思維生長(zhǎng)：數(shù)學(xué)“板塊題組”設(shè)計(jì)策略探究

金建忠 吳秋霞

【摘 要】習(xí)題練習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用，但習(xí)題內(nèi)容單一、形式單調(diào)、練習(xí)單向等問(wèn)題制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。為此，本文論述在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用“板塊題組”通過(guò)“內(nèi)容交織”“方法適切”“練習(xí)啟迪”三個(gè)設(shè)計(jì)策略實(shí)現(xiàn)在解決問(wèn)題的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】“板塊題組” 思維生長(zhǎng) 設(shè)計(jì)策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果說(shuō)例題是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的紐帶，那么習(xí)題練習(xí)就是學(xué)生形成技能的盤石。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題的解決比較順利，但當(dāng)題目出現(xiàn)變式、程度加深時(shí)卻一籌莫展，這在一定程度上影響了學(xué)習(xí)思維的發(fā)展。分析后主要原因有：一是數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)內(nèi)容單一，缺少思維訓(xùn)練；二是數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)形式單調(diào)，缺少變式訓(xùn)練；三是數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)練習(xí)單向，缺少深度思考。

而“板塊題組”可以很好地解決上述問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)遷移，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階。那么，如何設(shè)計(jì)“板塊題組”至關(guān)重要。我們可以從“內(nèi)容交織”“方法適切”“練習(xí)啟迪”三個(gè)策略去設(shè)計(jì)“板塊題組”，實(shí)現(xiàn)在解決問(wèn)題的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)。

一、思維“由淺入深”伸展：“板塊題組”“內(nèi)容交織”設(shè)計(jì)策略

（一）“交匯”——層次與坡度共推

在教學(xué)中，教師可以把練習(xí)題按內(nèi)容分為三個(gè)層次：第一個(gè)層次是基礎(chǔ)練習(xí)，使學(xué)生初步形成技能；第二個(gè)層次是拓展練習(xí)，使學(xué)生鞏固技能；第三個(gè)層次是思維訓(xùn)練，使學(xué)生發(fā)展技能。這樣能使練習(xí)適應(yīng)學(xué)生的個(gè)別差異，使每一個(gè)學(xué)生都能得到發(fā)展。如在“分?jǐn)?shù)乘除法”練習(xí)中，教師可設(shè)計(jì)以下題組（見圖1）：

第一組是基礎(chǔ)訓(xùn)練題，使學(xué)生形成基本的分?jǐn)?shù)（小數(shù)）乘除計(jì)算技能；第二組是拓展訓(xùn)練題，使學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再運(yùn)用得到的規(guī)律編題，計(jì)算即鞏固技能，編題即拓展技能；第三組是思維訓(xùn)練題，使學(xué)生通過(guò)觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)、符號(hào)特點(diǎn)和乘法分配律的數(shù)學(xué)模型合理選擇數(shù)據(jù)，組成多個(gè)符合要求的算式，在解題過(guò)程中既鞏固技能又訓(xùn)練思維。

（二）“交融”——形式與思辨并行

學(xué)生對(duì)于練習(xí)題的接受度還在于練習(xí)形式的變化上，因此，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題組時(shí)要注意對(duì)同一項(xiàng)知識(shí)或技能的訓(xùn)練，設(shè)計(jì)形式多種多樣的練習(xí)，這樣就能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能從不同的角度培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。如在學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)這樣的題組：（1）首飾的含金量一般用“12K”“18K”“20K”“24K”等表示，24K表示足金，12K表示含金量50%。如果一件質(zhì)量為60克的首飾中，金的含量大約有51克，你認(rèn)為這件首飾的含金量用多少K表示比較合理？（2）一件質(zhì)量為60克的20K的首飾中，金的含量大約是多少克？題目創(chuàng)設(shè)了一個(gè)非常真實(shí)的情境，形式新穎，但又非形式化，此題對(duì)學(xué)生提高解決問(wèn)題的能力非常有益，是“百分?jǐn)?shù)意義”在新的情境中的應(yīng)用，關(guān)注的是綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，知識(shí)的核心是百分?jǐn)?shù)的意義，能力的核心是數(shù)量關(guān)系的分析，核心價(jià)值在于思考與辨析能力的提升。

