“直線與方程”單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

朱明明

摘? 要：單元復(fù)習(xí)中，通過揭示單元內(nèi)容之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，完善整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 在“直線與方程”單元復(fù)習(xí)課中，通過重構(gòu)知識(shí)體系，感悟“數(shù)”和“形”的和諧統(tǒng)一，引導(dǎo)學(xué)生形成單元復(fù)習(xí)觀念，積累單元復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：單元復(fù)習(xí)；整體認(rèn)知；數(shù)形結(jié)合；直線與方程

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“直線與方程”.

從教材內(nèi)容的角度：作為解析幾何大單元的開篇內(nèi)容，本章主要研究了平面直角坐標(biāo)系中直線的有關(guān)知識(shí)，用代數(shù)方法研究與直線有關(guān)的問題. 坐標(biāo)法是研究解析幾何的核心方法，“直線與方程”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可以遷移到其他幾何對象的研究中，為后續(xù)“圓與方程”等章節(jié)的學(xué)習(xí)作鋪墊. 坐標(biāo)法通過建立平面直角坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與坐標(biāo)、直線與方程的對應(yīng)，架起了幾何與代數(shù)之間的橋梁.

從單元復(fù)習(xí)的角度：單元教學(xué)的基本路徑是“總—分—總”. 第一個(gè)“總”相當(dāng)于“登山地圖”，是對單元內(nèi)容初步的整體感知；“分”相當(dāng)于“登山過程”，是在總體感知的基礎(chǔ)上聚焦局部內(nèi)容，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)；章節(jié)復(fù)習(xí)課便是單元教學(xué)路徑中的第二個(gè)“總”，相當(dāng)于“居高回望”，作為單元復(fù)習(xí)課，要揭示單元內(nèi)容之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，建構(gòu)學(xué)習(xí)單元的整體認(rèn)知，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：重構(gòu)本章知識(shí)體系；綜合運(yùn)用本章知識(shí)；理解與應(yīng)用坐標(biāo)法.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過對直線與方程相關(guān)知識(shí)的整合和應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系.

（2）經(jīng)歷知識(shí)再建構(gòu)的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，形成單元復(fù)習(xí)觀，積累單元復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

本節(jié)課的教學(xué)是為了幫助學(xué)生系統(tǒng)了解研究解析幾何的思維過程，掌握用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本流程，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．在單元教學(xué)高觀點(diǎn)引領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)的基本要求指引下，依托“直線與方程”單元復(fù)習(xí)這一載體，用數(shù)學(xué)文化、理性思維和實(shí)踐應(yīng)用育人，努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo)．

三、學(xué)生學(xué)情分析

1. 學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課對象是江蘇省四星級(jí)高中高二年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)初步掌握了本章的基礎(chǔ)知識(shí)，有了研究直線的直接經(jīng)驗(yàn)，初步具備結(jié)合圖形直觀獲得解題思路的能力，有一定的探究推理能力和邏輯思維能力．

2. 達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)

單元復(fù)習(xí)需要全面構(gòu)建整章的知識(shí)框架，對整章內(nèi)容的掌握具有系統(tǒng)性和連貫性. 這些是學(xué)生缺乏的，也是學(xué)生所需要的．

3. 教學(xué)難點(diǎn)

根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：感悟“數(shù)”和“形”的對立與統(tǒng)一；探索解析幾何研究的一般路徑；建立單元復(fù)習(xí)的一般模式.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，為了促進(jìn)學(xué)生形成完整的知識(shí)體系，發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在教學(xué)過程中將教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”一體化，確定具體教學(xué)策略如下.

