彭晶 曹廣福

摘要：中小學教育教學中一個值得關(guān)注的問題是文理交融 ，即人文課程與數(shù)理課程的交叉融合 ，這同時也是跨學科視域下的重要命題。以小學語文教材與小學數(shù)學教材中均出現(xiàn)的 “田忌賽馬 ”的教學為例 ，說明跨學科視域下的文理交融教學應(yīng)呈現(xiàn)的樣態(tài) ：語文課在注重文學性的同時兼顧思辨性 ，數(shù)學課在強化理性思維的同時兼顧人文性。

關(guān)鍵詞 ：跨學科 ;文理交融 ;思辨性 ;人文性 ;田忌賽馬

中小學教育教學中一個值得關(guān)注的問題是文理交融 ，即人文課程與數(shù)理課程的交叉融合 ，這同時也是跨學科視域下的重要命題。本文將以小學語文教材與小學數(shù)學教材中均出現(xiàn)的 “田忌賽馬 ”的教學為例 ，談?wù)務(wù)Z文課如何在注重文學性的同時兼顧思辨性 ，數(shù)學課如何在強化理性思維的同時兼顧人文性。

一、從“田忌賽馬 ”教學看文理交融

統(tǒng)編小學語文五年級下冊第 16課便是《田忌賽馬》，課文根據(jù)漢代司馬遷的《史記 ·孫子吳起列傳》相關(guān)內(nèi)容改寫而成。這個故事還出現(xiàn)在人教版小學數(shù)學四年級上冊第 8單元《數(shù)學廣角 ———優(yōu)化》中。

從這兩冊教材的呈現(xiàn)方式看 ，前者注重文章的敘事性與文學性 ，后者關(guān)注的則是原理性與思辨性。相應(yīng)地 ，語文課與數(shù)學課的教學方法也大相徑庭。

語文課往往注重引導學生分析孫臏觀察事物以及洞察人心的能力。比如 ，一位教師這樣引導學生思考 ：師孫臏觀看幾場賽馬后 ，發(fā)現(xiàn)了什么 ？生在第 2自然段中可以找到 “大家的馬腳力相差不多 ，而且都能分成上、中、下三等 ”。 （教師板書 ：腳力相差不多 ，分成上、中、下三等。）

師齊威王的馬與田忌的馬腳力相當 ，可是田忌只換了一下出場順序 ，就確保獲勝 ，這是為什么 ？請同學們聯(lián)系上下文尋找答案。

生在同一等級中 ，腳力相當。如果換了順序，就有差別了。第一回合 ，田忌用下等馬對齊威王的上等馬 ，輸了 ;第二回合 ，田忌用上等馬對齊威王的中等馬 ，勝出 ;第三回合 ，田忌用中等馬對齊威王的下等馬 ，依然勝出。

師從你的回答中可以推知 ：孫臏通過細心觀察還發(fā)現(xiàn)了 ，齊威王每次派馬上場的等級順序都沒有變化 ，而且 ，齊威王容易輕敵 ，一般不會改變出馬順序。所以 ，他給田忌想辦法才能 “保證 ”獲勝。也就是說，孫臏除了觀察到馬 ，還觀察到了什么 ？

生他不僅觀察到了馬 ，還觀察到了人。

師從這里可以看出 ，孫臏想出這個辦法是有理有據(jù)的。你覺得孫臏是一個怎樣的人 ？

生足智多謀。

生善于觀察。

生出奇制勝。 （教師依次板書。）

師語言是思維的外殼 ，讓我們一同來賞析孫臏語言背后的智慧。 （出示 ：“將軍 ，我有個辦法 ，保證能讓您在賽馬時獲勝。”“一匹也不用換?！睂ⅰ败娬埛判?，按照我的主意辦 ，一定能讓您贏?！睂W生自主閱讀第 3—第13自然段。）