（三）“交互”——開放與探究共存

所謂“開放型練習(xí)”，其實(shí)是相對(duì)于條件完備、結(jié)論確定的封閉性的問(wèn)題而言的，它的特征是一般沒(méi)有現(xiàn)成的算法與確定的答案，要求學(xué)生善于聯(lián)想、敢于創(chuàng)新，具備靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，能使思維輻射到與問(wèn)題相關(guān)的一些知識(shí)點(diǎn)上。如在“比例”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)這樣的題組：下面兩個(gè)圓柱的體積相等，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的信息解決兩個(gè)問(wèn)題，一是求比值S：h;二是寫出兩個(gè)比例。（見圖2）

本題表面上看似乎是在考查學(xué)生圖形與幾何的體積計(jì)算知識(shí)，實(shí)質(zhì)是借用體積計(jì)算的方法指向比例的基本性質(zhì)，需要學(xué)生有較高的思維靈活性和知識(shí)變通、創(chuàng)新應(yīng)用的能力。題目要求寫出兩個(gè)比例，顯然只能用題目給出的四個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)比例的意義，必須是兩個(gè)比的比值相等才能組成比例，但題目中給出的四個(gè)數(shù)據(jù)中有兩個(gè)是字母，無(wú)法得到明確的比值。所以，我們必須改變思路，根據(jù)兩個(gè)圓柱的體積相等，可以得到等式：12S=32h，于是，我們可以根據(jù)這個(gè)等式寫出8個(gè)比例，選擇其中任何兩個(gè)都是正確的，S與h比值問(wèn)題也就迎刃而解。

二、思維“由點(diǎn)到面”卷入：“板塊題組”“方法適切”設(shè)計(jì)策略

（一）“串聯(lián)”——融會(huì)知識(shí)脈絡(luò)

在數(shù)學(xué)練習(xí)中，其實(shí)很多習(xí)題存在著相似或是相近的現(xiàn)象，有些甚至可以用同一個(gè)“模型”表示，以這些知識(shí)點(diǎn)為載體進(jìn)行題組設(shè)計(jì)，把相似的習(xí)題編排在一起，就能將若干知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，化零散為整體，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。教師把一些形同質(zhì)異、形異質(zhì)同等系列題組“串聯(lián)”在一起，可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解由淺入深、由表及里，也可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的審題能力，使學(xué)生逐漸把握知識(shí)，培養(yǎng)較強(qiáng)的思維能力和形成良好的思維品質(zhì)。教師可以在知識(shí)關(guān)鍵處設(shè)計(jì)，可以在知識(shí)易混處設(shè)計(jì)，也可以在知識(shí)的重難點(diǎn)處設(shè)計(jì)等。

（二）“變換”——探究深層紋理

我們所說(shuō)的變式，其實(shí)就是創(chuàng)新，通過(guò)變換條件或形式多角度設(shè)計(jì)題組，使學(xué)生多一些比較和甄別的歷練，可以有效地突出知識(shí)的核心及外延。當(dāng)然，變式不是盲目地變，應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行變式。在設(shè)計(jì)變式題組時(shí)，教師應(yīng)抓住思維訓(xùn)練這條主線，恰當(dāng)?shù)刈兏鼏?wèn)題情境或改變思維角度，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。如教學(xué)“點(diǎn)到直線的距離”時(shí)，對(duì)于課堂中的例題，學(xué)生能很好地理解；對(duì)于一般的習(xí)題，學(xué)生也能很好地掌握。但畫圖本來(lái)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，稍有變化，學(xué)生就會(huì)無(wú)從下手，原因就是學(xué)生所學(xué)、所練、所畫形式單一，缺少變化，多為機(jī)械操練。因此，教師可以增設(shè)以下題組（見圖3）：

