大道至簡(jiǎn)　登高望遠(yuǎn)

戴啟猛

摘? 要：以“直線與方程”單元復(fù)習(xí)課為載體，從追求好的數(shù)學(xué)課一定是教數(shù)學(xué)、注重生成、必須有大觀念和大思路、堅(jiān)持核心素養(yǎng)導(dǎo)向等四個(gè)方面，對(duì)關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)、突出思維教學(xué)、落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、做好課堂教學(xué)提問(wèn)及復(fù)習(xí)課問(wèn)題設(shè)計(jì)等進(jìn)行了討論.

關(guān)鍵詞：直線與方程；核心素養(yǎng)；問(wèn)題及提問(wèn)

一節(jié)好的數(shù)學(xué)課理應(yīng)做到大道至簡(jiǎn)、登高望遠(yuǎn). “大道至簡(jiǎn)”中的“道”指的是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，即數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，抑或數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).“登高望遠(yuǎn)”的意思是登上高處，看得更遠(yuǎn)，比喻思想境界高，目光遠(yuǎn)大，出自《荀子·勸學(xué)》. 觀摩“直線與方程”單元復(fù)習(xí)課就有一種登高望遠(yuǎn)的感受.

一、好的數(shù)學(xué)課一定是教數(shù)學(xué)

當(dāng)大家聽(tīng)到“好的數(shù)學(xué)課一定是教數(shù)學(xué)”這句話時(shí)，一定會(huì)心生疑惑：難道我們?cè)跀?shù)學(xué)課上教的不是數(shù)學(xué)嗎？這個(gè)觀點(diǎn)是筆者引用章建躍博士的. 的確，許多數(shù)學(xué)課教的不是數(shù)學(xué)！

“直線與方程”單元復(fù)習(xí)課通過(guò)如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧直線的方程的形式，強(qiáng)化斜率概念的精確定義，感受不同形式的直線的方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度重新認(rèn)識(shí)直線與方程，夯實(shí)其作為直線的方程表達(dá)的邏輯推理基礎(chǔ)，建立統(tǒng)一的觀點(diǎn)．

問(wèn)題1：通過(guò)本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你對(duì)標(biāo)題“直線與方程”有怎樣的認(rèn)識(shí)？

問(wèn)題2：直線的方程有哪幾種形式？

問(wèn)題3：有人說(shuō)“直線的方程的其他形式都是點(diǎn)斜式方程的‘推論”，你怎么理解？

緊接著，教師給出例1及兩個(gè)變式，引導(dǎo)學(xué)生利用所復(fù)習(xí)的知識(shí)解決問(wèn)題.

例1? 寫(xiě)出圖1中各條直線的方程.

變式1：試寫(xiě)出一個(gè)方程，表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的所有直線．

變式2：當(dāng)m變化時(shí)，直線x-2y+m=0 （ m∈R）有什么幾何特征？

一方面，加深學(xué)生對(duì)公式的理解與運(yùn)用，由“形”定“數(shù)”，以“數(shù)”研“形”，精確定義、精準(zhǔn)表述，難度層次分明，思維逐步提升，呈現(xiàn)嚴(yán)格的邏輯推理過(guò)程，自然而然地將“直線與方程”單元組成了一個(gè)邏輯嚴(yán)密的整體. 這就是好的數(shù)學(xué)課理應(yīng)具備的特征，一定是教數(shù)學(xué).

二、注重生成才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)

教師一定能接受觀點(diǎn)“注重生成才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)”. 學(xué)習(xí)歸根結(jié)底是學(xué)生自己的事情. 如果學(xué)生的思維沒(méi)有參與進(jìn)來(lái)，那么教師講得再好，教學(xué)效果也微乎其微. 因此，好的數(shù)學(xué)教學(xué)一定是能把學(xué)生“卷”入課堂活動(dòng)中，使他們“躬行此事”從而“絕知此事”的教學(xué).

本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)3通過(guò)精選例題，一題三變，在幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化的過(guò)程中形數(shù)融通，悟透通法，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步感悟解析幾何研究的一般路徑. 例2以學(xué)生熟悉的圖形為載體，研究?jī)蓷l直線的垂直關(guān)系，思維入口寬，解題方法多，讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)法是研究解析幾何問(wèn)題的核心方法，它是基于點(diǎn)與坐標(biāo)、直線與方程的對(duì)應(yīng)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì). 變式1和例2基于同一個(gè)背景，是對(duì)例2的傳承與發(fā)展. 但圖形中的幾何要素有所增加，解題難度有所提升，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察問(wèn)題的能力. 變式2以矩形為載體，借助反射問(wèn)題考查了圖形的對(duì)稱變換，有利于培養(yǎng)學(xué)生的看圖、識(shí)圖、用圖和解圖能力，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力. 變式3以函數(shù)的最值問(wèn)題為背景，培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的能力，促使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的雙向應(yīng)用，也體現(xiàn)了解析幾何在函數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用．

