核心問題：催動(dòng)高中生數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)

謝友誼

［摘? 要］ 核心問題是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體、媒介，對高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)揮著驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)、監(jiān)督、調(diào)節(jié)、促進(jìn)等作用. 核心問題具有指向性、針對性、實(shí)效性等特性. 可在知識(shí)關(guān)聯(lián)處、遷移處以及學(xué)生的思維障礙和難點(diǎn)處研發(fā)設(shè)計(jì). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要關(guān)注并應(yīng)用核心問題以驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究.

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；核心問題；自主學(xué)習(xí)

“問題”是數(shù)學(xué)的心臟，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“動(dòng)力引擎”［1］. 問題不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體、媒介，也能給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供內(nèi)在動(dòng)能. 傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，往往追求“高速度”“高難度”（巴班斯基語），因而問題往往由教師提出，并且所提問題呈現(xiàn)一種散點(diǎn)、多發(fā)、孤立的狀態(tài). 這樣的一種“問題教學(xué)”，僅僅能讓學(xué)生獲得相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，卻不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的發(fā)掘. 核心問題，是一類關(guān)鍵性、節(jié)點(diǎn)性問題，它不僅關(guān)涉數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，而且將相關(guān)的學(xué)科知識(shí)聯(lián)系起來，能推動(dòng)學(xué)生展開自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 以核心問題為載體、媒介，能有效助推學(xué)生展開高階創(chuàng)新學(xué)習(xí).

核心問題：內(nèi)涵及特質(zhì)

所謂核心問題，如上所述，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“中心問題”“基本問題”，也指能點(diǎn)燃學(xué)生思維火花的問題. 一方面，核心問題要關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，另一方面要切入學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心問題往往就是“眼睛”，既是“課眼”，是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“脈絡(luò)”，也是一根綿綿的“紅線”，對于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，核心問題往往能起到“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的作用.

1. 核心問題具有指向性

核心問題往往關(guān)涉數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，因而具有一種鮮明的指向性. 借助核心問題，學(xué)生不僅能把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的、隱性的關(guān)系，還能把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)等. 這是數(shù)學(xué)核心問題最為鮮明的功能和作用. 比如教學(xué)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時(shí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，筆者將核心問題定位于“描述橢圓”. 由于學(xué)生對橢圓的認(rèn)識(shí)大多源于生活經(jīng)驗(yàn)，因而這一核心問題，對于引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中抽象、描述橢圓圖形，并對橢圓圓扁程度、橢圓對稱性的探究以及橢圓與圓的區(qū)分等都具有積極作用. 這一核心問題的設(shè)定，不僅能讓學(xué)生快速有效地認(rèn)識(shí)橢圓，而且能培育學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的大腦”，讓學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”觀察生活，用“數(shù)學(xué)的大腦”考量世界.

2. 核心問題具有針對性

核心問題不僅關(guān)涉數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，還關(guān)涉學(xué)生的認(rèn)知水平、思維思路等具體學(xué)情. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在著諸多疑點(diǎn)、盲點(diǎn). 而核心問題就能有效引導(dǎo)學(xué)生突破認(rèn)知心理障礙，消解學(xué)生認(rèn)知疑點(diǎn)、盲點(diǎn). 從這個(gè)意義來說，核心問題具有針對性. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要精心設(shè)計(jì)核心問題，還要利用核心問題促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極遷移. 作為教師，要找準(zhǔn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知誤區(qū)、知識(shí)斷層等，努力借助核心問題厘清學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，消弭學(xué)生的認(rèn)知誤區(qū)，彌補(bǔ)學(xué)生的知識(shí)斷層，使學(xué)生從根本上理解數(shù)學(xué)概念，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階. 比如教學(xué)“組合”這一部分內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)“分類計(jì)數(shù)原理”“分步計(jì)數(shù)原理”“排列”等相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上展開的. 以“求借書、選干部的不同方法”作為核心問題，既能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)概括已學(xué)內(nèi)容，又能促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與方法等關(guān)聯(lián)起來. 換言之，這樣具體的實(shí)際問題能讓學(xué)生把握排列與組合的異同，能讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)對比思考，能促進(jìn)學(xué)生思考與解決數(shù)學(xué)問題綜合能力的提升.

3. 核心問題具有實(shí)效性

核心問題的一個(gè)重要作用、功能就是讓學(xué)生在“山窮水盡”時(shí)“柳暗花明”，在“踏破鐵鞋”時(shí)“不費(fèi)工夫”. 核心問題往往因?yàn)槟艹了季S、認(rèn)知，讓學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生一種“茅塞頓開”“豁然開朗”的感覺，讓學(xué)生“見所未見”“悟所未悟”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升，助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成. 核心問題不僅能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，還能幫助學(xué)生探尋到解決問題的路徑、策略，從而豐盈學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的厚度. 比如教學(xué)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)核心問題：①研究一般性問題時(shí)，我們常常從特殊的例子開始. 你能否舉幾個(gè)簡單的等差數(shù)列求和的例子？②上述等差數(shù)列求和，你用的是怎樣的方法？③數(shù)學(xué)史上有這樣的例子嗎？通過這樣幾個(gè)核心問題引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)變得順其自然. 同時(shí)，核心問題能有效助推學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法. 借助核心問題，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及綜合素養(yǎng)等.

