劉珍

【摘要】“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)思維是一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)思考方式，數(shù)學(xué)思維能力是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)立足現(xiàn)實(shí)世界，以數(shù)學(xué)概念為起點(diǎn)，以數(shù)學(xué)符號為語言，以思維導(dǎo)圖為工具，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)符號；思維導(dǎo)圖

數(shù)學(xué)思維是一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)思考方式。數(shù)學(xué)思維能力是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)思維能力具體體現(xiàn)在以下幾個方面：一是對數(shù)學(xué)基本概念和法則的理解；二是對數(shù)學(xué)基本方法與結(jié)論的論證；三是對數(shù)學(xué)實(shí)際問題的分析與解決；四是發(fā)現(xiàn)情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律；五是具有質(zhì)疑問難的批判思維；六是形成講道理、有條理的思維品質(zhì)。

一、以現(xiàn)實(shí)世界為數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)

1.以實(shí)物模型為依托

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量和圖形的科學(xué)，數(shù)和形都是從客觀事物中抽象出來的。小學(xué)生的思維以形象思維為主要方式，是以直觀形象和具體表象為支撐的思維過程。形象思維是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維發(fā)展的基石，因此，在數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)中，要發(fā)揮學(xué)生形象思維的優(yōu)勢，借助直觀教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生逐步向抽象思維發(fā)展。

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先要以實(shí)物模型為依托，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、操作，形成直觀動作思維，在親身感知中體驗(yàn)，了解物體的特征，抽象出事物的本質(zhì)屬性。譬如，在教學(xué)“1-5的認(rèn)識”一課中，筆者給學(xué)生準(zhǔn)備了圓片、小棒等實(shí)物，讓學(xué)生擺一擺、數(shù)一數(shù)，增加感性認(rèn)知，幫助學(xué)生形成表象，抽象出數(shù)，建立數(shù)感。在教學(xué)“觀察物體”一課中，筆者借助“投票箱”，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去觀察，認(rèn)識“前面”“上面”“右面”，給學(xué)生提供小正方體，讓他們親手?jǐn)[一擺、看一看，從實(shí)物中抽象出平面圖，實(shí)現(xiàn)物與形的有效對接。

2.用生活情境去點(diǎn)燃

情境是帶有情緒色彩的具體形象的場景，具有情感性與直觀性雙重特點(diǎn)，既有助于激發(fā)學(xué)生情感，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，又能使數(shù)學(xué)變得生動形象，幫助學(xué)生感知理解。生活是數(shù)學(xué)的源泉，情境創(chuàng)設(shè)需要生活化，生活情境真實(shí)性與可感性強(qiáng)，對于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)具有重要價(jià)值，教師可以創(chuàng)設(shè)生活情境，用生活情境去點(diǎn)燃學(xué)生情思，喚醒學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，叩開學(xué)生思維的心扉。

在創(chuàng)設(shè)生活情境時，教師既要基于生活現(xiàn)實(shí)，又要升華生活內(nèi)容。教師可以借助生活事物、生活現(xiàn)象等來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，將生活與數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系起來?？梢越柚嗝襟w來呈現(xiàn)生活情境，采取游戲活動、實(shí)踐活動等方式來設(shè)置生活情境，提高數(shù)學(xué)知識的形象性、趣味性、思考性，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的數(shù)學(xué)思維火花。例如，在教學(xué)“簡單的周期”一課時，筆者借助多媒體課件，給學(xué)生展示了一幅生活場景圖：為慶祝祖國七十華誕，學(xué)校進(jìn)行了精美布置，大門兩旁擺放了一盆盆鮮花，一面面彩旗迎風(fēng)飄揚(yáng)……筆者邊引導(dǎo)學(xué)生觀察場景圖邊提問：“這個場景美不美？”“美！”學(xué)生齊聲回答?！懊涝谀睦?？”筆者追問道。有的學(xué)生說：“色彩美！”有的學(xué)生說：“整齊美！”有的學(xué)生說：“規(guī)律美！”就這樣，形象生動的生活情境，不僅吸引了學(xué)生注意，而且誘發(fā)了學(xué)生思維，自然引入對“物體排列規(guī)律”的探究。

3.借實(shí)際問題來誘發(fā)

