2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷平面幾何題的證法及教學(xué)啟發(fā)

肖福流 李和平 楊承翰

【摘要】本文基于2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷平面幾何題的證法分析，以2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷某道試題為例，具體論述這道試題的四個(gè)論證步驟，從中總結(jié)解決這道例題的關(guān)鍵能力點(diǎn)和著力點(diǎn)，得出提高學(xué)生解決平面幾何問題能力“關(guān)鍵在于加強(qiáng)學(xué)生輔助線思維分析訓(xùn)練”的結(jié)論，并提出以百色高級(jí)中學(xué)學(xué)生樣本為例進(jìn)行對(duì)比實(shí)踐研究的思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)聯(lián)賽 平面幾何 證法研究 教學(xué)啟發(fā)

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）05-0124-04

2022年9月，全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽在全國(guó)范圍舉行，聯(lián)賽結(jié)束后，筆者對(duì)本次聯(lián)賽試題進(jìn)行了分析和研究。結(jié)合日常數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的突出問題，筆者認(rèn)為本次聯(lián)賽的平面幾何試題具有較大的研究?jī)r(jià)值，其研究?jī)r(jià)值有如下兩點(diǎn)：一是通過研究本次聯(lián)賽平面幾何試題，可以總結(jié)出較為系統(tǒng)的平面幾何問題證法；二是通過研究試題可以對(duì)日常課堂教學(xué)有所啟發(fā)。

在試題分析研究過程中，筆者認(rèn)為要突破學(xué)生參賽難題及教學(xué)難題，首先要對(duì)競(jìng)賽試題的證法進(jìn)行具體分析，厘清試題的證明步驟和證明方法，然后從中總結(jié)出一套科學(xué)有效的平面幾何問題證法，并通過教學(xué)實(shí)踐加以證明。下面，筆者將以2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷平面幾何題為例，對(duì)相關(guān)例題的證法進(jìn)行詳細(xì)分析，并進(jìn)一步總結(jié)教學(xué)啟示。

一、關(guān)于2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試A卷平面幾何試題的分析

在2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試A卷中，有這樣一道平面幾何題：如圖1，在凸四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對(duì)角線BD上一點(diǎn)P滿足∠APB=2∠CPD，線段AP上兩點(diǎn)X，Y滿足∠AXB=2∠ADB，∠AYD=2∠ABD，證明BD=2XY。

經(jīng)過分析分析題中數(shù)量關(guān)系和圖形，筆者認(rèn)為解決這道試題需要使用三角形中位線定理、等邊對(duì)等角定理、對(duì)頂角相等定理、角平分線定理、相似三角形判定定理、相似三角形性質(zhì)定理、四點(diǎn)共圓判定定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理等平面幾何知識(shí)?；谶@樣的分析，筆者將該題的證明過程分為如下四個(gè)步驟。

（一）第一步：作出全部輔助線

具體操作過程如下：首先連接AC，設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接OY，OX，OB，OD，并過O點(diǎn)作OM⊥AP交AP于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作CK⊥AP交AP延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過C點(diǎn)作CL⊥BD交BD于點(diǎn)L（如圖2所示）。

（二）第二步：證明A、D、O、Y四點(diǎn)和A、B、X、O四點(diǎn)分別共圓

具體證明過程如下：因?yàn)椤螦BC=∠ADC=90°，所以∠ABC+∠ADC=180°，因此根據(jù)四點(diǎn)共圓判定定理得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓。因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓且∠ABC=∠ADC=90°，所以根據(jù)圓周角定理推論得出AC為A、B、C、D四點(diǎn)共圓的直徑，且O為圓心。因?yàn)椤螦OD=2∠ABD，∠AYD=2∠ABD，所以根據(jù)等量代換定理得出∠AYD=∠AOD，最后根據(jù)四點(diǎn)共圓判定定理可知A、D、O、Y四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理可知，因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以∠AOB=2∠ADB，又因?yàn)椤螦XB=2∠ADB，所以∠AXB=AOB，最后根據(jù)四點(diǎn)共圓判定定理可知A、B、X、O四點(diǎn)共圓。

