基于分類的幾何和圖形教學(xué)實踐

蔣開林

【摘 要】在幾何和圖形的學(xué)習(xí)中，分類思想可以讓學(xué)生的探究活動更加有效、思維路徑更加清晰、認知網(wǎng)絡(luò)更加通暢。本文聚焦分類的過程、知識的梳理和問題的解決，借助分類，辨析概念內(nèi)涵、連通認知網(wǎng)絡(luò)和架構(gòu)思維路徑，從而提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí) 分類思想 空間觀念

分類思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法之一，學(xué)會分類有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。尤其在幾何和圖形領(lǐng)域中，借助分類思想，能促進學(xué)生辨析概念內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生進行有序思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、覓起點，辨析概念內(nèi)涵

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效發(fā)生，離不開教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)起點進行分析和預(yù)設(shè)。基于分類的幾何和圖形教學(xué)也往往需要從學(xué)生的認知起點出發(fā)，激發(fā)指向概念內(nèi)涵的分類活動，規(guī)避無效或低效的分類任務(wù)，盡可能地提高教與學(xué)的質(zhì)量。

（一）明確分類依據(jù)，感知概念內(nèi)涵

在皮亞杰的認知發(fā)展理論中，學(xué)習(xí)分為同化和順應(yīng)。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大部分采用同化，把新知融入已有的圖式和認知體系中，發(fā)散概念。當新知無法在已有的認知體系中找到呼應(yīng)的節(jié)點時，需要通過順應(yīng)，重新建構(gòu)新圖式。對于空間領(lǐng)域的概念學(xué)習(xí)，由于學(xué)生已具有一定的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，通過正向的遷移學(xué)習(xí)，能夠輕松掌握新知，但是在實踐教學(xué)過程中，對于很多看似簡單的問題，學(xué)生卻難以正確地分析和解決。同化的思維慣性，讓教師和學(xué)生失去對同化學(xué)習(xí)的警惕和忽視。因此，在新概念的形成過程中，教師應(yīng)該讓學(xué)生在充分感知概念的外延的基礎(chǔ)上，明確分類依據(jù)，通過不斷地辨析和比較，明晰概念的內(nèi)涵和本質(zhì)的區(qū)別，發(fā)展批判性思維。

如在三角形的分類中，學(xué)生了解了三角形的概念，接觸過各種不同的三角形，那么對三角形進行分類應(yīng)該不是一個很困難的任務(wù)。但是，如果放手讓學(xué)生自己對三角形進行分類，課堂上會出現(xiàn)各種分類方法，看似在“熱鬧”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維非常活躍。如果仔細去琢磨，太多的分類方法，反而對學(xué)生進行正確的分類產(chǎn)生負向遷移。因此，在分類前提醒三角形的特征主要是有關(guān)角和邊，引導(dǎo)學(xué)生從角或邊出發(fā)進行分類，規(guī)避“長相”“是否常見”等低效分類。在學(xué)生構(gòu)建出兩類分類后（見圖1），教師還應(yīng)該讓學(xué)生進一步思考如何把這兩種分類進行呼應(yīng)，如在按角分類的關(guān)系圖中，等腰三角形、等邊三角形可能出現(xiàn)在哪里？教師在對三角形進行分類、辨析和呼應(yīng)的過程中，加強學(xué)生對三角形的認知，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

（二）明晰分類標準，感悟本質(zhì)屬性

在幾何和圖形領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，如果僅僅從豐富、精致的學(xué)習(xí)素材中“習(xí)得”概念，這樣的學(xué)習(xí)活動難以讓學(xué)生真正感知概念的本質(zhì)屬性。有效的概念學(xué)習(xí)，應(yīng)該基于學(xué)生的已有認知，讓學(xué)生探析原有的認知和新知之間的契合點，在認知沖突中進行對比、辨析、想象和抽象，明晰分類標準，從而感悟其本質(zhì)屬性。

如在學(xué)習(xí)“垂直與平行”時，如果先讓學(xué)生通過自學(xué)找到平行的概念，再從概念出發(fā)，通過辨析幾組直線的位置關(guān)系，從而內(nèi)化概念，通過“習(xí)得—應(yīng)用—感悟”的學(xué)習(xí)路徑，進行順向的探究活動，這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)相對比較“順利”，學(xué)生出錯的概率也比較低，“先學(xué)后教”的學(xué)習(xí)模式也契合以生為本的教學(xué)理念。但這樣給學(xué)生鋪好學(xué)習(xí)坦途的教學(xué)，往往讓學(xué)生感覺概念學(xué)習(xí)輕而易舉，從而導(dǎo)致課中學(xué)習(xí)輕松愉悅，課后練習(xí)錯誤頻出的狀況。因此，教師不妨讓學(xué)生先畫出兩條直線，對幾組直線進行位置關(guān)系的分類活動。在教學(xué)實踐中，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于可明確看出相交和平行的兩種情況沒有異議。那么，教師就可以聚焦看似不相交的幾組直線，讓學(xué)生通過討論交流，從直線無限延長的本質(zhì)屬性出發(fā)，在操作、想象和辯論中，讓分類的標準更加明晰，凸顯概念的本質(zhì)屬性，從對現(xiàn)象的分類到本質(zhì)屬性的辨析、抽象和概括，借助分類，使學(xué)生對直線的位置關(guān)系的認知結(jié)構(gòu)更加清晰。教師還可以進一步進行分類，讓學(xué)生思考在一組平行線中，再增加一條直線，它們的位置關(guān)系又可以分成幾類，從而促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