學(xué)起于思，思源于疑。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于問題，數(shù)學(xué)知識是問題之花結(jié)出的果實(shí)，在思維型數(shù)學(xué)課堂中，教師要善于借助問題進(jìn)行教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，在解決實(shí)際問題中獲得知識，發(fā)展能力。

好的問題應(yīng)當(dāng)具有探究性，能夠喚醒學(xué)生的思維；好的問題具有激勵性，能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)動力；好的問題具有真實(shí)性，是學(xué)生身邊的問題，而不是虛構(gòu)的問題，是學(xué)生熟悉的實(shí)際問題。實(shí)際問題有利于引發(fā)學(xué)生好奇，驅(qū)動學(xué)生思維，實(shí)際問題有利于喚醒學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生思維靈感。筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，時常借助現(xiàn)實(shí)中的問題，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，誘發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生探究。例如，在教學(xué)“平均數(shù)”一課時，筆者創(chuàng)設(shè)了比較期末考試中第一、二小組哪一組數(shù)學(xué)成績好的問題情境，請學(xué)生幫助老師計(jì)算第一、二小組數(shù)學(xué)平均分以及全部平均分。該問題情境有效激發(fā)學(xué)生探究興趣，誘發(fā)學(xué)生積極思考。筆者趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中認(rèn)識平均數(shù)，理解平均數(shù)代表整體水平，實(shí)際上是一種“移多補(bǔ)少”的結(jié)果，懂得計(jì)算平均分可以“先合后分”，先求出各組總分，再除以每組人數(shù)，就得到小組平均分。

二、以數(shù)學(xué)概念為數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞

1.創(chuàng)建概念背景，播撒思維種子

俗話說得好：“萬丈高樓平地起?！毙轮耘f知為基石，新概念以舊概念為前提，抽象思維以形象思維為基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生的原有知識，立足學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)建概念背景，淺化抽象概念，創(chuàng)設(shè)思考情境，播撒思維種子。

小學(xué)生的思維發(fā)展經(jīng)歷了從具體到抽象，從簡單到復(fù)雜的過程。在創(chuàng)建概念背景時，要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的思維特征，給學(xué)生提供感性資料，營造思維情境，豐富學(xué)生感知體驗(yàn)，喚醒學(xué)生的主動思維、具象思維，引發(fā)學(xué)生通過對新舊知識之間的關(guān)聯(lián)，由淺入深地探究構(gòu)建出新的數(shù)學(xué)概念。例如，在教學(xué)“從前面、上面和右面觀察物體”一課中，筆者借助投票箱、正方體木塊等實(shí)物，給學(xué)生提供視覺感知支撐，引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，理解前面、上面和右面。同時，根據(jù)以前學(xué)習(xí)過的長方形、正方形等圖形知識，學(xué)會將觀察到的面轉(zhuǎn)化為圖形，有效培養(yǎng)了學(xué)生想象能力和空間觀念。

2.經(jīng)歷概念形成，開出思維之花

概念的建構(gòu)需要一個過程，是從外部到內(nèi)部，從非本質(zhì)到本質(zhì)特征轉(zhuǎn)化的過程。概念的形成經(jīng)歷一般包括“具體感知”“抽象化”“類化”“辨別”四個環(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)都需要思維的參與。在概念的形成過程中，學(xué)生動手操作、比較分析、抽象概括，學(xué)生的思維也隨之發(fā)展。

讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的最好方法。在概念教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生思考的興趣，留給學(xué)生思考的時空，要依托實(shí)踐探究，引導(dǎo)學(xué)生逐步感知，有序思考，可以提出優(yōu)質(zhì)問題，用提問催開學(xué)生思維之花。實(shí)物表征是概念學(xué)習(xí)的初始環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)思維的萌芽階段，該階段以感性認(rèn)知與形象思維為主，在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖形表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，進(jìn)入圖形表征階段，形成一定的表象思維。最后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對比分析，抽象提煉，把握概念本質(zhì)，用數(shù)學(xué)語言符號表達(dá)概念內(nèi)涵，給出概念定義，建構(gòu)出概念模型，該環(huán)節(jié)是符號表征的過程，促進(jìn)了學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。例如，在教學(xué)“三角形的認(rèn)識”一課中，筆者首先給學(xué)生出示三角板，讓他們觀察觸摸，然后讓學(xué)生拿出三根小棒，圍出一個三角形，接著，讓他們動手繪畫，用筆畫出一個三角形，就這樣，引導(dǎo)學(xué)生在操作中感知體驗(yàn)，一步步認(rèn)識三角形的特征，增強(qiáng)對三角形內(nèi)涵的理解，最終提煉出三角形的概念：三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形。