整個(gè)過(guò)程高潮迭起，一氣呵成. 尤其是在執(zhí)教教師精準(zhǔn)而簡(jiǎn)潔的點(diǎn)撥之下，學(xué)生表現(xiàn)出色. 正如葉瀾教授所言，一節(jié)好課不完全是預(yù)先設(shè)計(jì)好的，而是在課堂中有教師和學(xué)生真實(shí)的、情感的、智慧的、思維和能力的投入，有互動(dòng)的過(guò)程，氣氛相當(dāng)活躍. 在這個(gè)過(guò)程中，既有資源的生成，又有過(guò)程狀態(tài)的生成. 本節(jié)課就給了我們這樣的感受.

三、教學(xué)必須有大觀念和大思路

數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)大格局，指的是數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重?cái)?shù)學(xué)的整體性，這是由數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)決定的. 數(shù)學(xué)的整體性既體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的一體性上，又體現(xiàn)在各部分內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系上. 本節(jié)課中，執(zhí)教教師引用華羅庚先生的“熟書(shū)生溫”的學(xué)習(xí)觀點(diǎn)和“薄厚互換”的讀書(shū)方法，揭示了數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課的內(nèi)在價(jià)值. 站在“方法、思想、路徑”的視角回看全章內(nèi)容，學(xué)生猶如登高回望，有“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的通透澄明之感.

本節(jié)課還有一大亮點(diǎn)，那就是大思路解析，綜合融通訓(xùn)練實(shí). 執(zhí)教教師精選的兩組例題及其變式促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷攀升. 在幾何與代數(shù)的靈活轉(zhuǎn)化中，由“以形助數(shù)，以數(shù)解形”升華到“形數(shù)融通，悟透通法”. 這樣的教學(xué)方式，既強(qiáng)調(diào)大問(wèn)題引領(lǐng)、大思路解析，又落到實(shí)處，細(xì)膩深刻，達(dá)到了很好的訓(xùn)練效果.

四、核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)

掌握數(shù)學(xué)知識(shí)是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提. 以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為追求的數(shù)學(xué)教學(xué)，要做到以下幾個(gè)方面：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容，特別是讓重要的（往往也是難以一次完成的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì)；以“事實(shí)—概念—性質(zhì)（關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”為明線，以“事實(shí)—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線，并強(qiáng)調(diào)結(jié)合明線布暗線，形成基本數(shù)學(xué)思想和方法的“滲透—明確—應(yīng)用”的有序進(jìn)程，使學(xué)生在掌握“四基”、發(fā)展“四能”的過(guò)程中有效發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課以知識(shí)重構(gòu)為明線，以思想滲透為暗線，雙線貫穿，感悟“數(shù)”和“形”的對(duì)立統(tǒng)一，探索解析幾何研究的一般路徑，建立單元復(fù)習(xí)的一般范式. 整節(jié)課圍繞“直線與方程”“兩條直線的位置關(guān)系”“平面上的距離”三個(gè)知識(shí)板塊，在自主建構(gòu)、合作探究、交流分享中實(shí)現(xiàn)了知識(shí)再建構(gòu)、方法再鞏固、思想再感悟，做到了根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生認(rèn)知過(guò)程這“兩個(gè)過(guò)程”合理設(shè)計(jì)教學(xué).

例如，在本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)4中，教師用關(guān)鍵詞引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)升華. 最后是思考與運(yùn)用（課外作業(yè)布置），教師從知識(shí)、方法、思想等多維度引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思提煉，既總結(jié)收獲、積累經(jīng)驗(yàn)，又站在單元的視角明晰后續(xù)解析幾何研究的方向，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、提升素養(yǎng)，為后續(xù)圓、橢圓等知識(shí)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

筆者以為，這就是核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué).

五、思考或建議

本節(jié)課中，執(zhí)教教師一共提出了33個(gè)問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行分類和統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示.

這33個(gè)問(wèn)題大多數(shù)集中在解釋性問(wèn)題（12個(gè)）和探究性問(wèn)題（11個(gè)），質(zhì)量很高，學(xué)生的思維量大，這是大多數(shù)教師在課堂教學(xué)中難以做到的. 課堂上，教師提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，恰時(shí)、恰點(diǎn)、恰當(dāng)?shù)刈穯?wèn)，展開(kāi)學(xué)生的思維過(guò)程，提升學(xué)生的思維能力. 這是數(shù)學(xué)教師最重要的職責(zé)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)不可替代的責(zé)任；這是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，抑或數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的素養(yǎng)和學(xué)科育人價(jià)值最重要的體現(xiàn).

下面我們關(guān)注三個(gè)無(wú)效表達(dá)的問(wèn)題. 這三個(gè)問(wèn)題引發(fā)了筆者的思考.

