［摘? 要］ “如何發(fā)揮學(xué)科育人價值”是教育工作者當(dāng)前迫切需要思考的問題，也是對教育本真的不懈追求. 現(xiàn)結(jié)合一節(jié)“圓”單元復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)實(shí)例，探究如何通過問題驅(qū)動式課堂教學(xué)創(chuàng)設(shè)新的復(fù)習(xí)課生態(tài)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中獲得生長，從而達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目的.

［關(guān)鍵詞］ 學(xué)科育人；問題驅(qū)動；單元復(fù)習(xí)課

作者簡介：熊?。?988—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲南京市初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽一等獎，主持南京市教育科學(xué)規(guī)劃第十二期個人課題“學(xué)科育人導(dǎo)向下問題驅(qū)動式教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的實(shí)踐研究”（Lc1010）.

黨的十八大報告把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，“學(xué)科育人”成為教育領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，那么數(shù)學(xué)學(xué)科如何培養(yǎng)人呢？［1］在此背景下，筆者開展了“學(xué)科育人導(dǎo)向下問題驅(qū)動式初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐研究”的課題研究. 本文以蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊“圓”單元復(fù)習(xí)作為研究對象進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，擬簡單呈現(xiàn)這節(jié)復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施和實(shí)踐反思，與同人交流，以期得到更多、更好的復(fù)習(xí)課教學(xué)成果.

問題驅(qū)動式“圓”單元復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計(jì)及教學(xué)實(shí)施

問題? 在圓中畫兩條弦，你會有哪些發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】

通過“在圓中畫兩條弦”這個問題，促發(fā)學(xué)生思考兩條弦與圓的不同構(gòu)圖，促使學(xué)生運(yùn)用分類思想分析解決問題. 在每一種構(gòu)圖的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考“有哪些發(fā)現(xiàn)”引發(fā)學(xué)生挖掘圖形之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生討論知識之間的聯(lián)系，驅(qū)動學(xué)生自主構(gòu)建本章的知識體系. 相比于教師主導(dǎo)下的復(fù)習(xí)回顧，“在圓中畫兩條弦”的新問題可以激發(fā)學(xué)生的興趣，一個切入口寬廣的問題也會讓每一個學(xué)生都能參與進(jìn)來. 此外，該問題廣度較寬，能夠不斷延伸，學(xué)力較強(qiáng)的學(xué)生可以利用充足的時間去思考、關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)化，從兩條弦的位置關(guān)系深入思考數(shù)量關(guān)系. 在此過程中，學(xué)生知識體系的建立和思維能力的生長不斷螺旋上升.

【教學(xué)實(shí)施】

師：在圓中畫兩條弦，你會怎么畫呢？試試看.

（學(xué)生開始畫圖）

師：畫好后標(biāo)記好點(diǎn)，觀察圖形，你有哪些發(fā)現(xiàn)？請寫下來.

（學(xué)生展開思考，教師巡視、捕捉生成性資源）

師：畫兩條弦，你是怎么想的？

生1：兩條弦的位置沒定，我畫了兩條平行弦（圓心同側(cè)或異側(cè)）和兩條互相垂直的弦（如圖1、圖2、圖3所示）.

師：有哪些發(fā)現(xiàn)？

生2：兩條平行弦所夾的弧相等；（垂徑定理）垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧.

師：你知道垂徑定理和圓的什么屬性有關(guān)嗎？

生3：軸對稱性，直徑是圓的對稱軸.

師：平行弦所夾弧相等又如何證明呢？

生4：根據(jù)圖1，我們可以連接BC，因?yàn)锳B∥CD，所以∠ABC=∠BCD，所以=.

師：由∠ABC=∠BCD得到=的依據(jù)是什么？

生5：我認(rèn)為由∠ABC=∠BCD不能直接得到=，應(yīng)根據(jù)“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”先得到圓心角相等，然后由“三量關(guān)系定理”才能得到弧相等.

師：能具體說說“三量關(guān)系定理”嗎？

生5：在同圓或等圓中，等弧、等弦、相等的圓心角可以互相轉(zhuǎn)化.