3.深化概念應(yīng)用，締結(jié)思維果實(shí)

學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展如同植物的生長，遵循一定的規(guī)律，需要一定的時間，它既不可能一蹴而就，也不會停滯不前。需要經(jīng)歷引入、形成、鞏固漫長的過程，需要在應(yīng)用中理解，在應(yīng)用中深刻。概念的應(yīng)用是深化概念的過程，同時是締結(jié)思維果實(shí)的階段。應(yīng)用概念的過程也是解決問題的過程，同時是知識和方法遷移的過程，學(xué)生的視野會在應(yīng)用中開闊，思維會在應(yīng)用中靈動發(fā)散。

概念應(yīng)用實(shí)際上是從抽象化返回到具象化，將抽象概念應(yīng)用到具體的情境中，用概念指導(dǎo)實(shí)際問題的解決，同時在解決問題的過程中，學(xué)會舉一反三，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，提高思維能力與解決問題能力。例如，在教學(xué)“認(rèn)識垂線”一課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生在對情境圖的觀察中感知垂直，利用三角尺的直角的比較中認(rèn)識垂直，在測量比較中懂得“垂線段最短”。在學(xué)生掌握了垂直、垂線、點(diǎn)到直線的距離等概念后，筆者設(shè)計(jì)了幾組練習(xí)：看圖判斷誰的家離學(xué)校最近？老師是怎樣測量跳遠(yuǎn)成績的？如何修建一條最近的道路？學(xué)生應(yīng)用概念解決生活實(shí)際問題，在生活化的應(yīng)用中分析思考，辨析感悟，思維能力得以進(jìn)一步提高。

三、以數(shù)學(xué)符號為數(shù)學(xué)思維的語言

1.感受數(shù)學(xué)符號的直觀簡約

數(shù)學(xué)符號化能力很大程度上影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)符號及其應(yīng)用，思維能力和解決問題能力自會提升，教師應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)符號教學(xué)作為數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的抓手，通過培養(yǎng)學(xué)生符號化能力提高學(xué)生的思維能力。

在數(shù)學(xué)符號教學(xué)中，教師不能直接將數(shù)學(xué)符號灌輸給學(xué)生，而要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，主動分析加工，獲得數(shù)學(xué)符號建立符號模型。在教學(xué)中，教師首先要利用學(xué)生身邊的實(shí)物，結(jié)合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)在實(shí)物感知中與圖形建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)符號的直觀性，以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的興趣，提高符號學(xué)習(xí)的效率，增強(qiáng)學(xué)生的符號感。數(shù)學(xué)符號不僅直觀，而且簡約，應(yīng)用符號可以使數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系等變得清晰、簡單，教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感受符號的簡約魅力與價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的符號意識。

2.感知數(shù)學(xué)符號的廣泛應(yīng)用

數(shù)學(xué)符號作為思維的語言，不同于一般的日常語言，不僅形式簡約，而且內(nèi)涵豐富。數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用廣泛，可以用于表示數(shù)學(xué)規(guī)律，用來概括數(shù)學(xué)概念，用以表達(dá)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)符號可以作為思維模式。數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑，學(xué)生在應(yīng)用符號化的概念、公式等解決問題過程中，實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的鏈接，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用數(shù)學(xué)符號的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)符號的廣泛應(yīng)用，在應(yīng)用中展開符號化思維，提高數(shù)學(xué)思維能力。教師可以在規(guī)律探討與符號化表達(dá)的過程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。例如，教學(xué)“三角形三邊的關(guān)系”一課中，在引導(dǎo)學(xué)生探索出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一規(guī)律后，為了幫助學(xué)生更好地理解和記憶這一規(guī)律，筆者引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)律符號化，用字母表示三角形的邊，用“a+b>c”表達(dá)三角形的三邊關(guān)系，使得這一知識點(diǎn)既抽象又形象，既簡潔又直觀。