思考1：課堂上教師提問(wèn)的量與質(zhì)如何保證？

執(zhí)教教師在課堂上提出的三個(gè)無(wú)效問(wèn)題如下.

第一個(gè)問(wèn)題：如果對(duì)結(jié)果沒(méi)有特別要求，我們通常把直線方程化成? ? ? （填空式提問(wèn)，教師自問(wèn)自答：一般式.）

這個(gè)問(wèn)題是在學(xué)生回答了問(wèn)題“你認(rèn)為求直線的方程應(yīng)該注意什么？”后的隨口一問(wèn). 筆者猜測(cè)教師提問(wèn)的目的是強(qiáng)調(diào)或強(qiáng)化.

第二個(gè)問(wèn)題：除了蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想外，還包含什么思想方法？（教師自問(wèn)自答：化歸.）

這個(gè)問(wèn)題是執(zhí)教教師在學(xué)生展示“平面上的距離”知識(shí)框圖，并進(jìn)行師生互動(dòng)后，旨在補(bǔ)充所突出的數(shù)學(xué)思想而提出的問(wèn)題. 這里要特別提出一個(gè)問(wèn)題，筆者在反復(fù)觀看這段視頻的過(guò)程中，從教師提出問(wèn)題到學(xué)生獨(dú)立完成“平面上的距離”知識(shí)框圖，再到結(jié)束討論，整個(gè)過(guò)程僅用時(shí)1′30^‘，此處教學(xué)過(guò)程的用時(shí)值得懷疑. 是否與后期視頻剪輯有關(guān)系？如果是，這樣的剪輯顯得教學(xué)很不真實(shí). 這也啟發(fā)我們注意視頻剪輯要契合教學(xué)關(guān)鍵過(guò)程.

體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面是情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思. 思維與表達(dá)、交流與反思就是要求學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言直觀地解釋和交流數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想方法，并能進(jìn)行評(píng)價(jià)、總結(jié)和拓展. 在此，執(zhí)教教師可以讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言去表達(dá)，要相信學(xué)生經(jīng)過(guò)知識(shí)的整理及課堂上對(duì)直線的方程的知識(shí)歸納能夠用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá). 雖然學(xué)生的表達(dá)可能不夠?qū)I(yè)、標(biāo)準(zhǔn)，但是這又有什么關(guān)系呢？教師在此大可不必包辦.

第三個(gè)問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)T與線段CD的兩個(gè)端點(diǎn)重合時(shí)，我們應(yīng)該怎么辦？（學(xué)生補(bǔ)充：分類討論一下. 師：這樣就更完美了.）

此處存在著很好的教學(xué)思辨契機(jī). 對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，分類討論是有難度的，但也是無(wú)法回避的. 在此，教師不用問(wèn)得那么直接，完全可以通過(guò)追問(wèn)“這位同學(xué)做對(duì)了嗎？他考慮得周全嗎？”啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考.

思考2：章節(jié)單元復(fù)習(xí)課的問(wèn)題設(shè)計(jì)如何實(shí)現(xiàn)？

為什么要提出這個(gè)問(wèn)題呢？受到執(zhí)教教師對(duì)師生共同研究問(wèn)題及其變式教學(xué)設(shè)計(jì)的啟發(fā). 為此，筆者對(duì)近十年高考全國(guó)卷和地方卷中涉及解析幾何內(nèi)容的試題進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如表2所示.

從統(tǒng)計(jì)的情況來(lái)看，高考對(duì)這部分內(nèi)容的命題熱點(diǎn)在“直線和圓的位置關(guān)系”部分，涉及“直線與方程”內(nèi)容的高考命題，只在2020年全國(guó)Ⅲ卷（文科）中考過(guò)一次. 當(dāng)年的試題如下.

之所以說(shuō)得這么詳細(xì)，筆者想表達(dá)的是，我們應(yīng)該考慮如何設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課的問(wèn)題. 復(fù)習(xí)課的問(wèn)題與新授課的問(wèn)題有什么不同？本節(jié)課，我們已經(jīng)到了單元復(fù)習(xí)課，后面還有期末總復(fù)習(xí)課、高考前復(fù)習(xí)課，筆者以為復(fù)習(xí)課上設(shè)計(jì)的問(wèn)題必須依據(jù)學(xué)生的實(shí)際，對(duì)標(biāo)學(xué)業(yè)質(zhì)量（水平二），設(shè)計(jì)的問(wèn)題要有明晰的目標(biāo)和層次.

愛(ài)爾蘭詩(shī)人葉芝曾說(shuō)過(guò)：“教育不是注滿一桶水，而是點(diǎn)燃一把火.”與大家共勉.

參考文獻(xiàn)：

［1］曹才翰，章建躍. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（第3版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.