（1）站在大單元的高度組織復(fù)習(xí)內(nèi)容. 通過精心設(shè)計(jì)的問題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與方程的研究過程和研究方法，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行分析，抓住坐標(biāo)法這一核心方法，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（2）基于學(xué)習(xí)力的視角組織教學(xué)活動(dòng). 根據(jù)現(xiàn)階段學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力和學(xué)生的思維特點(diǎn)及認(rèn)知基礎(chǔ)，運(yùn)用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和講練結(jié)合的方法提出問題，讓學(xué)生分析、思考和交流，在鞏固知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主建構(gòu)新知識(shí)的能力．

（3）通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的雙向轉(zhuǎn)化過程，深化數(shù)學(xué)思維.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：單元教學(xué)，方法引領(lǐng).

以華羅庚先生的名言引領(lǐng)單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)，在揭示單元復(fù)習(xí)課的價(jià)值、提升學(xué)生對單元復(fù)習(xí)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)．

引導(dǎo)語：華羅庚曾經(jīng)說過，讀書的真功夫在于既能把薄的書讀成厚的，又能把厚的書讀成薄的. 熟書生溫，似乎是在溫熟書，但把新東西講進(jìn)去了，就能找另一條線索把舊東西重新貫穿起來．

【設(shè)計(jì)意圖】通過華羅庚先生的話引出本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)：通過“用一條線索把散落于各節(jié)的舊知識(shí)像珍珠一樣串起來”實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化、思想方法一貫化，最終能有一種“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感覺.

環(huán)節(jié)2：學(xué)材重構(gòu)，雙線貫穿.

通過對本節(jié)課學(xué)習(xí)資料和教材內(nèi)容的重新整合，以知識(shí)重構(gòu)為明線，以數(shù)形結(jié)合思想滲透為暗線，雙線貫穿，感悟“數(shù)”和“形”的對立與統(tǒng)一，探索解析幾何研究的一般路徑，建立單元復(fù)習(xí)的一般范式，促進(jìn)學(xué)生單元理念的形成、思想方法的領(lǐng)悟和核心素養(yǎng)的提升.

問題1：通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你對標(biāo)題“直線與方程”有怎樣的認(rèn)識(shí)？

師生活動(dòng)：學(xué)生提出“平面內(nèi)的直線可以用二元一次方程來表示，反之，二元一次方程表示的圖形是直線，它們之間有著完美的對應(yīng)關(guān)系”. 教師提煉直線是“形”，而方程是“數(shù)”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.

問題2：直線的方程有哪幾種形式？

問題3：有人說“直線的方程的其他形式都是點(diǎn)斜式方程的‘推論”，你怎么理解？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)將直線的點(diǎn)斜式方程特殊化得到直線的斜截式方程，將直線的兩點(diǎn)式方程特殊化得到直線的截距式方程，確定直線上的兩個(gè)點(diǎn)等價(jià)于確定了直線的方向，所以直線的兩點(diǎn)式方程也可以由直線的點(diǎn)斜式方程得到. 這幾種形式的直線方程最終都可以化成直線的一般式方程.

教師總結(jié)：“點(diǎn)和方向”或者“兩個(gè)點(diǎn)”是確定直線的幾何元素，而方程則是直線的代數(shù)表示. 任意一條直線都可以用二元一次方程表示. 反之，任意一個(gè)二元一次方程都對應(yīng)著平面上的一條直線. 這體現(xiàn)了幾何對象和代數(shù)表示之間的對應(yīng)關(guān)系，也就是我們平時(shí)所說的“數(shù)形結(jié)合”．我們可以得到直線與方程的知識(shí)框圖，如圖1所示．

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧直線的方程的表示形式，感受不同形式直線的方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度重新認(rèn)識(shí)直線與方程，建立統(tǒng)一的觀點(diǎn).

例1? 寫出圖2中各條直線的方程．

師生活動(dòng)：學(xué)生口答直線的方程并總結(jié)“求直線方程時(shí)，要根據(jù)題目所給條件合理地選擇方程的形式”. 教師追問這些直線的共同特征，引出變式1.

