李想

摘 要：概念教學是發(fā)展學生數(shù)學思維，培養(yǎng)其數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.但在日常教學中，理想與現(xiàn)實存在諸多差距.“平方根”作為初中數(shù)學概念教學典型課例，以其為引，從把握學科知識、掌握教學知識、運用技術(shù)知識角度闡述緊扣課標教材，遵循學生的認知規(guī)律，推動課堂的自然生長.

關(guān)鍵詞：概念教學；核心素養(yǎng)；平方根

1 問題提出

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是數(shù)學學科的基石，更是數(shù)學思維和數(shù)學交流的工具^［1］.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《新課標》）中明確指出：教師要引導學生經(jīng)歷獨立的數(shù)學思維過程，理解數(shù)學基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程，并在過程中發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維.由此可見，概念教學是數(shù)學教學的重要組成部分.初中階段是學生抽象邏輯思維迅速發(fā)展的關(guān)鍵時期，概念教學肩負著引導學生通過實際問題抽象數(shù)學概念，理解數(shù)學概念，探尋數(shù)學本質(zhì)，逐步學會運用數(shù)學思維方式分析解決問題的重任，因此，受到教育工作者的廣泛重視.但在日常教學中，它往往卻是初中數(shù)學教學的短板，存在諸多問題.第一，缺乏整體思考，過于追求短期效果，導致學習呈孤立狀；第二，缺乏過程關(guān)注，過于追求結(jié)果，使得學生應(yīng)有的認知感悟和思維體驗不足；第三，缺乏學習深度，對于隱藏在知識背后的數(shù)學思想方法的挖掘不夠，錯失培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的機會.那如何謀篇布局數(shù)學概念教學，以促進學生數(shù)學思維發(fā)展，提升其數(shù)學學科核心素養(yǎng)呢？筆者將結(jié)合參加2022年江蘇省優(yōu)質(zhì)課評比所執(zhí)教的“平方根”一課，提出教學反思.

2 案例評析

2.1 教材分析

“平方根”出自《義務(wù)教育教科書數(shù)學八年級上冊（蘇科版）》第四章“實數(shù)”第一節(jié)（第一課時），是繼自然數(shù)、分數(shù)、負數(shù)等有理數(shù)的學習后認識無理數(shù)的開端，是一次重要的數(shù)系擴充，亦是繼加、減、乘、除、乘方五種運算學習后對乘方逆運算探討的起點，且對后續(xù)將要學習的立方根、二次根式、求解一元二次方程有著深遠影響.

從知識角度來說，教材選擇從平方的逆運算——開平方入手，通過計算小方格紙中長方形對角線的問題情景，引出了研究平方根的必要性和平方根的相關(guān)概念，這是本單元的起始內(nèi)容，也是本課時的核心問題.

從思維角度來說，以“開平方”開始乘方逆運算的研究體現(xiàn)了以簡馭繁的研究思路；平方根具備運算結(jié)果與運算過程的雙重含義；平方根概念的形成對數(shù)感和符號意識的發(fā)展起著重要作用；平方根的研究路徑為今后立方根的學習提供樣本等等.這些無疑都說明平方根的生成與發(fā)展處處體現(xiàn)了數(shù)學的邏輯性和合理性，具有很高的思維價值^［2］.

2.2 學情分析

八年級學生具備了“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)知識基礎(chǔ)，抽象邏輯思維逐步開始占據(jù)優(yōu)勢，但仍需要感性經(jīng)驗的直接支持.具體分析有兩個潛在難點：第一，學生已經(jīng)學習了勾股定理，會計算直角三角形邊長，為探究平方運算的逆運算奠定了基礎(chǔ).但由于邊長均為正值，這在一定程度上會對學生理解和掌握平方根形成負遷移；第二，平方根概念較為抽象，又與算術(shù)平方根、立方根和無理數(shù)等內(nèi)容高度相關(guān)，四個緊密相連又易于混淆的概念將給學生的學習帶來一些困惑.