核心問題不同于傳統(tǒng)課堂教學(xué)中過多、過淺、過濫的問題，而是能引發(fā)學(xué)生深度思考、深入探究的問題. 在研發(fā)、設(shè)計(jì)、應(yīng)用核心問題的過程中，教師要始終立足學(xué)生的“學(xué)”，基于學(xué)生的“學(xué)”，努力借助核心問題去培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力和必備品格.

核心問題：研發(fā)及設(shè)計(jì)

研發(fā)設(shè)計(jì)核心問題，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)情. 一般來說，核心問題可以在知識(shí)的關(guān)聯(lián)處研發(fā)設(shè)計(jì)，可以在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)處研發(fā)設(shè)計(jì)，還可以在學(xué)生認(rèn)知障礙、認(rèn)知疑點(diǎn)、認(rèn)知盲點(diǎn)處研發(fā)設(shè)計(jì). 核心問題的研發(fā)設(shè)計(jì)，要讓核心問題發(fā)揮統(tǒng)領(lǐng)、助推、引導(dǎo)、啟迪等作用.

1. 在知識(shí)關(guān)聯(lián)處研發(fā)設(shè)計(jì)

知識(shí)關(guān)聯(lián)不僅指知識(shí)橫向關(guān)聯(lián)，還包括知識(shí)縱向關(guān)聯(lián). 關(guān)聯(lián)是多層次、多層面的，它不僅包括新舊知識(shí)關(guān)聯(lián)，還包括知識(shí)與學(xué)生生活關(guān)聯(lián). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深刻把握這些知識(shí)關(guān)聯(lián)，找出其中的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”“鏈接點(diǎn)”. 在知識(shí)關(guān)聯(lián)處研發(fā)設(shè)計(jì)核心問題，能有效助推學(xué)生自主自能學(xué)習(xí). 在知識(shí)關(guān)聯(lián)處研發(fā)設(shè)計(jì)核心問題，要把握學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)的邏輯起點(diǎn)、生長點(diǎn). 只有這樣，才能促使學(xué)生認(rèn)知不斷進(jìn)階、發(fā)展. 比如教學(xué)“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣的核心問題：探求平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程. 這樣的核心問題，指向明確、目標(biāo)明確，同時(shí)建立在新知和學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)處——由于學(xué)生掌握了與圓、橢圓、雙曲線相關(guān)的知識(shí)、方法、探索程序等，因此容易針對核心問題提出相應(yīng)的猜想并積極深入研究拋物線的幾何性質(zhì). 這樣一種核心問題的研發(fā)設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生舉一反三、觸類旁通.

2. 在知識(shí)遷移處研發(fā)設(shè)計(jì)

所謂“遷移”，簡單地說就是“一種學(xué)習(xí)對于另一種學(xué)習(xí)的影響”［2］. 在高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遷移包括正向遷移和負(fù)向遷移. 作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生展開正向遷移，消除負(fù)向遷移. 通過遷移，一方面引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新知，另一方面引導(dǎo)學(xué)生鞏固、復(fù)習(xí)舊知. 從這個(gè)意義來說，正向遷移具有雙重意義和雙重價(jià)值. 在知識(shí)遷移處研發(fā)設(shè)計(jì)核心問題，教師要善于把握學(xué)生的認(rèn)知障礙、思維困惑、認(rèn)知疑點(diǎn)、認(rèn)知盲點(diǎn)，為學(xué)生的正向遷移鋪平道路. 比如教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”時(shí)，筆者先給學(xué)生展示了某市一天內(nèi)的氣溫變化曲線圖，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試觀察、描述天氣，然后提出了這樣的核心問題：從數(shù)學(xué)的角度來看，如何描述函數(shù)圖象的上升與下降的幾何特征？這樣的核心問題，能引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角、用數(shù)學(xué)的眼光來描述，促使學(xué)生將目光投向即將學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性. 函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)能讓學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法.