師：“三量關(guān)系定理”和圓的什么屬性有關(guān)呢？

生6：圓的旋轉(zhuǎn)不變性.

師：異側(cè)的情況可以類似地證明.

（此時教師完成板書1）

師：在圓中畫兩條弦，還有不同的畫法嗎？

生7：我畫了兩條特殊的相交弦，它們組成了一個圓周角，圓周角是圓心角的一半.

師：這是圓周角定理，還有補(bǔ)充嗎？

生8：同弧或等弧所對的圓周角都相等.? 比如，我們再畫幾個同弧所對的圓周角∠A1，∠A2，∠A3，因?yàn)槎际菆A心角∠O的一半，所以都相等.

師：若是同弦所對的圓周角還保持這樣的特性嗎？畫一畫.

生9：同弦所對的圓周角分為上、下兩個，同側(cè)的圓周角都相等，但異側(cè)的圓周角是互補(bǔ)的關(guān)系.

師：大家看，在思考構(gòu)圖問題時，我們常常需要分類討論.那么同弦所對的兩側(cè)的圓周角互補(bǔ)是如何得到的呢？

生10：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

師：你能證明“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”嗎？

生10：還是根據(jù)圓周角定理，將兩個圓周角轉(zhuǎn)化到圓心角正好拼成360°，圓周角是圓心角的一半，即180°.

（此時教師完成板書2）

師：還有其他想法嗎？

生11：如果弦AB是直徑，連接BC，AC，那么∠ACB是直角，因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角.

師：特殊的弦對著特殊的圓周角. 反過來也成立，即90°的圓周角所對的弦是直徑.

（此時教師完成板書3）

師：畫兩條弦，除了考慮位置關(guān)系還能想到什么呢？

生12：數(shù)量關(guān)系.

師：若是兩條相等的弦呢？

生13：若是兩條相等的平行弦，連接AC，BD，我們可以得到一個矩形.

師：大家想想如何證明.

生14：如圖7所示，根據(jù)AB=CD得=，由AB∥CD得=，相加得到=，也就是半圓，于是∠C=∠B=90°.? 同理可證∠CAB=∠CDB=90°.? 于是ACDB為矩形.

師：若是兩條等弦相交呢？又有什么發(fā)現(xiàn)？

生15：類似于等弦平行，如圖8所示，可得=，于是∠CAB=∠ACD，根據(jù)等角對等邊得到AP=CP，PB=PD.

生16：如圖8所示，連接OA，OC，由OA=OC和AP=CP可以證明OP所在直線垂直平分AC和BD，是整個圖形的對稱軸.

生17：相互垂直是特殊的相交，前面的結(jié)論都成立.

師：大家再仔細(xì)看看，這里藏了“一線三垂直”的基本圖形，但它們并不是全等哦（如圖9所示）.

師：如果把弦看作圓的內(nèi)接線段，那么這條弦所在的直線與圓有什么關(guān)系呢？

生18：這條直線與圓相交.

師：直線與圓還有什么關(guān)系呢？

生19：根據(jù)圓心與直線的距離d和半徑r來判斷.? 當(dāng)dr時，直線和圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離.

（教師此時完成板書4）

師：在直線與圓的位置關(guān)系中，哪一種情況最特殊？具體說一說.

生20：相切最特殊. 若直線與圓相切，則圓心與切點(diǎn)連接的半徑與直線垂直；若直線與圓相交的一點(diǎn)與圓心連接的半徑與直線垂直，則圓與直線相切.

生21：過圓外一點(diǎn)P作圓的切線兩條，且切線長相等.

師：在切線長定理的基本圖形中，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

生22：OP是∠APB的平分線.

生23：OP垂直平分AB，由PA=PB，OA=OB，以及垂直平分線判定定理可證.

生24：再添一條切線，會出現(xiàn)三角形的內(nèi)切圓，可以用等積法求內(nèi)切圓的半徑.

師：三角形與圓還有其他關(guān)系嗎？

生25：還有內(nèi)接三角形與外接圓.