2.3 教學目標

基于教材和學情分析，本課時圍繞“平方根”這一核心概念的生成與發(fā)展，即為何要學習平方根？怎樣研究平方根？研究結(jié)果如何？還有哪些關(guān)聯(lián)內(nèi)容？確定教學目標如下：

（1） 體會研究平方根的必要性，了解平方根的起源與發(fā)展；

（2） 了解平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根；

（3） 了解平方與開方互為逆運算，理解平方根的相關(guān)事實，會用平方運算求非負數(shù)的平方根；

（4） 經(jīng)歷知識的生成與發(fā)展，體會數(shù)學的抽象與嚴謹，主動用數(shù)學思想方法分析和解決問題，并感受和欣賞數(shù)學之美.

2.4 教學過程

2.4.1 運算入手巧設(shè)疑

問題1：同學們，數(shù)學為人們提供了觀察、感知、探索世界的方式，小學階段我們學習了加法，這是生產(chǎn)生活的需要，隨后研究了加法的逆運算——減法，而為了簡化加法又學習了乘法以及乘法的逆運算——除法；初中階段為了簡化乘法進一步學習了乘方，這時我們不禁思考：乘方有沒有逆運算呢？

生：應(yīng)該有吧.

【設(shè)計意圖】教材中雖未直接用逆運算引出“平方根”，但卻處處暗藏運算線索.故筆者通過類比加與減、乘與除的互逆關(guān)系，首先激發(fā)學生基于“運算完備性”思考乘方的逆運算，以此引導學生邏輯清晰地整體梳理運算體系結(jié)構(gòu)，站在更高層次俯瞰接下來要學習的平方根、立方根等內(nèi)容，讓學生親歷問題的生成，感受提好數(shù)學問題的重要性.

2.4.2 關(guān)聯(lián)生活提問題

活動一：出示校園航拍圖，抽象出正方形、直角三角形和圓.

（1） 如果正方形的面積為16m²，那么它的邊長x與面積之間具有怎樣的等量關(guān)系？

（2） 如果直角三角形“勾三”“股四”，那么“弦x”與它們具有怎樣的等量關(guān)系？

（3） 如果圓的面積為9/4π，那么圓的半徑x與面積之間具有怎樣的等量關(guān)系？

生1：x²=16，x²=25，x²=9/4.①

師追問：如果正方形的面積為2m²呢？如果勾四股五弦是多少呢？如果圓的面積為5π呢？

生2：x²=2，x²=41，x²=5.②

【設(shè)計意圖】從實際生活中抽象數(shù)學問題，獲得“正方形”“三角形”“圓”三個基本圖形，利用已學知識得出6個關(guān)于x的方程.第①組三個方程的底數(shù)為有理數(shù)，旨在引出平方根的定義；第②組三個方程底數(shù)為無理數(shù)，旨在為平方根的表示方法及其性質(zhì)做好鋪墊.

2.4.3 歸納抽象生概念

活動二：觀察第①組三個方程，思考使等式成立的x是否存在？是否唯一？若存在，x為多少？

生3：存在，不唯一，x=±4；x=±5；x=±3/2.

師追問：你有什么發(fā)現(xiàn)？能將結(jié)論一般化嗎？

生4：使這些等式成立的x都有兩個.可以將結(jié)論一般化為：當x²=a時，滿足條件的x有兩個.

師再次追問：很重要的發(fā)現(xiàn).那對于一般化的a有要求嗎？

生5：若a是正數(shù)，滿足條件的x有兩個；若a是負數(shù)，就不存在這樣的x.

師：很好，把a分成了正數(shù)與負數(shù)討論，大家思考，漏掉了什么沒？

生6：若a＝0，滿足條件的x就是0，只有一個.

師：好的，要注意分類討論的完整性.

師生共同小結(jié)：當a＞0時，使x²=a成立的x是存在的，且有兩個；當a=0時，使x²=a成立的x是存在的，就是0；當a＜0時，使x²=a成立的x是不存在的.

由此引出平方根定義：如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根.

