李芳

［摘? 要］ 初中數(shù)學應用題部分給學生提出了較高的要求，既需要他們掌握扎實的基礎知識，又需要他們對知識的應用有最基本的理解，并針對不同內(nèi)容做適應性呈現(xiàn). 因此，教師教學時應隨時關注學生的知識掌握情況，結(jié)合具體問題進行指導訓練，以提升學生的綜合素養(yǎng). 在此過程中，對于解題能力的發(fā)展，研究者認為，提升審題分析能力、發(fā)展模型構(gòu)建能力、擁有必要的解題技巧是幾個關鍵點. 文章從這幾個關鍵點著眼，展開具體的探索.

［關鍵詞］ 初中數(shù)學；解題能力；教學方法

初中數(shù)學的教學目標是，以所學教材知識為藍本，教會學生順利處理生活中的各類問題. 這一目標既是學生學習數(shù)學的初衷，又直接與社會經(jīng)濟的發(fā)展需求相關聯(lián). 換言之，教育的最終目的是服務學生發(fā)展和社會發(fā)展. 所以教師教學時應重視培養(yǎng)學生答題、解題的能力.

解題能力的培養(yǎng)對初中數(shù)學教學來說是一個老生常談的話題. 盡管是一個老話題，但具有一定教學經(jīng)驗，尤其是具有教學研究經(jīng)驗的教師都知道，這個話題在任何教育背景下都有探究的意義和價值. 無論是從應試的角度看，還是從學生可持續(xù)發(fā)展的角度看，解題能力的培養(yǎng)都是一個繞不開的話題. 畢竟無論在怎樣的教育理念之下，解題能力都反映著一個學生的學習能力，而學習能力是分析能力、邏輯思考能力、概括能力等諸多能力的組合. 正是這些能力的組合運用，才使得學生學習新知識后能表現(xiàn)出相應的解題能力.

在傳統(tǒng)教學中，教師為了提高學生的應用題解題能力，常采用讓學生進行多種題型的重復訓練的方法. 坦率地說，這種教學方法成本較低（教學成本低與學習成本低是不同的概念），因為對教師來說，只要在日常的訓練題目當中，尤其是考試題目當中，把題目綜合起來，然后分類，再讓學生系統(tǒng)訓練，就可以培養(yǎng)學生相關的解題能力了. 但這種培養(yǎng)能力的思路有一個缺點，那就是對于訓練過的題型，學生具有相應的解題思路，但對于新穎的題目，他們往往束手無策. 在這種情況下，教師只能想方設法地搜集更多的題型讓學生訓練，不過歸根結(jié)底，這種教學方法并沒有讓學生形成屬于自己的解題策略和能力.

要改變這種教學現(xiàn)狀，教師就必須尋找新的培養(yǎng)學生解題能力的策略. 基于此，教師首先要明確：應用題來源于生活，而且很多都來自平時的生活現(xiàn)象. 應用題教學能讓學生潛移默化地學到如何用所學知識去審視、處理生活問題，同時解題過程具有鞏固數(shù)學基礎知識、積累學習方法的作用，所以能不斷拉近學生與數(shù)學學科之間的距離.

幫助學生提升審題分析能力

解決具體問題時，審題是關鍵，不僅如此，審題還是解決問題的前提. 應用題有較多的文字描述類內(nèi)容，同其他題型相比，信息量非常大. 對于應用題，關鍵信息、核心問題等均融于文字敘述中，所以需要學生擁有足夠的審題能力. 從另一個角度來看，審題能力其實可以理解為閱讀理解能力. 在實際教學中，審題不清是一個比較典型的、難以避免的學生常犯的錯誤. 因此，教師要在教學期間培養(yǎng)學生的審題能力. 那如何培養(yǎng)呢？方法有二，一是教師要引導學生形成提取信息的意識，即注意到應用題的文字敘述并非所有內(nèi)容都和解題有關，要從整段文字中找到與解題有關的內(nèi)容，提取關鍵詞匯、關鍵數(shù)字，并留意單位及“不超過”“不少于”等說法；二是教師要致力于培養(yǎng)學生分析信息、處理信息的能力，要讓學生在完成信息提取任務后，自覺地做好信息的分析與整理工作，并將分析與整理好的信息運用到解題當中.

