數(shù)學(xué)活動(dòng)

張愛友

[摘? 要] 活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的主要方式，也是學(xué)生數(shù)學(xué)智慧生成的源泉. 借助于數(shù)學(xué)化的活動(dòng)，不僅能讓學(xué)生獲得相關(guān)的知識(shí)，更能培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法. 以數(shù)學(xué)活動(dòng)為載體培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，可以鏈接生活，可以借力技術(shù)，可以優(yōu)化導(dǎo)圖，可以催生反思. 教師要深入地發(fā)掘活動(dòng)因子，優(yōu)化組織好數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)活動(dòng)能夠個(gè)性化地建構(gòu)學(xué)生的“數(shù)學(xué)課程”.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)活動(dòng);數(shù)學(xué)思想;良好載體

活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體、媒介，是學(xué)生數(shù)學(xué)智慧生成的根源[1]. 活動(dòng)也是學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的主要方式，是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的重要載體. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)、研發(fā)高質(zhì)量的活動(dòng)，以便借助于活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深度思考、探究，讓學(xué)生在活動(dòng)中形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”. 當(dāng)下的數(shù)學(xué)活動(dòng)，一個(gè)最為突出的問題是“數(shù)學(xué)味”的缺失. 如何讓數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿“數(shù)學(xué)味”？筆者認(rèn)為，一個(gè)重要的方法就是要讓數(shù)學(xué)活動(dòng)能體現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)活動(dòng)真正成為培育學(xué)生數(shù)學(xué)思想的載體. 高質(zhì)量的、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)活動(dòng)，往往同時(shí)能夠成為學(xué)生的生命實(shí)踐的確證與表征，成為學(xué)生的本質(zhì)力量的全面解放與舒展.

鏈接“生活”，讓學(xué)生實(shí)踐數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種學(xué)習(xí)過程. 一般來說，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中需要經(jīng)歷兩個(gè)過程：其一是將生活化的內(nèi)容提煉、抽象、概括成數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是“橫向數(shù)學(xué)化”;其二是在數(shù)學(xué)世界中對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行再塑造、再提煉、再建構(gòu)，這就是“縱向數(shù)學(xué)化”. 鏈接學(xué)生的生活，就是要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程（包括橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化）. 只有經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)化”，才能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想，尤其是數(shù)學(xué)化、符號(hào)化、公理化、形式化的思想.

比如教學(xué)“銳角三角函數(shù)”這一部分內(nèi)容之后，我們引導(dǎo)學(xué)生開展了一次“測(cè)量物體的高度”的數(shù)學(xué)活動(dòng). 活動(dòng)中，我們首先創(chuàng)設(shè)了問題情境，讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)性的問題情境中提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題：如何測(cè)量旗桿的高度？如何測(cè)量大樹的高度？如何測(cè)量教學(xué)樓的高度？在此基礎(chǔ)上，我們引導(dǎo)學(xué)生提出相關(guān)的測(cè)量方法，并對(duì)相關(guān)的方法去粗取精、去偽存真，得到大家認(rèn)可的“銳角三角函數(shù)法”. 在此基礎(chǔ)上，我們引導(dǎo)學(xué)生成立活動(dòng)小組，準(zhǔn)備測(cè)量器械，并且在測(cè)量中展開研討，形成科學(xué)的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)方案. 在這個(gè)過程中，教師要及時(shí)跟進(jìn)、適度介入，對(duì)學(xué)生的活動(dòng)進(jìn)行有效指導(dǎo)，但是不能越俎代庖. 教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生活動(dòng)中存在的相關(guān)問題，并進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo). 由于采用分組活動(dòng)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生展開小組之間的互動(dòng)、交流、展示、匯報(bào)，對(duì)相關(guān)的方法的優(yōu)劣進(jìn)行研討，對(duì)之做出積極合理的評(píng)價(jià). 通過評(píng)價(jià)，不斷地優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累相關(guān)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在活動(dòng)中，學(xué)生充分地體驗(yàn)到將一個(gè)生活中現(xiàn)實(shí)性的問題數(shù)學(xué)化的方法，也體驗(yàn)到一種對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化的普遍性數(shù)學(xué)思想. 這樣一種數(shù)學(xué)化的方法是學(xué)生受益終身的數(shù)學(xué)思想方法，它能讓學(xué)生在生活中“用數(shù)學(xué)的眼光來打量事物”、“用數(shù)學(xué)的大腦來考量事物”.

數(shù)學(xué)活動(dòng)中所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能等會(huì)融入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)之中，而數(shù)學(xué)思想方法則會(huì)沉積到學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)之中，成為一只“看不見的手”，有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用等. 這種促進(jìn)作用是無形的、自然的. 正是在這個(gè)意義上，荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說，“與其說學(xué)生是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說學(xué)生是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化;與其說學(xué)生是學(xué)習(xí)公理，毋寧說學(xué)生是學(xué)習(xí)公理化;與其說學(xué)生是學(xué)習(xí)形式，毋寧說學(xué)生是學(xué)習(xí)形式化;與其說學(xué)生是學(xué)習(xí)符號(hào)，毋寧說學(xué)生是學(xué)習(xí)符號(hào)化”[2].