（三）第三步：證明△OXY∽△CDB

具體證明過程如下：由第二步已知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所對(duì)應(yīng)的圓記為圓O1；A、D、O、Y四點(diǎn)共圓，所對(duì)應(yīng)的圓記為圓O2；A、B、X、O四點(diǎn)共圓，所對(duì)應(yīng)的圓記為圓O3。根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理可知，因?yàn)锳、D、O、Y四點(diǎn)共圓，四邊形ADOY為圓O2的內(nèi)接四邊形，所以∠AYO+∠ADO=180°。又根據(jù)平角定理可知，因?yàn)椤螦YO+∠OYX=180°，所以通過等量代換得出∠OYX=∠AOD。因?yàn)镺A=OD且都是圓O1的半徑，所以根據(jù)等邊對(duì)等角定理得出∠ADO=∠OAD，又因?yàn)椤螼AD=∠CAD，所以∠OXY=∠CAD。在圓O1中，因?yàn)椤螩AD=∠CBD，所以∠OYX=∠CBD。同理，在圓O3中，同AO弧所對(duì)的圓周角相等，即∠OYX=∠OBA。又因?yàn)镺A=OB且都是圓O1的半徑，所以∠OBA=∠OAB。又因?yàn)椤螼AB=∠CAB，所以∠OXY=∠CAB。在圓O1中，同弧BC所對(duì)的兩個(gè)周角相等，即∠CAB=∠CDB，所以∠OXY=∠CDB；因?yàn)椤螼YX=∠CBD，∠OXY=∠CDB，所以根據(jù)相似三角形判定定理可知△OXY∽△CDB。

（四）第四步：得出結(jié)論BD=2XY

具體證明過程如下：因?yàn)镺是AC中點(diǎn)，且OM⊥AP，CK⊥AP，所以在△CAK中OM為三角形中線，因此根據(jù)三角形中位線定理可知CK=2OM。因?yàn)椤螦PB=2∠CPD，其中∠APB=∠KPD，此外∠KPD=∠KPC+∠CPD，通過等量代換得出2∠CPD=∠KPC+∠CPD，所以∠KPC=∠CPD，所以PC為角∠KPD的角平分線。又根據(jù)角平分線定理，因?yàn)镃K⊥AP，CL⊥BD，CK⊥CL，所以通過等量代換得出CL=2OM；因?yàn)椤鱋XY～△CDB，且OM，CL為這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊XY，DB上的高，所以[XYDB]=[OMCL=OM2OM=12]，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理及等量代換得到BD=2XY。

二、關(guān)于試題證法的深度分析和研究

（一）試題證法的能力點(diǎn)突破

一是作輔助線，解決這道例題需要作眾多輔助線。通常來說，在證明平面幾何問題時(shí)，作一定量的輔助線是必須的。但在面對(duì)一道新的平面幾何題時(shí)，如何作輔助線、作多少輔助線，往往是學(xué)生解題的“障礙”?？梢赃@樣說，能否正確作出輔助線是學(xué)生能否快速解決平面幾何試題的關(guān)鍵。如解決上述例題，學(xué)生首先要分析題目的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)O，M，K，L，這四個(gè)點(diǎn)在已知題圖中是沒有的，如何將它們從無到有分析出來對(duì)解題來說極為關(guān)鍵。