提升分析能力是解決應用題、發(fā)展應用題解題能力的基礎. 要培養(yǎng)初中生的數(shù)學分析能力，需建立在前述審題能力形成的前提之下. 學生通過審題，可以提取到足夠多的有效信息，接下來只要分析這些有效信息，就能發(fā)現(xiàn)正確的求解思路. 通常，應用題的背景均是學生比較熟悉的生活情境，所以分析應用題，也是培養(yǎng)學生分析生活問題能力的絕佳機會. 審題完成后，教師可以同學生一起利用作圖、列表等方式，研究題目中條件與條件之間的關聯(lián)，從邏輯的角度，確認列式步驟與正確算法，最終得到答案. 總的來說，審題是解題的前提，分析能力是解決應用題的中心環(huán)節(jié).

此處需特別說明，在日常教學中，教師一定要給學生強調(diào)，審題時不要膚淺地理解題意. 日常教學中，教師常常讓學生畫出題目中的關鍵詞. 這種策略能否有效提升學生的解題能力呢？筆者通過多年的跟蹤觀察及對比研究，發(fā)現(xiàn)這種策略對提升學生的解題能力來說基本無效. 其中一個明顯的現(xiàn)象是，一些成績較差、解題能力較弱的學生也在題目上圈圈畫畫，但他們?nèi)Ξ嫷暮芏嗖皇顷P鍵詞，即使是關鍵詞，也是碰巧，屬于“瞎貓碰上死老鼠”. 這種模仿式的圈畫關鍵詞，對他們來說就是走了一個形式，并不能讓他們真正地學會審題. 所以，審題實際上是一個互動過程，學生通過閱讀題目，把題目中的信息輸入大腦，大腦將這些信息與已有信息進行互動、連接，并結(jié)合題目所提問題進行判斷，看看題目中的哪些詞語能夠?qū)忸}產(chǎn)生關鍵作用. 有了這樣的基礎，學生才能判斷出哪些是關鍵詞，而為了避免后續(xù)解題時忘記這些關鍵詞，就需要對這些關鍵詞進行圈畫. 所以，圈畫關鍵詞實際上是審題的結(jié)果，而不是審題的前提. 如果弄錯了這個關系，審題就本末倒置了，而所謂的培養(yǎng)學生的審題能力，也會變得形式化.

促進學生發(fā)展構(gòu)建模型的能力

建構(gòu)模型的能力對解題而言至關重要，且不說數(shù)學學科核心素養(yǎng)強調(diào)數(shù)學建模，就拿日常的習題教學來說，無論學生是否意識得到，都存在一個基本規(guī)律，那就是要想成功解題，就必須建構(gòu)相應的模型. 此處提到的模型并不是一個抽象的概念，它對應著學生解題的思路與框架，反映著學生基于題目所給的信息進行加工的能力. 一般來講，當學生面對一道題目時，要想成功建構(gòu)模型，就必須認真審題，加工題目中的關鍵信息，并將這些關鍵信息的邏輯關系梳理清楚，從而形成一個符合邏輯的因果推理關系. 當學生清楚地認識到這種關系時，模型實際上就已經(jīng)建構(gòu)了. 所以，要發(fā)展學生建構(gòu)模型的能力，除了要培養(yǎng)學生的審題能力，還要引導學生發(fā)現(xiàn)關鍵信息之間的聯(lián)系，讓學生借助數(shù)學邏輯關系，將這些信息串聯(lián)起來. 當學生經(jīng)歷這樣一個建構(gòu)模型的過程后，他們的模型建構(gòu)能力就能得到發(fā)展.