師佩服孫臏嗎 ？他的智慧藏在細致的觀察里，藏在敏銳的思考中 ，藏在大膽的謀劃下。老師還十分佩服作者。他用精煉的文筆描寫了比賽的過程 ，用精彩的對話再現(xiàn)了田忌和孫臏二人不同的神態(tài)、心理，讓語言、思維、智慧立體地展現(xiàn)在課

文里。對話體的段落 ，既適合朗讀 ，又適合表演。朗讀、表演應(yīng)把握人物的心態(tài)。請大家讀讀課文 ，揣摩田、孫、齊三人的心態(tài) ，然后上臺表演。

（準備好了的學生上臺表演。其他學生通過觀察 ，在教師的引導下 ，從神態(tài)、動作、語言、心理等方面評價同學的表演。）

數(shù)學課則更注重引導學生類比遷移 ，探尋最優(yōu)的應(yīng)對策略 ，感悟運用對策獲勝的運籌思想。比如 ，一位教師的教案 （“情境創(chuàng)設(shè) ，探究對策 ”部分 ）如下 ：

提問 ：你們平時都玩哪些游戲 ？預設(shè) ：撲克牌游戲 ，比大小。游戲規(guī)則 ：雙方每次各出一張牌比大小 ，

先選牌者先出牌 ，采用三局兩勝制。

1.第一次 PK教師出示兩組撲克牌 ，分別是 10、7、4和 1（A）、 2、3，男、女生選牌。提問 ：你選擇哪一組比大小 ？提示學生這里的 1、2看作數(shù)字。

引導 ：選擇 1、2、3的同學總是會輸 ，因為實力太懸殊了。

2.第二次 PK

課件出示 10、7、4和9、6、3兩組牌 ，學生

選牌。預設(shè) ：先選者選擇 10、7、4。提問 ：先選牌者先出牌 ，后出牌者怎么才

能贏 ？推送動畫 ：兩人一組進行游戲 ，并記錄結(jié)果。提問 ：后出牌者有多少應(yīng)對的方法 ？請你寫出來。

……

先分析語文課中的 “田忌賽馬 ”教學 ———教師通過設(shè)問 ，引導學生分析孫臏為何 “胸有成竹 ”。然而 ，孫臏的辦法是建立在齊

威王第二場不會更換出馬的順序這一前提下的。按照一般的比賽規(guī)則 ，雙方應(yīng)該同時出馬。然而 ，孫臏依據(jù)什么判斷齊威王不會改變出馬的順序 ？所謂的 “可以推知 ”，完全是教師在假定孫臏足夠智慧情況下的主觀猜測，而且是脫離課文描寫的 “腦補 ”。當齊威王發(fā)現(xiàn)田忌在第一場比賽中用最弱的馬對付他最強的馬時 ，怎么可能沒有警覺 ？這里 ，顯然缺少一點思辨。作為一國之王 ，齊威王手下也不乏智囊、參謀 ，竟如此缺乏謀略 ！上述教學過程 ，顯然將齊威王愚化了。

既然齊威王與田忌經(jīng)過之前的較量 ，彼此都了解對方的馬 ，當齊威王發(fā)現(xiàn)田忌第一場出最弱的馬后必然會疑惑。即使他自己想不出計策 ，也會問身邊的謀士。倘若齊威王第二場用最弱的馬出場 ，田忌該出什么馬 ？他又如何得知齊威王第二場會出什么馬 ？按照孫臏的預判 ，齊威王不會更換出馬的順序 ，田忌在第二場比賽中就該出最強的馬。這樣，田忌最終就可能輸?shù)?。把獲勝建立在齊威王始終按照之前比賽的順序出馬上 ，不是高估了孫臏的智慧 ，而是假設(shè)齊威王不僅得意忘形 ，而且愚笨。這不符合博弈的基本假設(shè)。文學故事可以適度夸張 ，但不宜為了得到某個結(jié)論而有悖常識。語文教學既需要一點思辨 ，更需要具有一定的批判精神。歷史故事有其產(chǎn)生的特定背景。戰(zhàn)國時期出現(xiàn)這樣的故事不足為奇 ：正所謂 “兵者 ，詭道也 ”，使用詭計、刺探情報都不違背戰(zhàn)爭規(guī)則。然而 ，賽馬畢竟不同于戰(zhàn)爭 ，其基本的規(guī)則是同時出馬 ，孫臏可以分析、猜測齊威王每一場將會出什么馬 ，但不可以像刺探軍事情報一樣打探齊威王每一場出什么馬 ;否則 ，便違反了比賽規(guī)則。一旦齊威王發(fā)現(xiàn)田忌作弊 ，后果可想而知。如果孫臏判斷齊威王始終按照之前比賽的順序出馬 ，