針對(duì)上述例題的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的分析，筆者認(rèn)為，首先學(xué)生要對(duì)平面幾何的各種性質(zhì)和定理有全面的把握和了解。有了這個(gè)基礎(chǔ)，學(xué)生就可以根據(jù)題目中給出的蛛絲馬跡，找到題目信息與相關(guān)性質(zhì)或定理的聯(lián)系。比如說，關(guān)于上述例題中O點(diǎn)的分析，此點(diǎn)的獲得是學(xué)生比較容易想到的，因?yàn)橥ㄟ^題目給出的條件很容易知道AC是圓O1的直徑，那么其圓心不管題目中用不用得上我們往往也會(huì)將其標(biāo)出來，因?yàn)榕c它聯(lián)系起來的幾何信息極多，有了它的存在，那么題目中的大量等量關(guān)系就出現(xiàn)了。有了O的存在，從半徑角度分析，就有OA=OB=OC=OD，有了這些線段的等量關(guān)系就可以借助等邊對(duì)等角定理獲得大量的等角關(guān)系，即∠OBA=∠OAB，∠OBD=∠ODB，∠OAD=∠ODA，這些關(guān)系為題目的求證提供了新的等量信息；從圓心的角度分析，我們就立馬獲得了大量角度的等量關(guān)系，即在O1中，借助圓周角定理有∠AOD=

2∠ABD，∠BOD=2∠BAD，∠AOB=2∠ADB，這些等量信息為證明A、D、O、Y和A、B、X、O四點(diǎn)共圓打下了基礎(chǔ)；從中點(diǎn)的角度分析，為后面分析出M點(diǎn)和K點(diǎn)打下基礎(chǔ)，為采用中位線獲得最后的題目求證目標(biāo)埋下基礎(chǔ)。由此可見點(diǎn)必須存在，也就將此O點(diǎn)分析出來了。

利用分析O點(diǎn)的相同方法，我們可以抓住題目提供的蛛絲馬跡分析出其他各關(guān)鍵點(diǎn)。比如，從題目中易發(fā)現(xiàn)當(dāng)延長(zhǎng)AP后，PC就是一條角平分線，這條信息借助題目提供的∠APB=2∠CPD可以獲知。有了角平分線我們就容易聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)定理，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，進(jìn)而容易分析出K點(diǎn)和L點(diǎn)。分析出K點(diǎn)后，借助O點(diǎn)的中點(diǎn)位置信息就比較容易聯(lián)想到利用中位線定理處理問題，從而就比較容易分析出M點(diǎn)。其實(shí)，學(xué)生在分析四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的過程中，就已經(jīng)可以作出相應(yīng)的輔助線了。

二是分析出XY與BD之間的關(guān)系，建構(gòu)△OXY，證明△OXY ∽△CDB。上述例題中，分析XY與BD之間的關(guān)系極為關(guān)鍵：從所證結(jié)果提供的信息來看，兩者是倍數(shù)關(guān)系，但從圖形來看，兩者似乎不存在任何聯(lián)系點(diǎn)。這一分析給我們提供的信息是，兩者間要產(chǎn)生等量關(guān)系。那么，如何產(chǎn)生等量關(guān)系呢？這時(shí)我們可以想到，產(chǎn)生等量關(guān)系可以借助等量代換、全等分析、相似分析等方法進(jìn)行。根據(jù)題目給定的殘缺圖形，可知兩者不存在直接的等量關(guān)系，所以我們可以先排除全等分析；然后繼續(xù)讀圖可以發(fā)現(xiàn)，縱觀全圖也無法找到二者有效的等量代換關(guān)系。那么，留給我們的分析角度就只有一個(gè)，那就是相似分析。眾所周知，相似分析必然涉及相似三角形的分析，這就要求學(xué)生對(duì)兩條線段所在的三角形進(jìn)行分析。在進(jìn)行相似分析時(shí)，線段XY所在的三角形有△OYB，△OYD，△XYC，△XYO四個(gè)三角形，其中△XYO屬于新建構(gòu)的三角形，因?yàn)辄c(diǎn)O是從無到有產(chǎn)生的，因此該三角形的建構(gòu)過程存在一定困難，不像其他三個(gè)三角形不需要經(jīng)歷從無到有這一思維過程；線段BD所在的三角形有△BDC，△BDA，△BDO，在這三個(gè)三角形中，△BDO比較特殊，它是一個(gè)等腰三角形，并且也是從無到有的一個(gè)新三角形。得到上述七個(gè)三角形后，利用相似分析法，我們可以發(fā)現(xiàn)△OXY與△CDB兩者聯(lián)系密切，存在相似的可能性極大，于是我們可以建構(gòu)出△OXY，然后利用相應(yīng)定理及等量分析可以證明出△OXY ∽△CDB。

