對一道中考幾何壓軸題的探究與反思

董濤

［摘? 要］ 2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷第25題是一道以正方形為背景，證明線段數(shù)量關(guān)系為定值的幾何壓軸題，該題的圖形結(jié)構(gòu)經(jīng)典，能一題多解，可考查學(xué)生的思維廣度、深度、創(chuàng)造性及解題能力，文章對此題圖形結(jié)構(gòu)進行分析，并探究解法、拓展延伸、解后反思.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)量關(guān)系；構(gòu)造；含參運算；一題多解

試題呈現(xiàn)

如圖1所示，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)為邊AB的兩個三等分點，點A關(guān)于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G，求證：A′C=2A′B.

解后反思

1. 執(zhí)果索因，為何定形

定形的根本原因一定是數(shù)，三角形定形往往是因為具備判定兩個三角形相似的條件，如定兩個角的大小、定三邊比值不變、定兩邊比值不變及定一角大小等.追尋定形原因，有助于探尋求解思路，恰當(dāng)?shù)剡M行邊角轉(zhuǎn)化.

2. 明確構(gòu)圖過程，分析圖形結(jié)構(gòu)

一個復(fù)雜圖形的生成就是在題目條件不斷累積下一個又一個基本圖形的有序組合，當(dāng)出現(xiàn)等邊三角形、等腰直角三角形時，圖中就會有特殊角度的角、數(shù)量關(guān)系不變的角和線段、中點、角平分線、垂直平分線、中位線，全等或相似等關(guān)系的圖形，這些都為后面數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化和線段長度的計算提供了條件.

3. 探尋橋梁，確定求解方法

對于定形的幾何綜合題，題目條件通常沒有具體線段的長度，無論直接聯(lián)系，還是間接聯(lián)系，都需引入?yún)?shù)進行運算. 求解時要能恰當(dāng)?shù)剡x擇勾股定理、相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)進行直接計算或列方程.

4. 構(gòu)造基本圖形或關(guān)系圖形，提升運算能力

幾何背景下的運算同空間觀念、邏輯推理能力分不開，這里的運算能力指的是通過識別、構(gòu)造基本形和關(guān)系圖形進行簡化運算. 構(gòu)造的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中不變的幾何量.

5. 滲透模型思想和構(gòu)造思想

將“模型思想和構(gòu)造思想”滲透進初中幾何教學(xué)之中，既可以增強學(xué)生的空間觀念和創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).