【設(shè)計意圖】設(shè)計對三個“冪”為平方數(shù)的例子進行平方根存在性和唯一性分析，尤其從一開始就提出唯一性問題，是為了引導學生從概念生成伊始就自我固化“正數(shù)平方根有兩個”這一重要事實，避免生成“漏負”的常見錯誤而難于糾正的困擾.然后從特殊到一般，通過對于a的討論，化解概念生成中關(guān)于開平方“非負性”的難點，使得新知學習自然生長，并潛移默化地滲透分類討論這一重要數(shù)學思想.

2.4.4 深入研究探性質(zhì)

活動三（1）個人答題：求出下列各數(shù)的平方根：25；16/81；15；0.09.

（2） 小組合作：請同學們小組合作，按照步驟完成下列任務(wù).

① 組員輪流抽取卡片（教師提供），并說出卡片上的數(shù)是否有平方根，若有，請寫下來，若沒有，請說明理由；

② 小組交流，判斷組員的運算結(jié)果是否正確；

③ 從中選1個“印象最深刻”的數(shù)，整理在“學案”上，進行組內(nèi)交流；

④ 班級全體組間交流，歸納結(jié)論.

某一學生小組展示：

師生共同歸納得出平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.

【設(shè)計意圖】個人答題是對平方根問題的及時鞏固，按照《新課標》的要求從“求百以內(nèi)整數(shù)的平方根”到“求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根”設(shè)計平方數(shù)、分數(shù)、非平方數(shù)、小數(shù)的平方根問題.其中涉及小數(shù)化為分數(shù)，小數(shù)平方根的數(shù)位問題，較大的數(shù)的短除法等知識要點，前后聯(lián)系鞏固平方根的定義，為后續(xù)教學環(huán)節(jié)奠定基礎(chǔ).

小組合作旨在讓學生于具體解題中發(fā)現(xiàn)問題，并通過選取“印象深刻”的數(shù)，體會自主學習的樂趣，引導學生自發(fā)進行問題歸類，并做一般化處理，最終“自然”地得出相應(yīng)結(jié)論，以此激發(fā)學生的探究熱情，發(fā)展學生數(shù)據(jù)收集、處理、分析及歸納的能力，滲透分類討論思想，培養(yǎng)合作意識^［3］.

2.4.5 概念辨析促理解

問題1：已知底數(shù)和指數(shù)求冪，這是什么運算？

問題2：已知冪和指數(shù)求底數(shù)，這是什么運算？

師生共同討論：（1） 平方運算；（2） 求平方根，即求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方.

問題3：你能說一說“平方”“平方根”“開平方”的關(guān)系嗎？

生7：平方和開平方都是運算，應(yīng)該互為逆運算，就像“加和減”“乘和除”一樣；而平方根是開平方運算的結(jié)果.

師：非常好，“平方根”是數(shù)，“開平方”是運算.

【設(shè)計意圖】通過對底數(shù)、指數(shù)、冪“知二求一”分析，引導學生感受求平方根的運算與平方運算的互逆關(guān)系，從而引出開平方的定義，并通過辨析易混概念“平方”“平方根”“開平方”，幫助學生深化平方根概念理解，剖析其數(shù)學本質(zhì).

2.4.6 回顧反思留懸念

師：同學們，本節(jié)課我們研究了哪些內(nèi)容？涉及了哪些數(shù)學思想方法？你能用思維導圖的形式進行簡單梳理嗎？

師：根據(jù)今日所學，大家有什么疑問，或是還能提出什么問題嗎？

提示：正數(shù)的平方根有兩個，但我們生活中好像經(jīng)常用到的是正的那個，這是為什么呢？平方是乘方的最特殊、最簡單的形式，開平方自然也是開方的最簡單的形式，那接下來我們想研究什么呢？

【設(shè)計意圖】好的課堂一方面應(yīng)當幫助學生建立結(jié)構(gòu)化的認知，將知識、方法串點成線，連線成面，形成體系，另一方面要留足懸念，引導學生思考，主動延伸課堂，形成善質(zhì)疑，會學習的品質(zhì).

