中采用完整的傅里葉級(jí)數(shù)作為位移容許函數(shù)：

同時(shí)引入傅里葉級(jí)數(shù)的正弦和余弦函數(shù)，希望能很好地模擬彈性圓板的振動(dòng)特性，特別是要準(zhǔn)確獲得沿圓周方向的正、反對(duì)稱模態(tài)，以及重合的結(jié)構(gòu)固有頻率信息。

此外，所取的位移試函數(shù)項(xiàng)數(shù)也影響到本文所用方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，一般要根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特點(diǎn)設(shè)置合理的項(xiàng)數(shù)。經(jīng)過(guò)多次試算和收斂性分析，本文在各坐標(biāo)軸方向上分別選取了7 項(xiàng)，所得頻率計(jì)算結(jié)果基本達(dá)到了穩(wěn)定。

3 頻率特征方程的建立

為了抑制薄板的振動(dòng)水平，在保持原結(jié)構(gòu)不變的情形下，可以采取附加支承的方式改變板的固有頻率和振型[10]。假設(shè)鉸支承是無(wú)質(zhì)量的，用一個(gè)橫向線彈簧表示，如圖1所示。在極坐標(biāo)系統(tǒng)下，附加一個(gè)彈性鉸支承時(shí)，圓板的最大彈性勢(shì)能可表示成[3]：

其最大的動(dòng)能表達(dá)式為：

根據(jù)瑞利-里茲方法，彈性圓板結(jié)構(gòu)橫向自由振動(dòng)的拉格朗日函數(shù)L=Umax-Tmax對(duì)系數(shù)Amn與Bmn的變化應(yīng)取極值[12]：

進(jìn)行無(wú)量綱化處理后即得到以下頻率特征方程：

式中：無(wú)量綱化的彈性支承剛度系數(shù)γs為：

固有頻率參數(shù)：

支承等效剛度矩陣中各項(xiàng)分別由式(16)至式(18)計(jì)算：

圓板結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量矩陣中各項(xiàng)計(jì)算見本文附錄。

根據(jù)以上推導(dǎo)結(jié)果，當(dāng)附加多個(gè)鉸支承時(shí)，只需要在圓板結(jié)構(gòu)剛度矩陣的基礎(chǔ)上疊加各支承的等效剛度矩陣，構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的剛度矩陣即可。通過(guò)求解頻率特征方程式(13)，可得到具有支承情況下系統(tǒng)的固有頻率與振型。若將支撐剛度系數(shù)值設(shè)為零γs=0，即可得到無(wú)附加支承時(shí)圓板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。此外，在給定系統(tǒng)的固有頻率和支撐位置的情形下，還可以求解所需的附加支撐剛度[10－11]。

4 數(shù)值算例分析

為了驗(yàn)證本文提出的位移試函數(shù)選取結(jié)果的可行性和完備性，以及頻率特征方程式(13)推導(dǎo)的正確性，下面對(duì)幾個(gè)典型數(shù)值算例進(jìn)行分析，并與有限元Ansys計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。采用有限元網(wǎng)格沿圓板徑向均勻劃分40個(gè)單元，沿周向均勻劃分36個(gè)單元，共有144 個(gè)四節(jié)點(diǎn)板單元。假設(shè)彈性圓形薄板的厚度h=0.01 m，外半徑a=1 m，內(nèi)外半徑之比c=0.000 1。材料的彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=7 850 kg/m3。

4.1 附加支承對(duì)圓板固有頻率的影響

考慮幾種典型邊界約束條件，計(jì)算附加支承在不同位置、不同剛度以及不同數(shù)量情形下圓形薄板結(jié)構(gòu)的固有頻率。

(1)圓心處附加1個(gè)彈性鉸支承，支承剛度系數(shù)γs=2。各經(jīng)典邊界條件的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 圓心處附加一個(gè)彈性支承時(shí)圓板的固有頻率λi計(jì)算結(jié)果

(2)邊界條件為簡(jiǎn)支，在rs=0.5 m處沿周向分別均勻分布3 個(gè)(相差2π/3)或4 個(gè)(相差π/2)等剛度的彈性鉸支承，如圖2所示。支承剛度γs=2，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

圖2 圓板結(jié)構(gòu)均勻附加3個(gè)或4個(gè)鉸支承

(3)邊界條件為簡(jiǎn)支時(shí)，在rs=0.4 m處沿周向均布4 個(gè)等剛度的彈性鉸支承，無(wú)量綱支承剛度分別為γs=2和γs=5。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

分析比較以上3 種情形的頻率計(jì)算結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

(1)本文提出的位移試函數(shù)能夠很好地模擬圓板的橫向振動(dòng)狀況。圓板固有頻率的重合情況(對(duì)應(yīng)于正、反對(duì)稱模態(tài))都能被完整地呈現(xiàn)出來(lái)。

(2)當(dāng)支承位置不在結(jié)構(gòu)振型的節(jié)點(diǎn)或節(jié)線上時(shí)，附加支承可以使結(jié)構(gòu)的固有頻率升高。附加支承的數(shù)量越多，圓板結(jié)構(gòu)的固有頻率升高也越多，如表3 中結(jié)果所示。這是由于支承的數(shù)量越多，振動(dòng)系統(tǒng)總體剛度越大，結(jié)構(gòu)的固有頻率自然會(huì)越高。

(3) 支承剛度越大，彈性圓板的固有頻率也越高，如表4 中結(jié)果所示。但若將附件支承置于某一階振型的節(jié)線上，固有頻率不會(huì)因附加支承剛度的存在而改變，如表4中的第4階固有頻率。