3. 在思維障礙處研發(fā)設(shè)計(jì)

核心問題還可以在學(xué)生思維困惑、認(rèn)知障礙處研發(fā)設(shè)計(jì). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要及時(shí)跟進(jìn)、主動(dòng)介入學(xué)生學(xué)習(xí). 只有這樣，才能在學(xué)生思維困惑、認(rèn)知障礙處設(shè)計(jì)核心問題，才能借助核心問題助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 發(fā)掘核心問題，能有效培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“關(guān)鍵能力”，養(yǎng)成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“必備品格”. 比如教學(xué)“用‘二分法’求方程的近似解”時(shí)，有這樣的一道題：求方程lnx+x-3=0的近似解（誤差不超過0.1）. 筆者經(jīng)過學(xué)情調(diào)查，研發(fā)設(shè)計(jì)了這樣的引導(dǎo)性問題以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知水平從低階邁向高階：怎樣確定函數(shù)f（x）=lnx+x-3的零點(diǎn)大致所在區(qū)間？如何縮小零點(diǎn)所在區(qū)間？用“二分法”在什么情況下才能滿足精確度要求？用“二分法”求方程近似解的一般步驟是什么？在這個(gè)過程中，通過這樣幾個(gè)核心問題的引導(dǎo)，學(xué)生自然掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法.

核心問題：評價(jià)及應(yīng)用

核心問題往往是一個(gè)“母問題”，它能生發(fā)出其他相關(guān)的“子問題”. 對于核心問題的研發(fā)設(shè)計(jì)，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生積極反思、反饋和評價(jià). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心問題往往能引導(dǎo)學(xué)生思維、認(rèn)知、探索，從“淺表”走向“深層”，從“被動(dòng)”走向“主動(dòng)”. 正如教育家尼爾·波斯特曼所說，“一旦你學(xué)會(huì)了提問，掌握了提出恰當(dāng)?shù)?、?shí)質(zhì)性的、有意義的問題的方法，你就掌握了學(xué)習(xí)的技巧. ”

1. 用核心問題催生學(xué)生深度思考

核心問題最為突出的一個(gè)作用，就是可以激發(fā)學(xué)生思維，催促學(xué)生思考. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，所提問題往往比較瑣碎、零散，這樣傳統(tǒng)的問題教學(xué)，不利于催促學(xué)生深度思考. 正如著名教育家蘇霍姆林斯基所說，“在腦力活動(dòng)中，重要的不是看書，不是去記住別人的思想，而是要讓學(xué)生自己去思考.”比如筆者所在學(xué)校舉行的“同課異構(gòu)”活動(dòng)，幾位教師執(zhí)教“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”時(shí)，都應(yīng)用了核心問題教學(xué). 其中一位教師設(shè)計(jì)的問題是這樣的：你能用單位圓中的幾何性質(zhì)推導(dǎo)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式嗎？這樣的問題過于籠統(tǒng)，指向性不強(qiáng)，因而使學(xué)生“摸不著頭腦”，不知道從何處思考、怎樣思考. 而另一位教師設(shè)計(jì)的問題是這樣的：α的終邊和－α的終邊與單位圓的交點(diǎn)有什么關(guān)系？你能得出sinα與sin（－α）之間的關(guān)系嗎？這樣的問題又過于簡單、過于封閉，使學(xué)生的思維無法擺動(dòng). 如何用核心問題激發(fā)學(xué)生深度思考？筆者認(rèn)為，核心問題應(yīng)切入學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“現(xiàn)實(shí)水平”提升至“可能水平”. 只有這樣，才能助推學(xué)生思維、認(rèn)知不斷進(jìn)階.

2. 用核心問題催促學(xué)生深度探究

核心問題能開啟學(xué)生“深度研究”“深度探索”“深度體驗(yàn)”“深度感悟”之旅. 核心問題對于學(xué)生的數(shù)學(xué)探究、感悟等應(yīng)當(dāng)具有指向性、針對性和實(shí)效性. 為此，教師要善于捕捉學(xué)生的探究節(jié)點(diǎn)，在學(xué)生探究關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處設(shè)置核心問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度. 南京大學(xué)鄭毓信教授認(rèn)為，核心問題應(yīng)該少而精，具有一定的思維含金量，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有指引性、生長性. 比如教學(xué)“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣的核心問題：怎樣像橢圓一樣探究雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程？這樣的問題，盡管看起來比較籠統(tǒng)，卻為學(xué)生思考、探究、遷移、應(yīng)用指明了方向，他們會(huì)回顧橢圓的研究過程來研究雙曲線；這樣的問題，賦予學(xué)生充分自主思考、探究的時(shí)空與權(quán)利；這樣的問題，提升了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力.

核心問題是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要支撐，也是載體、媒介. 對高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，核心問題發(fā)揮著驅(qū)動(dòng)、調(diào)節(jié)、引導(dǎo)、監(jiān)督、促進(jìn)等多項(xiàng)功用. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要精心研發(fā)設(shè)計(jì)核心問題，有效應(yīng)用反思評價(jià)核心問題. 以核心問題為載體、媒介，有效助推學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考、深度探究. 借助核心問題，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階，促進(jìn)教師教學(xué)轉(zhuǎn)型升級(jí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭華. 深度學(xué)習(xí)及其意義［J］. 課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

［2］ 余文森. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)：深度化策略［M］. 上海：上海教育出版社，2017.