師：不妨連接三個切點(diǎn)，☉O就成了△ABF的外接圓了. 內(nèi)接三角形ABF的內(nèi)角與誰有關(guān)？

生26：內(nèi)接三角形的內(nèi)角是外接圓的圓周角，所以∠AFB=∠AOB. 根據(jù)切線的性質(zhì)定理得∠APB+∠AOB=180°，所以∠AFB= （180°-∠APB）.

師：與圓有關(guān)的圖形，最簡單的是“點(diǎn)”，然后有直線、三角形、四邊形、正多邊形等. 幾何圖形之間的關(guān)系緊密，解決圖形問題時要多關(guān)聯(lián)相關(guān)圖形. 比如三角形隱藏的外接圓.

（此時教師完成板書5）

師：至此，我們建立了圓內(nèi)外相關(guān)元素之間的關(guān)聯(lián)體系. 大家可以看到：圖形萬般變化皆歸一個系統(tǒng)，問題不盡相同方法皆能統(tǒng)一.

例題? 如圖12所示，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的☉O交AB，AC分別于點(diǎn)D，E. 求證：DB=CE.

【設(shè)計(jì)意圖】

在復(fù)習(xí)課章節(jié)知識體系建立完成的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)例題并借用本章知識解決. 本題要證明的是DB=CE，可以從不同視角入手：若定位為等弦，則可以關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化到圓心角、等弧、圓周角等圓內(nèi)部元素來思考；若定位為等線段，則可以聯(lián)系到全等或等角對等邊；若能想象到切線長，則可以挖掘隱圓條件. 通過對證明對象不同定位，讓學(xué)生再一次親歷分類與轉(zhuǎn)化，讓數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化于心. 這樣一道例題包羅萬象，卻又萬法歸宗.

【教學(xué)實(shí)施】

師：對于DB，CE你是如何定位的？又如何證明它們相等？

（學(xué)生獨(dú)立思考、探尋證法，教師巡視、捕捉生成性資源）

生27：如圖13所示，因?yàn)锳B=AC，若能證明AD=AE，就可以得到DB=CE. 連接DE，形成圓內(nèi)接四邊形BDEC，得∠B=∠AED，∠C=∠ADE. 根據(jù)AB=AC以及等邊對等角可得∠B=∠C，再由等量代換推得∠ADE =∠AED，所以AD=AE.

生28：如圖14所示，因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C，可證=，進(jìn)一步得=. 由弧等可得弦等，所以DB=CE.

生29：利用三角形全等證明.? 如圖15所示，連接BE，CD，由BC是直徑得∠CDB=∠BEC=90°，結(jié)合∠B=∠C和BC=CB，得Rt△BCD≌Rt△CBE，所以BD=CE.

生30：根據(jù)圓心角相等可得弦等. 如圖16所示，連接OD，OE，得到等腰三角形BOD和等腰三角形COE.? 由AB=AC可得∠B=∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得圓心角∠BOD=∠COE，所以BD=CE.

生31：如圖17所示，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，作OF⊥AC于F.? 根據(jù)AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，易證AO是∠BAC的平分線，于是OH=OF. 以O(shè)為圓心、OH為半徑作小☉O與AB，AC相切于點(diǎn)H，F(xiàn)，由切線長定理可得AH=AF，于是BH=CF，再根據(jù)垂徑定理可得2BH=2CF，即BD=CE.

生32：在圖17中，也可以先證明Rt△BOH≌Rt△COF，于是BH=CF，再利用垂徑定理得到2BH=2CF，即BD=CE.