齊威王在第一場或許用最強的馬出場 ，而田忌用最弱的馬出場 ，那么 ，齊威王在發(fā)現(xiàn)了田忌的出馬順序反常后 ，必然會調(diào)整策略。一旦第二場齊威王用最弱的馬出場 ，而田忌用最強的馬出場 ，則田忌雖然能贏得第二場比賽，但在第三場比賽中很可能輸 ，最終還是齊威王贏得比賽。

如果語文課能在賞析原文的基礎(chǔ)上引導學生分析課文中存在的有悖常識與邏輯的問題，相信 ，這樣的課堂對于提升學生的思辨能力是有益的。換言之 ，語文教學不宜被動地接受 ，在賞析文學性的同時 ，適當融入理性思維是必要的。

再來看數(shù)學課中的 “田忌賽馬 ”教學 ———

數(shù)學教學的人文性 ，并非僅指表達的方式如同文學作品那樣充滿詩情畫意 ，更包括數(shù)學知識內(nèi)在的文化性 ，更不能違背生活常識。對策 （也稱為博弈 ）被廣泛運用于社會活動，尤其是經(jīng)濟活動中。只要存在競爭 ，便存在博弈。但所有社會活動中的博弈 ，都需要遵照特定社會活動的規(guī)則 ，這樣才能使得博弈在公平公正的情況下進行。

以上面的撲克牌游戲為例 ，教師別出心裁地亮出 “10、7、4”與 “1、2、3”兩組牌。且不說兩組數(shù)字的書寫順序不宜相反 ，出示這兩組數(shù)據(jù)對小學四年級的學生來說可能太容易了，或許對更低年級的學生才適用。教師如果想發(fā)揮一下 ，換一個角度設(shè)問或許更具有啟發(fā)性 ：（1）如果用 “3、2、1”與“10、7、4”比大小，前者有沒有可能勝過后者 ？學生當然清楚這是不可能的。（ 2）“田忌賽馬 ”的故事給了我們什么啟發(fā) ？當兩副牌強弱差別有多大的時候 ，一方可以做到以弱勝強 ？這樣設(shè)問不僅具有啟發(fā)性 ，而且能將撲克牌的大小比較與 “田忌賽馬 ”之間的邏輯關(guān)系自然地建立起來。

上述撲克牌的大小比較 ，也存在有悖常識的問題。按照撲克牌的競技規(guī)則 ，通常是一方出牌后 ，另一方再決定出什么牌 ，根據(jù)牌的大小決定下一輪誰先出牌。當然 ，撲克牌的大小比較可以作為一種博弈模型 ，不一定按照通常的撲克牌游戲規(guī)則進行。事實上 ，博弈分靜態(tài)博弈與動態(tài)博弈兩種。所謂靜態(tài)博弈 ，即雙方同時決策 ，競標通常屬于這類博弈;所謂動態(tài)博弈 ，指的是一方的決策在另一方的決策之后進行 ，市場經(jīng)濟中的博弈很多都屬于這種類型。這就對教師提出了一定的專業(yè)要求 ，需要了解博弈的基本常識。

