初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)變式設(shè)計(jì)探究

潘美清

【摘要】變式教學(xué)設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，教師要培養(yǎng)學(xué)生的變式意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握變式方式，遵照變式規(guī)律，主動(dòng)邏輯思考和推理判斷。學(xué)生在變式訓(xùn)練中會(huì)進(jìn)行發(fā)散思維，總結(jié)教學(xué)方法，把握解題規(guī)律，構(gòu)建解題模型，從“題海戰(zhàn)術(shù)”中解脫出來(lái)。變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思想，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)習(xí)能力的提高。深入探究初中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生在掌握例題的基礎(chǔ)上靈活思考，提高數(shù)學(xué)解題能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；例題；變式教學(xué)；設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的，富有挑戰(zhàn)性的，學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理和總結(jié)等方式訓(xùn)練能力，形成學(xué)習(xí)方法，找到有效的解題門(mén)路。教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住典型習(xí)題的解題思路，鼓勵(lì)學(xué)生追求多種解題門(mén)路，促進(jìn)學(xué)生思想向著多層次、多方向發(fā)散，在變式訓(xùn)練中總結(jié)規(guī)律，把握解決問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律。

一、變式教學(xué)目標(biāo)應(yīng)遵循的三個(gè)原則

1.系統(tǒng)性原則

教師在為學(xué)生提供數(shù)學(xué)例題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練時(shí)要關(guān)注知識(shí)的系統(tǒng)性，通過(guò)一定類(lèi)別來(lái)引導(dǎo)學(xué)生掌握解決問(wèn)題的通性通法，促進(jìn)學(xué)生由此及彼，觸類(lèi)旁通，在規(guī)律總結(jié)中建構(gòu)解題模型，掌握一類(lèi)試題的解題方法。

2.具體性原則

在變式教學(xué)中，教師要明確具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，通過(guò)具體設(shè)計(jì)例題的方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，促進(jìn)學(xué)生具體問(wèn)題具體分析，在探究中掌握方法[1]。教師為學(xué)生提供具體的例題會(huì)引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)散，在對(duì)例題的分析中掌握一類(lèi)試題的解題方法和解題規(guī)律。例如在解決函數(shù)面積最值問(wèn)題時(shí)，教師可以為學(xué)生提供例題，之后引導(dǎo)學(xué)生采用補(bǔ)形、割形法；鉛錘定理，也就是鉛垂高，水平寬的面積法；還可以采用切線法等不同的解題方法來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散，掌握不同解題方法。

3.階段性原則

教師為學(xué)生提供變式習(xí)題要關(guān)注階段性原則，在不同階段為學(xué)生提供不同難度和不同類(lèi)別的變式訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生在階段性的訓(xùn)練中靈活掌握某一類(lèi)試題的解題方法，達(dá)到觸類(lèi)旁通。教師可以在某一階段為學(xué)生提供代數(shù)解題變式訓(xùn)練，在某一階段為學(xué)生提供平面幾何變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)典型例題的變式訓(xùn)練中橫向聯(lián)系，創(chuàng)建規(guī)律，提高思維的深刻性[2]。

二、變式教學(xué)重難點(diǎn)要掌握的度

1.數(shù)目要適度

教師在選擇數(shù)學(xué)試題時(shí)要根據(jù)數(shù)學(xué)特點(diǎn)和知識(shí)類(lèi)型設(shè)計(jì)教學(xué)，按照不同類(lèi)型的知識(shí)“量體裁衣”，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。教師設(shè)計(jì)的數(shù)目要適度，并且符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理和年齡特征，做到為學(xué)習(xí)而設(shè)計(jì)，在設(shè)計(jì)過(guò)程中做到“心中有學(xué)生”。