（三）“挖掘”——發(fā)現(xiàn)潛在價(jià)值

教材是眾多專家學(xué)者以及一線教師集體智慧的結(jié)晶，而數(shù)學(xué)習(xí)題又是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，每一道習(xí)題都有著它本身特有的價(jià)值。作為教師，我們要認(rèn)真研讀教材，充分理解教材意圖，合理定位教學(xué)目標(biāo)，認(rèn)真界定內(nèi)涵與外延，仔細(xì)研究，大膽“挖掘”，善于發(fā)現(xiàn)這些習(xí)題的訓(xùn)練價(jià)值，進(jìn)行拓展與延伸性設(shè)計(jì)題組。如教材中有這樣一題（見圖4）：

（1）王叔叔開車從甲地到乙地，前2小時(shí)行了100 km，照這樣的速度，從甲地到乙地一共要用3小時(shí)。甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？

（2）王叔叔開車從甲地到乙地一共用了3小時(shí)，每小時(shí)行50 km。原路返回時(shí)每小時(shí)行60 km，返回時(shí)用了多長(zhǎng)時(shí)間？

顯然，這是一組正、反比例的解決問(wèn)題題組，教材通過(guò)對(duì)比的方式用相同素材和相近信息，編出一組正、反比例的題，這樣的編排更有利于學(xué)生對(duì)比、判斷并正確解答，從而提高判斷能力和解決問(wèn)題的能力。據(jù)此，教師可以讓學(xué)生自己適當(dāng)改變題中信息進(jìn)行改編，如王叔叔前2小時(shí)行了100千米，后來(lái)又行了3小時(shí)，照這樣計(jì)算，一共行了多遠(yuǎn)？……也可以啟發(fā)學(xué)生編寫對(duì)比題組，如：（1）用邊長(zhǎng)2分米的方磚鋪一間會(huì)議室，則需要450塊，如果用邊長(zhǎng)3分米的方磚來(lái)鋪，需要多少塊？（2）用同一種方磚鋪地，30平方米的會(huì)議室鋪了60塊，那么100平方米的閱覽室要鋪多少塊？這樣的“挖掘”、拓展和延伸意義非同尋常，價(jià)值不可小覷，效果不言而喻。

三、思維“由靜變動(dòng)”躍遷：“板塊題組”“練習(xí)啟迪”設(shè)計(jì)策略

（一）“變式”——叩啟求異思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生常常會(huì)出現(xiàn)思維定式，即總是按照某種習(xí)慣的思路去思考問(wèn)題，這樣不利于問(wèn)題的解決，更不利于思維靈活性的提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以用對(duì)比性的題組叩啟學(xué)生的求異思維。例如，請(qǐng)你用合理的方法計(jì)算“350×18”和“600÷25”，本題組通過(guò)“一乘一除”一組對(duì)比題，考查學(xué)生的多位數(shù)乘除法計(jì)算，命題立意指向能力，即思維與方法的靈活多樣及運(yùn)用運(yùn)算定律和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，既可以考查學(xué)生基本計(jì)算方法的掌握情況，又可以考查學(xué)生靈活運(yùn)用計(jì)算知識(shí)，追求計(jì)算方法合理、簡(jiǎn)便的意識(shí)與能力，給不同水平學(xué)生創(chuàng)設(shè)了很大的思維空間。這兩道題都可以用不同的方法計(jì)算出結(jié)果，并且不同水平的學(xué)生可以有不同的方法。方法雖有許多種，但思考、甄別、判斷和選擇的過(guò)程才是題組的精髓和價(jià)值所在。