借力“技術(shù)”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想

技術(shù)是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的現(xiàn)代化的支撐. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，往往依靠簡單的、質(zhì)樸的數(shù)學(xué)學(xué)具. 在“互聯(lián)網(wǎng)”“大數(shù)據(jù)”“新媒體”“新技術(shù)”的時(shí)代背景下，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，可以借助于這些“網(wǎng)絡(luò)”“技術(shù)”“媒體”. 相比較于傳統(tǒng)的媒體，新媒體、新技術(shù)引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更生動(dòng)、更形象、更直觀. 新技術(shù)、新媒體，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)更豐富、更有趣、更靈動(dòng).

比如教學(xué)“四點(diǎn)共圓的條件”時(shí)，教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生展開合理性的猜想，如“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”;如“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”. 在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的特殊的四邊形進(jìn)行探究，如“平行四邊形的四點(diǎn)共圓”“梯形的四點(diǎn)共圓”等. 而在探究“平行四邊形的四點(diǎn)共圓”這一猜想時(shí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生從“邊特殊的四邊形——菱形”、“角特殊的四邊形——長方形”以及“邊角都特殊的四邊形——正方形”等特殊的圖形開始. 相比較于一般性的探究，這種從“特殊”到“一般”的逐步探究，有助于啟發(fā)學(xué)生更有效地思考. 在這個(gè)過程中，教師可以引入幾何畫板等相關(guān)的軟件，對(duì)相關(guān)的猜想一一進(jìn)行直觀性的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 在對(duì)特殊的結(jié)論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些特殊的結(jié)論進(jìn)行歸納，進(jìn)而形成一種理論性的推導(dǎo)認(rèn)識(shí)，即“將四點(diǎn)共圓的問題轉(zhuǎn)化為不共線的三點(diǎn)確定的圓與第四個(gè)頂點(diǎn)之間的關(guān)系，從而應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，讓猜想從一般性的意義上獲得證明”. 通過這樣的實(shí)驗(yàn)與理論交互結(jié)合的論證，從而能讓學(xué)生深刻地感受、體驗(yàn)這種“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想. 在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽地猜想，積極主動(dòng)地嘗試驗(yàn)證. 在這個(gè)過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地分析問題、轉(zhuǎn)化問題.

借助于現(xiàn)代化新技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，能提高教學(xué)活動(dòng)質(zhì)量. 同時(shí)，能將學(xué)生操作的過程與思考的過程進(jìn)行有機(jī)整合. 技術(shù)不僅僅是學(xué)生活動(dòng)的支撐，有時(shí)候還是活動(dòng)的先導(dǎo). 借助于技術(shù)，學(xué)生能獲得一種“替代性的經(jīng)驗(yàn)”，這種替代性的經(jīng)驗(yàn)?zāi)茏寣W(xué)生獲得一種具身性的感受、體驗(yàn)，能讓學(xué)生感悟到僅僅通過操作難以感受、體驗(yàn)的數(shù)學(xué)思維. 如在上述“四點(diǎn)共圓的條件”的教學(xué)中，借助于技術(shù)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化，從而在學(xué)生大腦中形成一種實(shí)實(shí)在在的四點(diǎn)共圓的直觀表象，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)探究打下更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

優(yōu)化“導(dǎo)圖”，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的一種自主性、自能性的活動(dòng). 為了提升學(xué)生的自主性、自能性，教師可以借助于相關(guān)的“導(dǎo)圖”，如“思維導(dǎo)圖”“箭頭圖”“示意圖”等，引導(dǎo)、啟發(fā)、點(diǎn)撥學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng). “導(dǎo)圖”猶如是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)“導(dǎo)航儀”“方向盤”，不僅能滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，還能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)有方向、有針對(duì)性、有實(shí)效[3].

比如教學(xué)“軸對(duì)稱圖形”這一部分內(nèi)容之后，我們出示了經(jīng)典的“將軍飲馬”問題：

【問題1】一位將軍，他每天從軍營A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后去河對(duì)岸的軍營B地開會(huì)，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？（不考慮河的寬度）

【問題2】一位將軍，他每天從軍營A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后去河同側(cè)的軍營B地開會(huì)，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？

【問題3】一位將軍，他每天從軍營A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后去河對(duì)岸的軍營B地開會(huì)，怎樣走才能讓所行駛的路線、路程最短？（考慮河的寬度）

在這個(gè)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)的問題進(jìn)行抽象（橫向數(shù)學(xué)化），然后對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行“軸對(duì)稱性”的思考. 通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖操作，學(xué)生就會(huì)深刻地理解：為什么選擇這個(gè)點(diǎn)能讓距離和最??？為什么選擇其他的點(diǎn)不能讓距離和最小？在教學(xué)過程中，教師可以拉長學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)空，對(duì)相關(guān)的問題進(jìn)行更多的變式，從而深化學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的認(rèn)知. 尤其是，在問題的關(guān)鍵之處，教師要放緩教學(xué)的步伐，允許學(xué)生慢慢地揣摩、體會(huì). 如此，才能讓學(xué)生在面對(duì)焦點(diǎn)性的問題時(shí)，能將思維高度集中，從而有效地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)、突出學(xué)習(xí)重點(diǎn). 在這個(gè)過程中，學(xué)生能有效地積累數(shù)學(xué)基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能有效地感悟、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想、方法.