博弈論有兩個基本假設(shè) ：（1）參與人 （也稱為局中人 ）同樣聰明 ;（2）參與人同樣理智。博弈不僅有靜態(tài)博弈與動態(tài)博弈之分 ，也有完全信息博弈與不完全信息博弈之分。完全信息博弈 ，指的是信息是透明的 ，彼此都知道對方的信息 ，彼此也都知道對方知道自己的信息。不完全信息博弈 ，則是指雙方的信息不被對方知道或不完全被對方知道 ，雙方也不清楚自己的信息是否被對方知道。例如 ，競標便是不完全信息博弈 ，而市場經(jīng)濟中的競爭通常屬于完全信息博弈。此外 ，博弈還分零和博弈與非零和博弈。競標就是一種零和博弈 ，因為一方中標意味著另一方不中 ，通俗地說即 “你死我活 ”。而市場經(jīng)濟中的博弈大多屬于非零和博弈 ，正所謂 “合作共贏 ”。這些常識性問題 ，對小學高年級學生而言并不難理解。教師只要真正了解 ，就可以用通俗易懂的方式讓學生理解 ，從而掌握一些社會活動中的基本常識。這便是數(shù)學教學中的人文性。

數(shù)學教學的人文性 ，還體現(xiàn)在語言表達上。由于 “田忌賽馬 ”的故事出現(xiàn)在五年級下冊語文教材中 ，數(shù)學課上介紹這個故事的時候，學生還沒有從文學的角度接觸過。數(shù)學教師不妨參考語文教材的表達方式 ，以敘事的方式有 “詩意 ”地講述這個故事。在此基礎(chǔ)上，理性分析這個故事產(chǎn)生的背景及合理性 ，嘗試作出改良。這才是真正意義上的培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。

按照博弈的類型 ，教材中的撲克牌游戲可以看成完全信息下的動態(tài)博弈。因為 ，撲克牌是完全公開的 ，彼此都知道對方的信息 ，也都知道對方知道自己的信息 ;而且 ，規(guī)定每次都是先選牌的一方 （基本都會選 “10、7、4”）先出牌 ，另一方在對方出牌之后再決定出什么牌。這種情況下 ，手握 “9、6、3”的一方能否贏得對方 ？教師做了上述鋪墊后 ，學生也就明白此撲克牌游戲非日常生活中的撲克牌游戲，而代表了一種博弈模型。只要每次都是手握 “10、7、4”的一方先出牌 ，手握 “9、6、3”的一方必定可以獲勝。教師可以引導學生分析，當較強的一方出什么牌的時候 ，較弱的一021方對應(yīng)出什么牌以確保獲勝。在此基礎(chǔ)上展開，說明軍事斗爭中情報工作與保密工作的重要性。戰(zhàn)爭中雙方力量可能相差比較懸殊，但只要情報準確 ，策略運用得當 ，集中優(yōu)勢兵力 ，依然可以做到以弱勝強。

上述撲克牌游戲與 “田忌賽馬 ”有本質(zhì)的不同。“田忌賽馬 ”屬于典型的靜態(tài)博弈 ：雖然彼此知道對方三匹馬的實力 ，也知道對方知道自己三匹馬的實力 ，但雙方同時出馬 ，并不清楚對方每一次出什么馬。所以 ，它與上述撲克牌游戲?qū)儆诓煌牟┺哪Ｐ?，用通常的方法無法事先判斷誰輸誰贏 ，只能分析較弱的一方在何種情況下才有勝算以及勝算的可能性有多大。待到高中學習概率知識之后，可以從概率的角度計算田忌獲勝的可能性。

二、跨學科視域下的文理交融教學新探

教育的目的是啟智 ，是讓人學會思考。

“田忌賽馬 ”分別出現(xiàn)在五年級下語文教材和四年級上冊數(shù)學教材中。也許時序統(tǒng)一起來 ，更便于兩門課程的協(xié)調(diào)教學。無論是語文教學還是數(shù)學教學或者其他課程的教學，都不應(yīng)該違背生活常識 ，給學生傳遞錯誤的信息。一些與日常生活看似相同實質(zhì)不同的現(xiàn)象 ，更應(yīng)該向?qū)W生解釋清楚 ，否則很容易誤導學生。語文教學不宜被動地接受現(xiàn)成的材料 ，而應(yīng)以一種批判的眼光分析歷史故事 ，尤其是注意辨別那些歷史故事中違背常識與邏輯的假設(shè) ，或者給出其合理的解釋。