學(xué)科育人導(dǎo)向下問題驅(qū)動式單元復(fù)習(xí)課的實(shí)踐思考

1. 堅(jiān)持育人導(dǎo)向，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生并經(jīng)歷

學(xué)科教學(xué)是育人主陣地，作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)，絕不應(yīng)該僅僅是傳遞知識的載體，應(yīng)以其獨(dú)特的學(xué)科特點(diǎn)擔(dān)負(fù)起學(xué)科育人的使命.? 但長期以來，數(shù)學(xué)學(xué)科具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和高度的理性精神，部分教師一直以傳授知識為目的，甚至理解為培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，忽視了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科完整性的體驗(yàn)，必然不能培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)情懷，導(dǎo)致數(shù)學(xué)失去了教育價值和育人本質(zhì). 在以學(xué)科育人為導(dǎo)向的問題驅(qū)動式教學(xué)理念下，本節(jié)課設(shè)計(jì)了“在圓中畫兩條弦”的明線主問題，既能引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的相關(guān)知識，又能引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷基本圖形的形成過程，感受圖形結(jié)構(gòu)的變化，讓學(xué)生的思維和知識共同成長出來！同時，本節(jié)課還埋進(jìn)了“分類”“轉(zhuǎn)化”以及“特殊與一般”數(shù)學(xué)思想方法的暗線，學(xué)生思維的生長離不開數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體悟到數(shù)學(xué)思想方法，能讓學(xué)生產(chǎn)生獲得感，從而促進(jìn)學(xué)生思維大步成長. 這樣的明暗雙線在課堂中給學(xué)生進(jìn)行研究活動留足了時間，也給予了學(xué)生不同程度的思維發(fā)展空間.? 這樣的每一個學(xué)生都能思考的課堂方有一種思維生長的活力和生命成長的張力.

2. 讓復(fù)習(xí)課在循環(huán)中不斷重設(shè)開端

如何創(chuàng)新復(fù)習(xí)課教學(xué)，特別是中考復(fù)習(xí)課？筆者認(rèn)為，創(chuàng)新復(fù)習(xí)課教學(xué)就是打破機(jī)械重復(fù)，需要教師研究教材，智慧整合教學(xué)資源，在復(fù)習(xí)課新一輪次的循環(huán)中創(chuàng)新故事的開端，讓復(fù)習(xí)課帶給學(xué)生“生生不息”的生命成長體驗(yàn)感［2］. 就本節(jié)課來說，通過“圓與兩條弦的組合構(gòu)圖”的想法給學(xué)生一次“重生”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，而不是剛剛開始就看到結(jié)局的乏味. 在“不同以往”的設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生耳目一新，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生面對問題時可以通過不同角度去思考，無形中也滲透了創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這將學(xué)生從數(shù)學(xué)課堂引進(jìn)了更高更遠(yuǎn)卻很貼近生命成長的地方.

3. 捕捉生成性資源，促動學(xué)生思維生長

問題驅(qū)動式教學(xué)的目的是將教師本位轉(zhuǎn)變成學(xué)生本位——以學(xué)定教，教師作為問題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評估者，利用問題驅(qū)動課堂發(fā)展，利用學(xué)生即時生成性資源促使課堂生長，建立一種以學(xué)生為主體、以專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的各種問題為學(xué)習(xí)起點(diǎn)、以問題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容的課堂，使得學(xué)生人人能夠參與其中，不同的學(xué)生獲得不同程度的發(fā)展. 在這樣的課堂中，學(xué)生即時生成性資源是串聯(lián)課堂的關(guān)鍵，教師要及時捕捉這些生成性資源，甄別有效的生成性資源，靈活利用生成性資源，促使課堂高效發(fā)展和學(xué)生思維快速成長.? 在這樣的課堂中，教師要多關(guān)注師生互動交流、生生互動交流，需要教師充分發(fā)揮教學(xué)智慧組織引導(dǎo).

4. 雕刻板書設(shè)計(jì)，構(gòu)建知識生長脈絡(luò)

問題驅(qū)動式教學(xué)下學(xué)生人人有所思考，教師可以利用多媒體呈現(xiàn)不同的生成性資源，這些豐富各異的生成性資源是學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，從“指劍亂舞”“思維發(fā)散”到建立緊密知識體系的過程需要雕刻一張結(jié)構(gòu)化的板書來讓學(xué)生摸清知識生長脈絡(luò)，就好比大家各自將不同的思維板塊拼在一起最終組成一幅絕美的畫卷，每頻回眸，一目芳容收眼底，一覽眾山萬壑生.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］卜以樓. 生長型構(gòu)架下實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐與思考［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（06）：40-43.