2.內(nèi)容有梯度

在引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)時(shí)，教師要關(guān)注循序漸進(jìn)，通過(guò)逐級(jí)遞進(jìn)的方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生掌握解決問(wèn)題的基本思路。教學(xué)的梯度應(yīng)該根據(jù)課程目標(biāo)要求和教材的知識(shí)體系來(lái)確定，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)逐級(jí)遞進(jìn)的方式來(lái)理解知識(shí)，掌握關(guān)鍵性概念、觀點(diǎn)和原理。重難點(diǎn)往往是學(xué)生接受知識(shí)遇到的主要障礙，也是學(xué)生能力提高過(guò)程中的主要困惑。教師要以學(xué)生的接受程度為依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探究。

3.學(xué)生參與度

在解決知識(shí)重難點(diǎn)過(guò)程中，教師要改變傳統(tǒng)的說(shuō)教模式，要采用變式訓(xùn)練的方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，突破重難點(diǎn)。在課堂上教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)的方式來(lái)理解知識(shí)，并且在學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題和不解時(shí)，教師要通過(guò)精講點(diǎn)撥、釋疑解難的方式引導(dǎo)學(xué)生歸納提升，促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程[3]。

三、變式教學(xué)設(shè)計(jì)在教學(xué)過(guò)程中的運(yùn)用

1.加強(qiáng)一題多變，創(chuàng)新例題設(shè)計(jì)

“一題多變”是變式教學(xué)設(shè)計(jì)的有效方式，是初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)中的常用形式?！耙活}多變”促進(jìn)例題教學(xué)形式的多樣化，變單一為多元，豐富例題教學(xué)的呈現(xiàn)形式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生歸納能力、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力、培養(yǎng)學(xué)生舉一反三能力、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維品質(zhì)有很好的促進(jìn)作用。學(xué)生在變式探究中更好地理解知識(shí)的生成過(guò)程，把握知識(shí)本質(zhì)和解題規(guī)律，形成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的客觀性認(rèn)識(shí)。

例如“在平面直角坐標(biāo)系中求幾何圖形面積”教學(xué)中可以安排這樣一道變式探究題做為新課引入。

在平面直角坐標(biāo)中給出點(diǎn)C（-3，3）。

（1）若點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），則三角形ABC的面積為? ? ? ；若將三角形ABC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得三角形A′B′C′的面積為? ? ? ；

（2）若點(diǎn)A（0，1），B（0，-3），則三角形ABC的面積為? ? ? ；若將三角形ABC向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得三角形A′B′C′的面積為? ? ? 。

本例雖然只是簡(jiǎn)單的變式，但其中蘊(yùn)含的乾坤卻不小。從第（1）小題的第一空到第（2）小題的第二空，雖然改變的只是點(diǎn)A和占B的坐標(biāo)，卻把三角形由“橫臥式”變成“豎立式”，改變了易得的高與底的方向，引導(dǎo)學(xué)生從多角度尋找三角形可用的底和高。而第（1）（2）小題的第一空到第二空增加了平移的變式，這是從靜到動(dòng)的變化，在求高上增加了一定的難度。兩種小小的變式促進(jìn)了學(xué)生能更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，增強(qiáng)了學(xué)生多角度看問(wèn)題的意識(shí)。

當(dāng)然，變式并沒(méi)有至此為止，學(xué)生完成前兩個(gè)問(wèn)題后，又拋出第三個(gè)變式問(wèn)題。

（3）求出下列網(wǎng)格中（每格均為1×1單位）三角形ABC的面積（如圖1所示），并在圖中畫(huà)出你的做法。

本變式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步復(fù)習(xí)了分割法求面積的方法，起到了承上啟下的作用，為引進(jìn)新課講授起到很好的過(guò)渡效果。以上三個(gè)變式創(chuàng)新了例題教學(xué)設(shè)計(jì)，豐富了課堂教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、變通性和創(chuàng)造性。變式教學(xué)遵循發(fā)散性思維和認(rèn)知規(guī)律，有利于鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維[4]。