二、重梳理，連通認知網(wǎng)絡(luò)

學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，需要對知識點的理解和應(yīng)用，更需要對知識點進行梳理。通過學(xué)習(xí)活動和任務(wù)驅(qū)動，學(xué)生在分類梳理的過程中，連通相關(guān)的知識點，形成脈絡(luò)清晰、系統(tǒng)有序的認知網(wǎng)絡(luò)。

（一）以數(shù)襯形，融通知識脈絡(luò)

在數(shù)與計算的學(xué)習(xí)中，我們常常借助形的支撐，讓算理更加形象生動，促進算法和算理的有效融合。而在幾何和圖形的學(xué)習(xí)中，我們有時也同樣需要借助數(shù)的特征，來溝通圖形之間的聯(lián)系，通過分類梳理，在感知序的基礎(chǔ)上，把圖形融入整個體系中，讓整個知識脈絡(luò)更加清晰。

如在學(xué)習(xí)“角的分類”時，學(xué)生通過拼角和拆角的操作過程，對形成的學(xué)習(xí)素材進行分類，從而溝通周角、平角、鈍角、直角和銳角之間的聯(lián)系；在用直角拼的過程中，進一步鞏固周角、平角和直角之間的倍數(shù)關(guān)系；在用三角板拼角后，按照角的大小，對所拼得的角進行分類，并按照從大到小排列，再對這些角的度數(shù)進一步進行觀察，發(fā)現(xiàn)用三角板拼出的角都是15°的倍數(shù)。這無疑又讓學(xué)生進一步探究其緣由：三角板的角分別是15°的2倍、3倍、4倍和6倍，因此拼出的都是15°的倍數(shù)，也就是說，把角的度數(shù)除以15，如果有余數(shù)，那么便無法用三角板中的角拼出。有序的排列也能進一步促進學(xué)生對角的大小的感知，對學(xué)生估測角的大小也有一定的參照依據(jù)。學(xué)生從生成的素材出發(fā)，在分類整理中，找到數(shù)與形之間的聯(lián)系，把各類角融入整個學(xué)習(xí)活動中，并從中提煉出判斷的標準，再提出問題解決的策略。

學(xué)生在拆角的過程中，也應(yīng)該有分類的意識，如把一個鈍角拆成兩個角有很多種可能，但是把這些可能進行分類的話，可分為三類：鈍角=鈍角+銳角，鈍角=直角+銳角，鈍角=銳角+銳角。相對于大小確定的直角、平角和周角，鈍角和銳角具有一定的區(qū)間范圍。在拼角和拆角的任務(wù)驅(qū)動下，學(xué)生通過不斷的分類、辨析比較，溝通了這些角之間的聯(lián)系，感知鈍角和銳角所對應(yīng)的大小范圍，讓形成的認知網(wǎng)絡(luò)更加穩(wěn)固，知識點之間的聯(lián)系更加通暢。

（二）思維導(dǎo)圖，外顯認知網(wǎng)絡(luò)

圖形與幾何的整理復(fù)習(xí)，離不開學(xué)習(xí)素材，而好的學(xué)習(xí)素材往往來自學(xué)生的生成。因此，教師應(yīng)設(shè)計一個好的學(xué)習(xí)任務(wù)，以驅(qū)動學(xué)生生成素材。學(xué)生通過重組素材，在分類梳理中，對認知結(jié)構(gòu)進行解構(gòu)和重構(gòu)，連通更多的認知節(jié)點，在對比溝通中，讓認知網(wǎng)絡(luò)在原有的基礎(chǔ)上生長和拓展。

如在對四邊形進行分類整理時，教師可以讓學(xué)生在一組平行線上再增加兩條直線，可以圍成四邊形，借助圍成的四邊形素材，讓學(xué)生進行分類，并說明分類的理由，在分類梳理的過程中，喚醒學(xué)生對各類四邊形的特征認知。（見圖2）

隨著分類的不斷推進，四邊形的思維導(dǎo)圖也不斷得到完善。有了思維導(dǎo)圖的支撐，學(xué)生對四邊形的特征以及它們之間的聯(lián)系有更加直觀、清晰的認識。

三、尋策略，架構(gòu)思維路徑

在解決關(guān)于幾何和圖形的問題中，一旦遇到新的情境或者相對復(fù)雜的問題，學(xué)生往往手足無措、毫無頭緒。這些問題的解決，需要循序漸進的過程。學(xué)生應(yīng)該根據(jù)規(guī)則進行大膽嘗試，積累一定的活動經(jīng)驗，在“操作嘗試—分類辨析—提煉策略—應(yīng)用策略”中，架構(gòu)解決問題的思維路徑。