3.提升數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)換能力

“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”是數(shù)學(xué)課程的核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)符號作為一種高度抽象的數(shù)學(xué)語言，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡約性與精確性。數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)換能力標(biāo)志著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力水平，符號轉(zhuǎn)換是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要策略。

符號轉(zhuǎn)換主要是將語言表示轉(zhuǎn)換為關(guān)系式、表格、圖像等符號形式，用不同的形式描述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象。符號轉(zhuǎn)換可以幫助學(xué)生記憶數(shù)學(xué)知識，還能加深對概念或問題的深入理解，拓寬問題解決的路徑，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題策略的多樣化。符號轉(zhuǎn)換教學(xué)，可以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維，讓他們用不同方式思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性。例如，在教學(xué)“三角形的面積計(jì)算”一課中，筆者在組織學(xué)生操作活動結(jié)束后，組織學(xué)生進(jìn)行比較分析，根據(jù)平行四邊形與三角形各部分之間的關(guān)系，推導(dǎo)總結(jié)出三角形面積計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生將文字描述轉(zhuǎn)換為文字公式，并進(jìn)一步將文字公式轉(zhuǎn)換為字母公式。

四、以思維導(dǎo)圖為數(shù)學(xué)思維的工具

1.利用思維導(dǎo)圖編織思維鏈條

思維導(dǎo)圖用途廣泛，可以用于數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)梳理，用于問題解決的思路設(shè)計(jì)，思維導(dǎo)圖還可以幫助學(xué)生深入理解知識的形成過程，完善知識的結(jié)構(gòu)體系，以提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度。利用思維導(dǎo)圖梳理知識脈絡(luò)時，先要確定思維導(dǎo)圖的中心，然后逐級添加二級標(biāo)題、三級標(biāo)題等等，依次進(jìn)行細(xì)分，形成若干分支。在文字表達(dá)時需進(jìn)行精簡，要提煉出關(guān)鍵詞，并用線條、符號等將關(guān)鍵詞依次連接起來，形成樹形圖或網(wǎng)狀圖等形式，這樣可以將眾多分散的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)有機(jī)串聯(lián)起來，形成直觀、系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R結(jié)構(gòu)。

總結(jié)知識的過程，更是鍛煉思維的過程。用思維導(dǎo)圖梳理知識的過程，不僅幫助學(xué)生構(gòu)建了完整的知識體系，而且?guī)椭鷮W(xué)生理清了知識間的邏輯關(guān)系。思維導(dǎo)圖將知識分層，讓知識具有層級性，思維導(dǎo)圖中的每一個分支都是一根思維鏈條，學(xué)生在編織這根知識鏈條的過程中，思維也變得更加富有邏輯。筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常引導(dǎo)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖編織思維鏈條，梳理知識脈絡(luò)，建構(gòu)知識體系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。例如，在教學(xué)《多邊形的面積》一單元后，筆者就引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)L制思維導(dǎo)圖，將長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積及相互關(guān)系表達(dá)出來，幫助學(xué)生厘清了它們之間的關(guān)系，促進(jìn)了對每個圖形面積計(jì)算公式的理解和記憶。

2.利用思維導(dǎo)圖突破難點(diǎn)堵點(diǎn)

無論是在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)中，還是在數(shù)學(xué)問題的解決中，學(xué)生的思考不會一帆風(fēng)順，有時會產(chǎn)生思維盲點(diǎn)，遇到思維障礙，這就需要教師及時伸出援手，幫助學(xué)生疏通思維堵點(diǎn)，助力學(xué)生飛躍思維鴻溝。思維導(dǎo)圖可以讓學(xué)生插上有力的思維之翼，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)堵點(diǎn)，飛躍思維的天塹。

思維導(dǎo)圖具有明顯的開放性，能夠讓學(xué)生思維變得發(fā)散，幫助學(xué)生走出定向思維，找到新的靈感，從而另辟蹊徑，發(fā)現(xiàn)新的解題方法。思維導(dǎo)圖將知識關(guān)聯(lián)起來，可以幫助學(xué)生快速找到新舊知識之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題型歸類，可以幫助學(xué)生明晰思路，提高學(xué)生解題思維，從而突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

思維導(dǎo)圖是學(xué)生思維的結(jié)晶，為學(xué)生提供了問題解決的思路與框架，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生探究學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生分析解題。

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