(4)附加支承的位置對(duì)圓板結(jié)構(gòu)的固有頻率也會(huì)有影響。從表3 和表4 中附加4 個(gè)支承的結(jié)果可知，在支承剛度相同的情況下(γs=2)，支承位置分別在rs=0.4 和0.5 m 處，圓板結(jié)構(gòu)的固有頻率(特別是第1階固有頻率)升高程度并不相同。

表3 附加不同數(shù)量彈性支承時(shí)簡(jiǎn)支圓板固有頻率λi計(jì)算結(jié)果

表4 附加4個(gè)彈性支承時(shí)簡(jiǎn)支圓板固有頻率λi計(jì)算結(jié)果

4.2 支承位置分布對(duì)稱性對(duì)圓板固有頻率的影響

以下以3個(gè)附加支承為例，分別探討其中1個(gè)支承的徑向位置坐標(biāo)rs以及周向位置坐標(biāo)θs改變時(shí)，自由邊界圓板結(jié)構(gòu)第1階固有頻率變化情況。

(1)沿周向均勻分布3個(gè)等剛度的彈性支承，支承剛度γs=2。其中2 個(gè)支承固定在rs=0.5 m 處，另1個(gè)支承可沿著徑向移動(dòng)，如圖3所示。

圖3 自由圓板附加3個(gè)支承(其中1個(gè)支承的徑向位置坐標(biāo)可變)

隨著其中1個(gè)支承的移動(dòng)，3個(gè)附加支承的分布不再具有對(duì)稱性。圖4 示出了圓板的第1 階固有頻率與其中1個(gè)支承位置徑向坐標(biāo)變化的關(guān)系曲線。隨著位置坐標(biāo)從0逐漸增大，圓板結(jié)構(gòu)的固有頻率持續(xù)增大，當(dāng)這個(gè)支承位于=0.5 m 處時(shí)，此時(shí)3 個(gè)支承的位置剛好是對(duì)稱分布，結(jié)構(gòu)的第1 階固有頻率上升到最大值(λ1=0.963 1)。此后隨著支承的繼續(xù)移動(dòng)，第1階固有頻率不再改變。

圖4 附加3個(gè)等剛度的支承時(shí)，其中1個(gè)支承的徑向位置坐標(biāo)與結(jié)構(gòu)固有頻率關(guān)系曲線

出現(xiàn)這種情況的原因是，當(dāng)<0.5 m 時(shí)，第1 階振型的節(jié)線不會(huì)通過(guò)該移動(dòng)支承所在點(diǎn)，如圖5(a)所示，因此移動(dòng)該支承將影響圓板的第1 階固有頻率；當(dāng)≥0.5 m 時(shí)，第1 階振型的節(jié)線剛好通過(guò)該支承位置，移動(dòng)該支承并不影響圓板結(jié)構(gòu)第1 階固有頻率，如圖5(b)圖所示。

圖5 支承在不同位置時(shí)自由圓板結(jié)構(gòu)第1階振型

(2)在rs=0.5 m 處，沿周向分別布置3 個(gè)等剛度的支承γs=2。其中2 個(gè)支承固定在θ=±2π/3 處，另1個(gè)支承在θ=0 軸線附近沿周向移動(dòng)，即該支承周向坐標(biāo)θs可變，如圖6所示。

圖6 自由圓形薄板附加3個(gè)支承(其中1個(gè)支承的周向坐標(biāo)θs可變)

圖7 示出了圓板的第1 階固有頻率隨其中1 個(gè)支承周向位置坐標(biāo)θs變化的曲線。

圖7 附加3個(gè)等剛度的支承時(shí)，其中1個(gè)支承的周向位置坐標(biāo)與結(jié)構(gòu)固有頻率關(guān)系曲線

可見，支承周向位置偏移對(duì)圓板結(jié)構(gòu)第1 階固有頻率影響較大。只有當(dāng)這個(gè)支承位于θs=0 的位置，即3個(gè)附加支承沿周向?qū)ΨQ分布時(shí)，圓板結(jié)構(gòu)的第1 階固有頻率才達(dá)到最大值(λ1=0.963 1)。否則，圓板結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率會(huì)顯著下降。

由以上計(jì)算結(jié)果可知：附加支承沿徑向和周向分布狀況對(duì)圓形薄板結(jié)構(gòu)第1階固有頻率有很大的影響。只有當(dāng)附加支承的分布具有對(duì)稱性時(shí)，圓板結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率值才能達(dá)到最大值。若由于某種客觀原因支承無(wú)法對(duì)稱分布時(shí)，圓板結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率有可能會(huì)顯著下降。因此應(yīng)盡量保持支承靠近對(duì)稱點(diǎn)，以使附加支承能充分發(fā)揮作用。

5 結(jié)語(yǔ)

本文采用瑞利-里茲法計(jì)算了圓形薄板附加支承時(shí)，不同約束邊界條件下結(jié)構(gòu)的固有頻率。用正交梁多項(xiàng)式作為圓板徑向位移試函數(shù)，用傅里葉級(jí)數(shù)作為圓板周向試函數(shù)，保證計(jì)算結(jié)果的完備性和正確性，準(zhǔn)確模擬圓板結(jié)構(gòu)固有頻率的重合現(xiàn)象。

計(jì)算結(jié)果表明：

(1)附加支承的剛度、數(shù)量和位置與結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能緊密相關(guān)。改變附加支承的設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性會(huì)有很大的影響。

(2) 在支承剛度、數(shù)量等其他條件不變的情況下，對(duì)稱分布的支承布局可以更有效地提高結(jié)構(gòu)的固有頻率。