語文教學可以通過對 “田忌賽馬 ”故事的剖析 ，說明在競技比賽與經(jīng)濟活動中需要按照各自的規(guī)則進行 ，這與軍事斗爭是不同的。?“田忌賽馬 ”是一個以弱勝強的故事。戰(zhàn)爭中以弱勝強的例子比比皆是 ，可以通過四渡赤水、飛渡瀘定橋等戰(zhàn)爭史上經(jīng)典的案例說明如何做到以弱勝強。同時應(yīng)該說明 ，市場經(jīng)濟博弈應(yīng)該建立在公平、誠信的基礎(chǔ)上 ，詭道不適用于市場經(jīng)濟。軍事斗爭與經(jīng)濟競爭是完全不同的博弈形式 ，前者是零和博弈 ，后者是非零和博弈 ，競爭的結(jié)果應(yīng)該是合作共贏。即使是體育競賽這樣的零和博弈 ，也要體現(xiàn)出友誼第一的體育精神 ，不妨通過競賽場上那些感人的故事告訴學生 ：相比于賽場上的獲勝 ，人性、尊重與關(guān)愛更值得被贊賞。這樣才能傳遞給學生正確的人生觀與價值觀。

我們不妨從數(shù)學教學的角度 ，重新設(shè)計這節(jié)課 ：

導入 ：同學們 ，今天給大家講一個故事。戰(zhàn)國時期出了個軍事天才 ，他是寫《孫子兵法》的孫武的后人 ———孫臏。孫臏聰明過人 ，足智多謀 ，著有《孫臏兵法》。孫臏是田忌的謀士。田忌是戰(zhàn)國初期齊國的大將軍 ，一生勇猛善戰(zhàn)、知人善任 ，是齊國的中流砥柱 ，為齊國成為戰(zhàn)國七雄作出過巨大的貢獻。孫臏在魏國時被魏國大將龐涓嫉妒 ，深受其害 ，以至雙膝被剮。僥幸逃脫后 ，投奔齊國以求活命。他在齊國原先只是一個一文不名的門客。直到有一天 ，田忌在與齊威王賽馬的時候發(fā)現(xiàn)了孫臏的才干 ，才開始重用孫臏 ，并由于得孫臏輔助而屢建奇功。我們且來聽聽這個流傳千古的故事 ……

引導 ：哪位同學來告訴大家 ，你從這個故事中得到了什么啟發(fā) ？

學生的回答或許與教師的預估有所出入，教師可以在學生討論的基礎(chǔ)上進一步引導。

啟發(fā) ：你們認為這個故事合乎情理嗎 ？賽馬比賽通常按照什么方式進行 ？如果一方事先獲知另一方出什么馬 ，這是什么行為 ？如果猜測對方將出什么馬 ，這樣的猜測一定準確嗎 ？歷史上為什么會出現(xiàn)這樣的故事 ？

介紹 ：戰(zhàn)國時期出現(xiàn)這樣的故事不足為奇。正所謂 “兵者 ，詭道也 ”，戰(zhàn)爭中既要做好保密工作 ，又要做好情報工作 ;只有知彼知己，方能百戰(zhàn)不殆。這個故事蘊含著一個深刻的理論。這個理論無論是在競技比賽中還是在經(jīng)濟活動中都有著廣泛的應(yīng)用。

如果時間允許 ，可以給學生介紹馮 ·諾伊曼解釋什么叫對策時所講的故事 ：甲、乙、丙三個人進行決斗 ，決斗的工具是手槍 ，規(guī)則是三人輪流開槍 ，直到最后只有一個人活著。三人的槍法不同 ：甲是神槍手 ，百發(fā)百中 ;乙的槍法次之 ，平均兩槍中一槍 ;丙的槍法最差，平均三槍才能中一槍。為了體現(xiàn)決斗的公平 ，三人商量后 ，決定先由丙開槍 ，丙應(yīng)該向誰開槍 ？

