新教材背景下如何引導(dǎo)高中生利用數(shù)學(xué)寫作進(jìn)行反思

張海龍

內(nèi)容提要 ?通過(guò)數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)促進(jìn)高中生反思，結(jié)合平時(shí)所學(xué)習(xí)內(nèi)容和解題情況，促使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)寫作將將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相整合，或是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及其規(guī)律性的某些認(rèn)識(shí)，或是自己對(duì)數(shù)學(xué)的困惑及理解和在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的體會(huì)和經(jīng)驗(yàn)等等，通過(guò)學(xué)生自主研究并整理，形成反思過(guò)程。

關(guān)鍵詞 ?數(shù)學(xué)寫作 反思 高中生

學(xué)生課后對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行反思，是學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)習(xí)能力提高的的重要途徑之一.在平時(shí)教學(xué)工作中，數(shù)學(xué)寫作實(shí)施較少，大多數(shù)人認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)做題，會(huì)計(jì)算就可以了，還需要什么寫作呢？之所以會(huì)出現(xiàn)這種情況，也是因?yàn)榇蠖鄶?shù)人對(duì)數(shù)學(xué)寫作這個(gè)概念認(rèn)知有不同，其實(shí)大多數(shù)學(xué)習(xí)工作開(kāi)展到一定程度都應(yīng)該反思，而通過(guò)反思在促進(jìn)學(xué)習(xí)能力的提高，其實(shí)我們數(shù)學(xué)也是一種文化，一種語(yǔ)言，高中生撰寫的“數(shù)學(xué)寫作”，反映的是學(xué)生在平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的看法，或發(fā)表的見(jiàn)解、感受、解題理解等。那么這里說(shuō)的數(shù)學(xué)寫作就是學(xué)生反思的學(xué)習(xí)工具。

開(kāi)展數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)無(wú)疑對(duì)促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著極其重要的作用.但是學(xué)生從聽(tīng)懂、想通到說(shuō)清楚、寫明白需要一個(gè)理解、消化的過(guò)程，數(shù)學(xué)寫作無(wú)疑是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效載體，這樣的過(guò)程離不開(kāi)教師指導(dǎo).

如何有效地引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)呢？

下面將我所做的工作與思考梳理出來(lái)，和大家做個(gè)交流分享，以便進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)走向深入，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量這一章時(shí)，關(guān)于投影向量的內(nèi)容不是很理解。

例如 已知平面向量a、b， ， ， ，則 在 上的投影向量的坐標(biāo)為 ? ? ? ?。

首先發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并提出問(wèn)題。

學(xué)生解題情況， 向量模的平方后可以得到 ， ，然后學(xué)生無(wú)法繼續(xù)完成該題目的情況，其實(shí)學(xué)生初學(xué)該內(nèi)容，不是很理解概念，特別是照著公式套，進(jìn)行計(jì)算。其實(shí)后來(lái)學(xué)生做完該題后，與老師探討問(wèn)題時(shí)問(wèn)的第1個(gè)問(wèn)題，往往不是這題怎么做，而是問(wèn)“投影向量”是什么意思？

這時(shí)其實(shí)可以不用馬上回答，老師可以引導(dǎo)學(xué)生。

借助課本、資料書、同學(xué)老師進(jìn)行交流，找到解決方案?？梢韵茸屗私庀蛄康谋举|(zhì)是：具有大小和方向的量，那么投影向量就應(yīng)該從大小和方向來(lái)理解。

查閱資料可以知道，在2004 年版人教A版課標(biāo)舊教材中，把|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影，這個(gè)投影可以理解為投影數(shù)量。通過(guò)正負(fù)數(shù)表達(dá)向量a與b夾角為銳角和鈍角的情況，課標(biāo)與教材均沒(méi)有提出投影向量的概念。而在2019 年人教 A 版的新教材中，把向量a在向量b上的投影向量記為|a|cosθe（黑體e表示向量b方向上的單位向量），可以借助物理背景幫助學(xué)生理解，其實(shí)投影向量其實(shí)質(zhì)就是求力在位移方向上的分力。

例如，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM→＝a，ON→＝b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1→就是向量a在向量b上的投影向量.

設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1→與e，a，θ之間的關(guān)系為OM1→＝|a|cos θ e.

那么新舊教材兩者的關(guān)系，學(xué)生可以理解為：

新教材里的投影向量=舊教材里的投影數(shù)量×在該方向的單位向量

然后改正錯(cuò)誤，正確過(guò)程為

在 上的投影是 ，單位向量是

則 在 上的投影向量是

最后讓學(xué)生找出錯(cuò)誤原因，書寫錯(cuò)誤反思。

學(xué)生錯(cuò)因主要是不理解投影向量概念，屬于知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤。

那么通?！板e(cuò)誤原因”分為以下六類：1.審題錯(cuò)誤2.知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤3.邏輯推理錯(cuò)誤4.計(jì)算錯(cuò)5.書寫格式錯(cuò)誤6.數(shù)學(xué)作圖錯(cuò)誤。

小結(jié)：老師通過(guò)引導(dǎo)，讓學(xué)生了解投影和數(shù)量積運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)投影是高維空間到低維空間的一種線性變換。并且投影向量也在我們后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量基本定理、求點(diǎn)到線的距離、線與線的距離、點(diǎn)到面的距離、線到面的距離以及面與面之間的距離等用向量解決立體幾何問(wèn)題都有重要的意義。

形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，其次借助課本、資料書查閱、與同學(xué)、老師進(jìn)行交流找到解決方案，然后改正錯(cuò)誤，書寫正確過(guò)程，最后小結(jié)錯(cuò)誤原因，書寫錯(cuò)誤反思。通過(guò)學(xué)生在一次又次的寫作中不斷反思，從學(xué)習(xí)內(nèi)容的總結(jié)反思到數(shù)學(xué)寫作的反思，再到自身學(xué)習(xí)經(jīng)歷的反思，在不斷的反思中積累形成自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)自己的成長(zhǎng)歷程，最終達(dá)到學(xué)習(xí)的目的。

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