2.利用一題多變，引導(dǎo)橫縱聯(lián)想

為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式教學(xué)時(shí)要關(guān)注“一題多變”，通過(guò)主動(dòng)變化題目要求或命題條件等方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變化中找到“不變”的知識(shí)和規(guī)律，建構(gòu)解題模型。在“一題多變”中教師可以變換命題的條件與結(jié)論；保留條件，深化結(jié)論；減弱條件，加強(qiáng)結(jié)論；或者是探討命題的推廣；分析命題的特例以及生根伸枝，進(jìn)行圖形變換。通過(guò)主動(dòng)變化，學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度思考問(wèn)題和分析問(wèn)題，參與到解題過(guò)程中，在分析中總結(jié)規(guī)律，在探究中掌握方法。例如圖2所示：已知，△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為垂足。求證：CD2=AD·DB。在引導(dǎo)學(xué)生解決該問(wèn)題后，教師又在條件不變的情況下設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題，①求證：AC·BC=AB·CD；②求證：S△ADC：S△CDB＝AD：DB；③求證：AC2= AD·AB，BC2=BD·AB等。教師通過(guò)“一題多變”的方式會(huì)促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)加工所給條件，分析題目中的信息，在主動(dòng)探究中明確要點(diǎn)和關(guān)鍵，形成對(duì)知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行縱橫聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生分析探究能力不斷提高，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升。

3.采用一題多導(dǎo)，創(chuàng)建思維情境

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)上的引路人和指導(dǎo)者。在變式教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師要通過(guò)積極引導(dǎo)的方式來(lái)活躍學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生明確思考方向，指導(dǎo)解決問(wèn)題的最佳方法。教師在引導(dǎo)學(xué)生時(shí)可以用問(wèn)題作為“催化劑”，鼓勵(lì)學(xué)生在對(duì)問(wèn)題的探究中深化理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如圖3所示，（１）∠４和∠２哪兩條直線被哪一條直線所截形成的內(nèi)錯(cuò)角？圖中共有多少對(duì)內(nèi)錯(cuò)角？∠５和∠２是哪兩條直線被哪一條直線所形成的同旁?xún)?nèi)角？圖中共有多少對(duì)同旁?xún)?nèi)角？又如：已知，△ABC中（圖2），∠ACB=90o， CD⊥AB，D為垂足。求證：CD2=AD·DB。教師從不同角度提出各個(gè)相關(guān)明確的小問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析理解題目，如：圖中有幾條線段？圖中有幾個(gè)角，是哪幾個(gè)角？圖中有幾個(gè)三角形，分別是什么？圖中和∠CAB相等的是哪些角？和∠CAB互余的角是哪些角？△ABC中，BC邊上的高是哪條線段？△ABC的垂心是哪個(gè)點(diǎn)？

教師用問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)活躍學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，讓學(xué)生參與尋求解題途徑的過(guò)程，給學(xué)生充分展示思維過(guò)程的機(jī)會(huì)。學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)思維會(huì)不斷深入、發(fā)展、完善，在深入挖掘中把握知識(shí)本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)框架，總結(jié)知識(shí)規(guī)律。在這個(gè)分析和探究過(guò)程中，學(xué)生思維的縝密性和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性也會(huì)得到真正訓(xùn)練。