（一）探析解決策略，促進有序思考

分類思想，不管在生活中還是在今后的學(xué)習(xí)和工作中，都極具價值。它能讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，把具象的感知轉(zhuǎn)化為理性的思索，有助于學(xué)生分析問題和解決問題，激發(fā)學(xué)生的空間想象力。

如數(shù)學(xué)游戲“小熊戳蛋糕”，游戲剛開始時，教師出示“2×2×2”的正方體蛋糕，可以引導(dǎo)：如果讓你戳，可以怎么戳？根據(jù)戳的方向，一般來說可以分為6種（從前往后戳、從左往右戳、從上往下戳、從后往前戳、從右往左戳和從下往上戳）和3種（前后戳、左右戳和上下戳），讓學(xué)生辨析感知：從前往后戳和從后往前戳在解決一共戳中蛋糕的數(shù)量時是相同的，在有關(guān)空間的問題中，相對的兩種可以合二為一。解決“一共戳中幾塊蛋糕”的策略分為兩類：一類是先按上下、前后和左右各戳中幾塊，再找出重復(fù)多算了幾次，上下戳中的塊數(shù)+前后戳中的塊數(shù)+左右戳中的塊數(shù)-重復(fù)多算的次數(shù)=總數(shù)，也就是用分類的策略解決；另一類是分別按每層各戳中幾塊，然后逐層累加，也就是用分層的策略解決。教師在學(xué)生感知到這兩種策略后，要留足時間讓學(xué)生去思考辨析這兩種策略的優(yōu)缺點。

分類的思想，不僅在于讓學(xué)生用分類的方法去分析問題和解決問題，還在于讓學(xué)生感受到分類是基于分類標準進行的，不同的分類具有不同的解決問題的路徑。學(xué)生不僅要學(xué)會分類，還要對不同分類進行比較、辨別和選擇。分類的策略容易想象，而分層的策略能避免重復(fù)帶來的干擾，兩種策略各有利弊，可以相互補充、相互驗證。分層的策略又可以按照不同的方向分為三類：上下分層、左右分層和前后分層（見圖3）。對于這三類的感知，其目的在于感知解決三維空間問題的思維路徑，進一步提升空間想象能力。

（二）建構(gòu)分類模型，明晰思維路徑

空間相關(guān)問題的解決，最大的困難在于模型的感知和建構(gòu)。當學(xué)生無法自行探究出解決的思維路徑時，教師不妨讓學(xué)生進行分類，從而探析解決問題的模型。如果學(xué)生建構(gòu)出有效的解決模型，這將促進學(xué)生全面地思考問題，而且，學(xué)生在求解的過程中也能“求全”。

如在“尋找螞蟻回家的最短路線”的游戲中（見圖4），螞蟻從A點出發(fā)沿著正方體的表面達到P點，學(xué)生根據(jù)規(guī)則形成很多的路線。我們可以對這些路線進行分類，沿著棱的組合路線（與A點相連的棱有AM、AB和AD三條，如從AM出發(fā)，有AM—MQ—QP和AM—MN—NP兩條，從AB出發(fā)，有AB—BN—NP和AB—BC—CP兩條，從AD出發(fā)同樣也有兩條）共6條；沿著對角線和棱的組合路線（先對角線后棱，如AN—NP、AQ—QP和AC—CP，先棱后對角線，如AM—MP、AB—BP和AD—DP）共6條。

把路線進行分類后，學(xué)生的思維路徑更加清晰，思考也更加全面。對這兩類路線進行對比，我們發(fā)現(xiàn)對角線和棱的組合路線相對短一些。那么，有沒有更短的路線呢？教師引發(fā)學(xué)生思考：對角線比兩條棱長的和要短，也就是說，在平面內(nèi)兩點之間線段最短，如果把這個正方體展開，能否找到一條能夠直接連接A點和P點的線段呢？通過正方體的展開圖，教師把立體空間的問題轉(zhuǎn)化為平面兩點間的距離問題。學(xué)生最終得到尋找最短路徑的策略：從棱上找中點，中點分別與A點和P點相連，如在棱MN上找中點O1，再連接AO1和PO1，得到的就是最短的路徑。像這樣的最短路徑一共有幾條呢？要想找到全部的最短路徑，學(xué)生就需要對這些路徑進行辨析和分類：與A點相連的面有3個，其中在前面可以找到兩條），左面和下面也各有2條，一共有6條最短路徑。尋找最短路徑的過程，離不開學(xué)生的空間想象和有序思考。

空間想象和有序思考是解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵所在。如果思維是混亂的，沒有進行有序的思考，是難以正確解決問題的。只有在有序思考的前提下，學(xué)生才能正確地分析問題和解決問題，才能有效培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展空間想象力。

大部分的學(xué)習(xí)和研究都離不開對分類思想的應(yīng)用，教師要在分類操作中尋找學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，在分類對比中辨析概念的本質(zhì)屬性，在分類梳理中連通知識的來龍去脈，在分類思考中提煉問題的解決策略。在圖形和幾何的教學(xué)中，分類是一種有效的、普適的學(xué)習(xí)方式，能促進認知網(wǎng)絡(luò)在活動中得到形成、完善和生長，助推學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。