（二）關(guān)于例題的四個(gè)證明步驟的分析

解決上述例題需要經(jīng)過四個(gè)步驟，其中，于學(xué)生而言難點(diǎn)在第一步和第三步。在第一步中，作輔助線對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說存在極大困難。在這一步驟中，學(xué)生需要厘清如下幾個(gè)問題：作多少條輔助線？哪些輔助線是有效的？哪些輔助線是多余的？這些問題蘊(yùn)含了不少要求極高的思維分析過程。在通常情況下，學(xué)生往往會(huì)嘗試先作了大量的輔助線，因?yàn)闆]有進(jìn)行較為科學(xué)的思維分析，所以就容易出現(xiàn)比較多的問題，不僅導(dǎo)致解題耗時(shí)多，而且會(huì)出現(xiàn)多作多錯(cuò)的情況。由此可見，作好輔助線其實(shí)就是一大難點(diǎn)，能有效作出全部的輔助線對(duì)學(xué)生的能力要求極高。當(dāng)然，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)聯(lián)賽在培養(yǎng)數(shù)學(xué)專業(yè)人才方面的巨大價(jià)值。

在第三步中，學(xué)生要獲知兩條線段的關(guān)系也極為困難，大多數(shù)學(xué)生往往無從下筆。其實(shí)，學(xué)生存在這樣的困惑也是正常的，因?yàn)閱螁螐念}目給出的殘缺圖形來說，學(xué)生無法輕易看出兩者的直接關(guān)系，并且也無法輕易通過簡(jiǎn)單分析就能找出兩者的直接關(guān)系。因此說，學(xué)生要完成這一步驟就需要通過深度分析并利用題目中給定的種種蛛絲馬跡，找到它們可能存在的關(guān)系，并且需要借助較為曲折的等量分析路徑獲得它們最后的直接關(guān)系。由此可見，整個(gè)分析和求證過程難度極大。

三、教學(xué)實(shí)踐啟發(fā)與研究

縱觀近幾年的全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的平面幾何試題，主要是通過題設(shè)條件及提供殘缺的圖形，目的在于考查學(xué)生完成一個(gè)思維難度較大的證明實(shí)踐過程。并且這個(gè)證明實(shí)踐過程拋開了各種與學(xué)生很少接觸到的幾何定理，轉(zhuǎn)變?yōu)榧兝贸醯葞缀沃懈黜?xiàng)定理的深度組合進(jìn)行證明實(shí)踐。如上述例題就是借助初等幾何當(dāng)中的九個(gè)看似簡(jiǎn)單的定理，通過題設(shè)條件及殘缺圖形，要求學(xué)生通過極高的輔助線思維分析及借助題設(shè)條件中的蛛絲馬跡建構(gòu)出題中新的元素，并要求對(duì)新的元素參與到全程的求證過程中來，使得初等幾何中的各項(xiàng)定理結(jié)論得到充分應(yīng)用，最終獲得所證結(jié)果。通過對(duì)上述例題的證法深度分析，可知在培養(yǎng)競(jìng)賽學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐中，我們要加大學(xué)生對(duì)平面幾何題的作輔助線的專項(xiàng)訓(xùn)練，加強(qiáng)輔助線的思維分析訓(xùn)練，此外還要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)思維跨度較大的兩個(gè)量間的聯(lián)系分析訓(xùn)練。