4.開(kāi)展一題多用，理論聯(lián)系實(shí)際

在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，使問(wèn)題實(shí)際化。教師在設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生在變化的過(guò)程中掌握不變的規(guī)律，總結(jié)出一般規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，這樣學(xué)生的解題能力就會(huì)逐步提高。數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用是非常廣泛的，利于電費(fèi)問(wèn)題，燃?xì)赓M(fèi)問(wèn)題等，通過(guò)對(duì)生活化問(wèn)題的變式訓(xùn)練，會(huì)讓學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)。例如在學(xué)習(xí)了電費(fèi)問(wèn)題，在變式訓(xùn)練中，教師可以為學(xué)生提供有關(guān)出租車(chē)打的收費(fèi)問(wèn)題，或者是電話收費(fèi)問(wèn)題，讓學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用。例如學(xué)習(xí)了“一元一次方程”時(shí)，教師為學(xué)生提供例題：移動(dòng)海報(bào)：新業(yè)務(wù)出爐5G手機(jī)享受無(wú)月租優(yōu)惠，其通話套餐為每分鐘0.35元；聯(lián)通海報(bào)：月租18元，通話每分鐘0.25元。問(wèn)：若每月通話300分鐘，哪個(gè)套餐更優(yōu)惠？如果付費(fèi)方式一的月使用是58元，主叫限定時(shí)間為150分，超時(shí)每分鐘按照0.25元每分計(jì)算，被叫免費(fèi)；付費(fèi)方式二的月使用費(fèi)是88元，主叫限定350分，超時(shí)每分0.19元，被叫免費(fèi)，每月通話費(fèi)300元，哪個(gè)付費(fèi)方式更劃算？通過(guò)對(duì)例題的分析，學(xué)生會(huì)明白什么是月使用費(fèi)，主叫限定時(shí)間和主叫超時(shí)費(fèi)，明確如何對(duì)電話費(fèi)收費(fèi)進(jìn)行計(jì)算和管理。在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，思考當(dāng)主叫時(shí)間小于150分鐘、等于150分鐘、在150分鐘和270分鐘以及在270分鐘和350分鐘、等于350分鐘、大于350分鐘等情況。通過(guò)分類(lèi)探究，學(xué)生會(huì)制定合理的付費(fèi)方式。當(dāng)教師為學(xué)生提供例題后，可以為學(xué)生提供變式訓(xùn)練，通過(guò)一題多用的方式引導(dǎo)學(xué)生掌握一類(lèi)試題的解題方法，掌握其中的規(guī)律。

5.關(guān)注多題一解，學(xué)會(huì)異中求同

數(shù)學(xué)例題都具有一定的典型性，教師要引導(dǎo)學(xué)生多總結(jié)，由問(wèn)題的條件或結(jié)論，聯(lián)想到與其形式相近的相關(guān)題型。通過(guò)對(duì)不同試題的分析和歸納，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)有些試題的解題方法是一樣的，促進(jìn)學(xué)生搭建知識(shí)與解題之間的橋梁，形成解題思路。教師要引導(dǎo)學(xué)生異中求同，了解常用的解題方法。例如數(shù)學(xué)中常用的湊整法、主元法、消元法、參數(shù)法、待定系數(shù)法都是常用的解題方法，學(xué)生在不斷地總結(jié)會(huì)掌握通性通法。通過(guò)對(duì)多道例題分析和總結(jié)，學(xué)生也會(huì)找到解決問(wèn)題的一般規(guī)律。例如有大小兩種貨車(chē)，2輛大車(chē)與3輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨15.5噸；5輛大車(chē)與6輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨35噸。求3輛大車(chē)與5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨多少?lài)崳拷忸}過(guò)程中學(xué)生會(huì)想到了一個(gè)三元一次方程組來(lái)解決問(wèn)題，設(shè)出x，y，z，通過(guò)求出x+y+z的代數(shù)和的方式來(lái)變形問(wèn)題，解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)通性通法的總結(jié)，學(xué)生會(huì)異中求同，掌握規(guī)律，解決問(wèn)題。

總之，在變式教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中教師要做到“因?qū)W定教”“以人為本”關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程和探究體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生在參與中提高能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。學(xué)生通過(guò)對(duì)例題的變式訓(xùn)練會(huì)構(gòu)建知識(shí)結(jié)點(diǎn)，理解數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，提高學(xué)習(xí)能力。例題變式教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，他們會(huì)通過(guò)探究使所學(xué)知識(shí)條理化，系統(tǒng)化，提高解題能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生在對(duì)知識(shí)的深入挖掘中發(fā)展思維能力，提高學(xué)生思維的縝密性和邏輯性。通過(guò)不斷地練習(xí)，學(xué)生會(huì)夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)基本技能，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的提高。

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