3 教學反思與啟示

概念教學是數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一，其核心就是數(shù)學概念，即反映數(shù)學對象本質(zhì)屬性的思維形式.李邦河院士曾指出：數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也.因此，數(shù)學概念教學應(yīng)立足于數(shù)學本質(zhì)，著眼于學生的長效發(fā)展，發(fā)揮學科育人優(yōu)勢，最終實現(xiàn)發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的終極目標.如何組織數(shù)學概念教學呢？筆者結(jié)合“平方根”課例，認為要注意以下幾點.

3.1 把握學科知識，提高概念教學質(zhì)量

常言道：要給學生一杯水，教師要有一桶水，更要成為長流水.因此，教師組織好數(shù)學概念教學的前提是自身具備過硬的學科素養(yǎng)，只有教師對數(shù)學概念的內(nèi)涵、外延以及背后所蘊含的數(shù)學思想方法有深刻的理解，才能據(jù)此有目標地設(shè)計并實施教學.那如何把握學科知識呢？鉆研課標、教材是規(guī)范動作，教材是育人目標的物化產(chǎn)物，教學不可脫離教材，但亦不可對教材“唯命是從”，教師需深入研究課程標準，揣摩教材編寫意圖，從表面到本質(zhì)，從孤立到系統(tǒng)地把握概念深層結(jié)構(gòu)，明晰知識體系構(gòu)成.當然，查閱學術(shù)論著、進行相關(guān)研究則是自選動作，兩者結(jié)合，可以更加有效地挖掘數(shù)學本質(zhì)，提升教師學科素養(yǎng).“平方根”教學設(shè)計將本節(jié)放入單元甚至整個數(shù)學學習歷程中，從“數(shù)的發(fā)展”與“運算的封閉”兩個角度審視本節(jié)內(nèi)容，挖掘內(nèi)在思想方法及理性精神，為教學實施打下學科基礎(chǔ).

3.2 掌握教學知識，構(gòu)建概念教學模式

教師教學過程中抓住“生長點”“發(fā)展點”“提升點”，關(guān)注數(shù)學知識生成，重視數(shù)學思維發(fā)展，才能組織出“自然生長”的數(shù)學教學，形成人與知識共生的良性循環(huán)，構(gòu)建數(shù)學概念教學的有效模式.而在“平方根”的教學設(shè)計中，這一點是貫穿始終的，從最初對于學情的分析，到之后教學過程的若干環(huán)節(jié)，如從學生熟悉的校園航拍引入新課、從引導學生思考平方有沒有逆運算發(fā)起對新知識的探索，這些引導學生主動參與、積累數(shù)學活動經(jīng)驗、經(jīng)歷知識的生成與發(fā)展的設(shè)計均是遵循這一原則，以期培養(yǎng)學生適應(yīng)進一步學習和終身發(fā)展需要的數(shù)學核心素養(yǎng).

3.3 運用技術(shù)知識，助力概念教學優(yōu)化

近年來，“信息技術(shù)與學科教學整合”成為教學研究的熱門話題.多媒體計算機與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)以其可視、直觀等優(yōu)勢為數(shù)學教學提供了強大的技術(shù)支撐.在“平方根”教學中，筆者設(shè)計“數(shù)學實驗拓發(fā)展”環(huán)節(jié)，引導學生操作幾何畫板等軟件，通過計算、繪圖，進一步加深對于平方根的理解，并滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、極限等重要數(shù)學思想，以實現(xiàn)概念教學的拓展，涵養(yǎng)學生數(shù)學精神.

參考文獻：

［1］ 杜成智.數(shù)學理解在初中數(shù)學概念教學中的運用［J］.教學與管理，2019（10）：45-47.

［2］ 鄭海山.以數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的視角展開概念課教學——以“平方根”一課為例［J］.中國數(shù)學教育，2021（Z3）：65-68.

［3］ 葉新和.“平方根”教學設(shè)計與反思［J］.中學數(shù)學月刊，2020（1）：5-7+11.