【設(shè)計(jì)意圖】通過例題及變式，利用所復(fù)習(xí)的知識(shí)解決問題，加深學(xué)生對方程的理解與運(yùn)用. 由“形”定“數(shù)”，以“數(shù)”研“形”，難度層次分明，思維逐步提升，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識(shí)．

【設(shè)計(jì)意圖】通過對兩條直線的位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，建構(gòu)本知識(shí)模塊的框圖，利用結(jié)構(gòu)化的視圖引導(dǎo)學(xué)生整體感知兩條直線的位置關(guān)系的分類及判定，也為后續(xù)的直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)作鋪墊．結(jié)構(gòu)化視圖的再構(gòu)建幫助學(xué)生形成辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)．

探究：類比兩條直線的位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，嘗試結(jié)合知識(shí)和思想方法設(shè)計(jì)“平面上的距離”知識(shí)框圖．

師生互動(dòng)：學(xué)生通過小組討論總結(jié)出“平面上的距離主要有兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線之間的距離”，并寫出了相應(yīng)的距離公式. 在教師的逐步引導(dǎo)下，學(xué)生結(jié)合公式的推導(dǎo)過程體會(huì)到了蘊(yùn)含其中的數(shù)形結(jié)合思想. 而新授課時(shí)之所以能從兩點(diǎn)間的距離出發(fā)一步步將平面上的距離這個(gè)體系進(jìn)行完善，是因?yàn)閮蓷l平行線間的距離可以化歸為點(diǎn)到直線的距離，而點(diǎn)到直線的距離又可以化歸為兩點(diǎn)間的距離. 因此，平面上的距離這個(gè)體系中還蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸思想，如圖5所示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對知識(shí)框圖有了初步認(rèn)識(shí). 讓學(xué)生自己動(dòng)手設(shè)計(jì)知識(shí)框圖，可以加深對概念的理解，形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法. 一方面，讓學(xué)生回顧已有知識(shí)，幫助學(xué)生建立整體觀念，形成單元復(fù)習(xí)觀念；另一方面，對學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形的性質(zhì)和公式的證明過程，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系．

環(huán)節(jié)3：實(shí)踐應(yīng)用，形數(shù)融通.

本環(huán)節(jié)精選例題，一題多變，在幾何問題與代數(shù)問題靈活轉(zhuǎn)化的過程中，形數(shù)融通，悟透通法，促使學(xué)生進(jìn)一步感悟解析幾何研究的一般路徑．

【設(shè)計(jì)意圖】該題以學(xué)生熟悉的圖形為載體，研究兩條直線的垂直關(guān)系. 思維入口寬，解題方法多. 設(shè)計(jì)該題的目的是讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)法是研究解析幾何問題的核心方法. 坐標(biāo)法是基于點(diǎn)與坐標(biāo)、直線與方程的對應(yīng)，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì)．

【設(shè)計(jì)意圖】該題和例2基于同一個(gè)背景，是對例2的繼承與發(fā)展. 但與例2相比，該題的圖形中的幾何要素有所增加，解題難度有所提升，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察問題．

【設(shè)計(jì)意圖】該題以矩形為載體，借助反射問題，考查了圖形的對稱變換，有利于培養(yǎng)學(xué)生的看圖、識(shí)圖、用圖和解圖能力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，提高學(xué)生分析問題的能力．

【設(shè)計(jì)意圖】該題以函數(shù)的最值問題為背景，培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解的能力，促使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的雙向應(yīng)用，也體現(xiàn)了解析幾何在函數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用．

【設(shè)計(jì)意圖】從知識(shí)、方法、思想等多維度進(jìn)行反思提煉. 既總結(jié)收獲、積累經(jīng)驗(yàn)，又站在單元的視角明晰后續(xù)解析幾何研究的方向，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、提升素養(yǎng)，為后續(xù)圓、橢圓等知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

師生互動(dòng)：歐拉線是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其著作《三角形的幾何學(xué)》中提出來的，教師與學(xué)生一起了解，并讓學(xué)生課后查閱相關(guān)資料，了解相關(guān)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，解決課后作業(yè)2.

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