活動(dòng)是學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想的源泉，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想同時(shí)也是活動(dòng)的產(chǎn)物，對(duì)活動(dòng)有著指導(dǎo)、牽引等作用. 對(duì)于學(xué)生來說，無論是外顯的操作活動(dòng)還是內(nèi)隱的思維活動(dòng)，都必須在一定的數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下展開. 從這個(gè)視角來看，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動(dòng)是相輔相成、相得益彰的. 借助于相關(guān)的導(dǎo)圖，能讓學(xué)生在活動(dòng)中不僅能形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還能形成圖式經(jīng)驗(yàn).

應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題得到廣泛流傳. 據(jù)說海倫略加思索就解決了它. 理論是活動(dòng)教學(xué)的支撐性理論，著名教育心理學(xué)家維果茨基提出，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，有兩種不同的水平：其一是“現(xiàn)實(shí)水平”，其二是“發(fā)展水平”. “現(xiàn)實(shí)水平”和“發(fā)展水平”之間的差異就是“最近發(fā)展區(qū)”. 教學(xué)就應(yīng)該著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性，開掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性. 依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在設(shè)計(jì)、研發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)當(dāng)深刻地把握數(shù)學(xué)知識(shí)，了解學(xué)生的具體學(xué)情，從而做到精準(zhǔn)施教、有效施教.

催生“反思”，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，“如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不積極主動(dòng)地反思，他就不能達(dá)到較高層次的認(rèn)識(shí)水平. ”可見，反思是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知從低階走向高階的必要條件. 在引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，教師也不能任由學(xué)生進(jìn)行純粹的外在性的操作，不能讓學(xué)生陷入機(jī)械的、盲目的“動(dòng)手做”的活動(dòng)之中，而必須引導(dǎo)學(xué)生展開適度的反思. 通過反思，才能讓學(xué)生的思維與活動(dòng)有機(jī)結(jié)合，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)具有一定的思維含量.

反思是一種后思，是一種對(duì)“認(rèn)知的認(rèn)知”，反思的過程是一種對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行檢視、審視的過程. 它能有效地培育學(xué)生的“元認(rèn)知”意識(shí)，提升學(xué)生的“元認(rèn)知”技能. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：我是怎樣發(fā)現(xiàn)問題的？我是怎樣分析問題的？我是怎樣解決問題的？教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思，讓反思貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程. 通過反思，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)能趨向一種自主、自覺的狀態(tài)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)變得更為清晰、更為連貫、更為確定、更為穩(wěn)固，有效地提升學(xué)生的活動(dòng)品質(zhì).

比如在教學(xué)“探究紙張規(guī)格與的關(guān)系”這一部分內(nèi)容時(shí)，我們就以小組為單位，引導(dǎo)學(xué)生收集、觀察、整理A4紙、A3紙等之間的關(guān)系. 在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)了A4紙、A3紙之間的關(guān)系之后，我們呈現(xiàn)了A0、A1、A2、A3、A4、A5等A型紙的長、寬數(shù)據(jù). 由此自然引發(fā)學(xué)生的積極反思：它們的面積比是2 ∶ 1，它們的長、寬之間有沒有比例關(guān)系呢？如果有比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系是多少？由于計(jì)算比較復(fù)雜，因而學(xué)生都應(yīng)用了計(jì)算器這樣的計(jì)算工具. 通過計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這些A型紙的長寬的比例關(guān)系都近似地等于. 由此，有學(xué)生富有深度地對(duì)A型紙的生產(chǎn)過程用畫圖的活動(dòng)方式進(jìn)行探究. 數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，催生了學(xué)生借助于一般性的方程求解A型紙的相關(guān)關(guān)系的想法，進(jìn)而借助于計(jì)算得出科學(xué)性的結(jié)論. 在這個(gè)過程中，學(xué)生始終不斷地反思，從而不斷地引導(dǎo)著自我的數(shù)學(xué)活動(dòng)走向深入.

著名數(shù)學(xué)教育家章建躍博士深刻地指出，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，必須引導(dǎo)學(xué)生展開高質(zhì)量的數(shù)學(xué)活動(dòng). 活動(dòng)不僅給了學(xué)生感悟、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的載體、平臺(tái)，活動(dòng)更成為學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法有效途徑. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入發(fā)掘教材中的活動(dòng)因子，用好教材中的活動(dòng)因子，組織學(xué)生開展高質(zhì)量的數(shù)學(xué)活動(dòng)，借助于數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生能個(gè)性化地建構(gòu)自己的“數(shù)學(xué)課程”，讓學(xué)生在活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)思想、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

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