為了驗(yàn)證這一設(shè)想，筆者組織了兩次教學(xué)對(duì)比實(shí)踐研究。

在第一次教學(xué)對(duì)比實(shí)踐研究中，筆者將準(zhǔn)備好的論文分為兩組，記為A組、B組，其中A組論文進(jìn)行加工處理，將論文涉及的解題理論知識(shí)點(diǎn)寫入對(duì)應(yīng)求證步驟，B組論文不做任何處理。隨后，筆者將百色高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽初學(xué)者也分成了相應(yīng)的兩組，記為學(xué)生A組和學(xué)生B組，將A組論文發(fā)給學(xué)生A組研讀，將B組論文發(fā)給學(xué)生B組研讀。教學(xué)實(shí)踐研究中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生B組能讀通論文所花的時(shí)間較多，研究統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生B組只有20%能勉強(qiáng)讀通讀懂論文，有60%～70%基本讀不通讀不懂，還有10%～20%介于兩者之間。而學(xué)生A組，他們能讀通論文所花的時(shí)間較少，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生A組有60%～80%能較好讀通讀懂論文，有10%～20%能勉強(qiáng)讀通讀懂，僅有不到10%無法讀通讀懂。通過研究，筆者發(fā)現(xiàn)，初學(xué)者研讀讀通加工后的論文所用時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于研讀沒有做處理的論文研讀時(shí)間。通過本組的教學(xué)對(duì)比實(shí)踐，筆者認(rèn)為競(jìng)賽類論文撰寫應(yīng)該細(xì)化求證步驟，且將相應(yīng)的理論知識(shí)寫入對(duì)應(yīng)步驟，這將極大促進(jìn)新進(jìn)學(xué)生突破看論文難問題。

在第二次組織對(duì)比教學(xué)實(shí)踐中，筆者依然將初學(xué)者分為兩組，記為A組和B組，讓兩組初學(xué)者分別證明2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷平面幾何題。在組織初學(xué)者進(jìn)行證明前，筆者對(duì)學(xué)生A組進(jìn)行了高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題的輔助線專項(xiàng)訓(xùn)練，學(xué)生B組沒有組織做任何相關(guān)訓(xùn)練。在組織兩組學(xué)生進(jìn)行聯(lián)賽平面幾何題證明的教學(xué)實(shí)踐研究中，筆者發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過專項(xiàng)訓(xùn)練的學(xué)生A組普遍要比沒有做專項(xiàng)訓(xùn)練的學(xué)生B組更容易抓住解題核心，也能更有效地作出輔助線，并且發(fā)現(xiàn)經(jīng)過專項(xiàng)訓(xùn)練的學(xué)生在對(duì)作輔助線有更深刻的理解。

在本文中，筆者圍繞2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷的平面幾何題證法進(jìn)行深入研究，從中總結(jié)了一套較為有效的證法，并展開了相關(guān)教學(xué)實(shí)踐研究，得出如下兩個(gè)觀點(diǎn)：一是競(jìng)賽類試題更關(guān)注基本定理、原理的應(yīng)用，更具基礎(chǔ)性、實(shí)戰(zhàn)性，因此教師可以通過對(duì)競(jìng)賽類試題進(jìn)行歸類分析，從中尋找解題方法和規(guī)律，以對(duì)教學(xué)實(shí)踐有所啟發(fā)和改革；二是一切結(jié)論和認(rèn)識(shí)都需經(jīng)過實(shí)踐證明，我們不應(yīng)盲目地將分析所得的結(jié)論運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐，而是要結(jié)合校情、生情進(jìn)行對(duì)比實(shí)踐研究，從中尋找更加適合本校學(xué)生的教學(xué)方法，才能最終提高教育教學(xué)質(zhì)量。這是研究各種競(jìng)賽真題、高考真題的意義所在。

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作者簡(jiǎn)介：肖福流（1976— ），廣西凌云人，博士研究生，高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閷W(xué)校管理、高中數(shù)學(xué)教學(xué)、高考數(shù)學(xué)備考；李和平（1976— ），廣西凌云人，高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)、高考數(shù)學(xué)備考；楊承翰（1990— ），廣西樂業(yè)人，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)、高考數(shù)學(xué)備考、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽及高中物理奧林匹克競(jìng)賽。

（責(zé)編 蒙秀溪）