繼續(xù)介紹 ：這個著名的理論就叫博弈論 ，也叫對策論。博弈論分很多種類型 ，其中一種類型叫完全信息動態(tài)博弈 ，現(xiàn)在我們就來看看什么叫完全信息靜態(tài)博弈。

教師拿出兩組撲克牌 （或者 PPT展示 ），分別為 “10、7、4”與 “9、6、3”。游戲的規(guī)則是所有的牌都翻開 ，大家都知道彼此的牌 ，三輪出牌順序始終是手握 “10、7、4”的一方先出。

討論 ：按照上述游戲規(guī)則 ，“9、6、3”能不能勝過 “10、7、4”？如何才能勝 ？

在討論完上述問題后 ，教師可以進一步向?qū)W生解釋 ：一方先出牌 ，另一方根據(jù)對方的出牌決定自己出什么牌 ，這就是所謂的動態(tài)博弈 ;雙方都知道對方的牌 ，這就是完全信息博弈。

追問 ：可否將田忌賽馬的故事進行改寫 ，使其更符合邏輯 ？

可以仿照上述撲克牌游戲重新制定賽馬規(guī)則 ：即每場比賽均由齊威王首先出馬。這時，田忌如何選擇出馬順序方能勝過齊威王 ？這樣的規(guī)則雖然顯得有些不合常理 ，但讓實力比較強的一方先出馬也說得過去。齊威王或許看不出田忌的意圖而同意這樣的競賽規(guī)則，既然同意了就不能反悔 ，待到發(fā)現(xiàn)田忌的出馬順序與之前的比賽不一樣時悔之晚矣。故事按照這樣的邏輯進行編排相對符合人物的個性與心態(tài)。

啟發(fā) ：生活中可以找到博弈的例子嗎 ？

這個問題對四年級的學生來說或許是個挑戰(zhàn) ，但教師只要簡單引導就不難找到身邊的例子。例如 ，你對一個同學有好感 ，希望跟他交朋友 ，但彼此缺少一定的了解 ，你不知道對方是不是對你也有好感。這時候 ，你可以選擇主動接近對方 ，多向?qū)Ψ奖戆?，多幫助對方。這樣 ，對方在了解了你之后 ，慢慢也可能對你生出好感 ，從而愿意跟你做朋友。這本質(zhì)上就是一種博弈 ，通過交流 ，彼此了解對方的信息 ，一方表示了對另一方的喜歡之意 ，另一方根據(jù)對方的態(tài)度作出與對方做朋友或不做朋友的選擇。雖然很難做到彼此完全了解，但隨著時間的推移 ，彼此了解的程度越來越深 ，最終或許會成為好朋友 ，又或許因為進一步的了解覺得不合適而分道揚鑣。在市場經(jīng)濟中 ，一方為了爭取另一方 （合作者或消費者 ），需要以坦誠的態(tài)度介紹自己的實力、計劃或產(chǎn)品 ，同時也要了解對方的實力 ，從而判斷合作的可能性并爭取雙方利益的最大化。人的一生正是在這種不斷的選擇、放棄、再選擇的過程中度過的 ，生活如此，工作也是如此。大家應(yīng)學會思考、學會選擇、學會放棄。

這樣的數(shù)學課 ，不僅有了思辨性 ，也有了人文性。語文教師不妨以批判的眼光 ，重新設(shè)計 “田忌賽馬 ”的教學。

（彭晶，廣東省東莞市嘉榮外國語學校副校長。曹廣福 ，廣州大學數(shù)學與信息科學學院 ，教授 ，博士生導師。首屆國家 “教學名師”，入選國家 “萬人計劃 ”領(lǐng)軍人才教學名師。）