（二）“再造”——叩建思維體系

以生為本再造數(shù)學(xué)練習(xí)，讓學(xué)生盡可能多地自主學(xué)習(xí)，感悟、交流、發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑，主要依靠學(xué)生自己生成知識(shí)和能力。教師進(jìn)行習(xí)題再造，設(shè)計(jì)“板塊題組”，引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)思維體系。例如，在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)圓柱后，他們已經(jīng)知道圓柱由兩個(gè)圓和一個(gè)側(cè)面（長(zhǎng)方形或平行四邊形）組成，教師提問(wèn)學(xué)生，除了兩個(gè)圓配以合適的長(zhǎng)方形或平行四邊形之外，還有其他方法可得到圓柱嗎？學(xué)生通過(guò)討論想到長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)也可以得到圓柱。于是，教師出示題組（見圖5）：

（1）長(zhǎng)12厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形分別以長(zhǎng)邊和寬邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱的尺寸分別是怎樣的？請(qǐng)你分別寫一寫，再想一想，兩個(gè)圓柱大小一樣嗎？（2）這里有一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，你想象下它們旋轉(zhuǎn)后又會(huì)變成怎樣的立體圖形，請(qǐng)你畫一畫。

這樣的題組設(shè)計(jì)，打破了學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱的局限，對(duì)于學(xué)生空間觀念的發(fā)展尤為重要，但如果僅僅滿足長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成圓柱，定位太低；緊跟著，“分別以長(zhǎng)邊和寬邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱的尺寸分別是怎樣的？”“兩個(gè)圓柱大小一樣嗎？”兩問(wèn)提升了觀察、比較、空間想象等能力；最后，教師讓學(xué)生想象并畫三角形和梯形旋轉(zhuǎn)后的圖形，顯然讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、對(duì)空間的感悟達(dá)到了新的高度。當(dāng)然，最有價(jià)值的是，學(xué)生對(duì)于圓柱的認(rèn)識(shí)更為全面，對(duì)于立體圖形的認(rèn)識(shí)更為深刻，由點(diǎn)到面，形成知識(shí)體系。

（三）“散聚”——叩響思維跳躍

設(shè)計(jì)題組應(yīng)當(dāng)事理相同，思路相通。在學(xué)生做完題目后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)散的題型中聚攏知識(shí)的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步抽象概括出這類題目的特點(diǎn)和解題思路，揭示出其內(nèi)在規(guī)律，提升思維。（百）分?jǐn)?shù)應(yīng)用題題型千變?nèi)f化，錯(cuò)綜復(fù)雜，一些學(xué)生對(duì)其無(wú)所適從、無(wú)從下手。其實(shí)，這類題目也是有章可循、有法可依的。教師在教學(xué)中可設(shè)計(jì)如下題組：

（1）一本書共90頁(yè)，小可已經(jīng)看了1—5，已經(jīng)看了多少頁(yè)？

（2）小可看一本書，已經(jīng)看了1—5，正好看了90頁(yè)，這本書有多少頁(yè)？

（3）小可看一本書，已經(jīng)看了1—5，還剩90頁(yè)，這本書有多少頁(yè)？

（4）小可看了90頁(yè)，比小愛多看了1—5，小愛看了多少頁(yè)？

（5）小可看了90頁(yè)，小可與小愛看書的頁(yè)數(shù)比是3：2，小愛比小可少看百分之幾？

（6）小可3小時(shí)看了90頁(yè)，這時(shí)已讀頁(yè)數(shù)比剩下頁(yè)數(shù)多1—5，照這樣的速度，小可還要幾小時(shí)才能讀完這本書？

設(shè)計(jì)這一題組，其出發(fā)點(diǎn)是讓學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中進(jìn)行滲透、對(duì)比和概括，引導(dǎo)學(xué)生抓住特征，理解本質(zhì)，提煉方法——找相等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“練一組，通一類，增智提能”的初心。

【參考文獻(xiàn)】

[1]巴黎.如何實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的深度教學(xué)[J].教育，2019（18）.

[2]吳烈.核心問(wèn)題來(lái)引領(lǐng) 題組練習(xí)顯“神威”——淺談小學(xué)數(shù)學(xué)題組練習(xí)的設(shè)計(jì)與思考[J].小學(xué)教學(xué)研究，2017（16）.