一般地，應用題涉及的對象比較多，且數(shù)量關系、空間形式以及需求關系等也有極為豐富的表現(xiàn). 所以初中數(shù)學應用題涉及多種形式：一，數(shù)學本學科內(nèi)的一些典型問題，如數(shù)字、角度、長度、體積等；二，與其他學科交叉的一些問題，如熱學、光學、力學、電學問題等；三，和現(xiàn)實生活相關的一些問題，如購物問題、工程問題等. 在這些應用題中，有些應用題由于學生對原型了解的程度不夠，所以有必要對題目原型展開豐富的聯(lián)想，這樣才有可能順利理解題意，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的數(shù)量關系. 而對題目原型展開聯(lián)想，可采用如下方法：從題意出發(fā)，對曾經(jīng)見過的、能夠被認知的場景做出回想；發(fā)現(xiàn)和類比與題意相接近的場景；從原有題意出發(fā)，進行相關實際場景的想象. 上述幾種方法的恰當運用，能將實際模型構(gòu)建過程勾勒出來，于是可以把實際模型抽象、轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學模型，給解題提供正確的思路.

例如，將一根長56 cm的鐵絲剪成兩段，讓每段鐵絲都可以圍成一個正方形. 若由兩段鐵絲圍成的正方形面積之和為100 cm2，那么怎么剪這根鐵絲合適？本題是初中數(shù)學應用題的常見類型，教師可以借助作圖的方法，啟發(fā)學生構(gòu)建抽象模型：若圍成的一個正方形的邊長為x cm，而另一個正方形的邊長為y cm，那么可以通過列方程組求出答案. 總之，在應用題教學期間，教師要強化學生在應用題方面的訓練，特別是與模型構(gòu)建有關的訓練，這是學生解題方法與技巧產(chǎn)生的主要環(huán)節(jié).

引導學生形成解題思想、技巧

教師需要在培養(yǎng)學生審題能力、分析問題能力、構(gòu)建模型能力的同時，讓學生在解題思想和解題技巧方面有所收獲. 實際上，每個學生在解題的過程中都會有屬于自己的認識，只不過這些認識對于有些學生來說是清晰的，對于有些學生來說則是模糊的. 對于后者，教師要想方設法讓模糊的認識顯性化. 而對于所有的學生來說，他們需要認識到自己的解題心得是否存在缺陷，假如存在缺陷，則需要采取一定的措施讓缺陷消失. 事實證明，對于初中數(shù)學應用題，可以采用概念對比、逆向思維等策略來求解，下面進行詳細說明.

對于概念對比，學生可能潛意識里認為概念屬于基礎知識，能在提高學習質(zhì)量方面起到一定的作用，但在提高解題能力方面作用不大. 這種矛盾心理造成很多學生忽視概念學習、認知與應用題解決之間的關系，繼而讓應用題中的關鍵字詞等重要信息被忽視，導致主觀臆斷等錯誤情況發(fā)生. 所以，初中數(shù)學教師需加強學生概念對比方面的培養(yǎng)，使學生在解題時認真審視概念的內(nèi)涵和外延，并在對其進行歸納和總結(jié)時，采用分析、對比的形式，以理解題意，順利解決問題，同時發(fā)展解題思想.

正向思維和逆向思維對比法是值得重視的技巧. 在傳統(tǒng)教育模式的影響下，學生的解題思路過于單一，針對逆向思維的變式題探索力度不夠. 針對這種情況，數(shù)學教師有必要在進行應用題教學時，同時從正向、逆向兩個角度做好變式訓練的提升與鞏固工作，這是學生解題技巧提升的有效策略之一. 例如下面兩個問題的同時展示，便是一種很好的正向思維、逆向思維技巧訓練方法.

問題1如圖1所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC），直線d是線段AB的中垂線，直線d交AC于點D. 若∠BAC=50°，求∠DBC的度數(shù).

問題1比較基礎，無論是否把它置于生活應用場景，學生都能順利解答.

問題2 如圖1所示，△ABC是等腰三角形（AB=AC），直線d是線段AB的中垂線，直線d交AC于點D. 若∠DBC=15°，求∠BAC的度數(shù).

很明顯，問題2是問題1的逆向推理問題. 采用正向思維求解問題2雖然行不通，但可以采用方程思想. 學生可以根據(jù)教師的提示，得到正確答案：設∠ABD=x°，則∠BAC=x°. 因為∠ACB=∠ABC=x°+15°， ∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，所以2（x°+15°）+x°=180°，解得x=50. 所以∠BAC=50°.

解決問題1采用的是代數(shù)方法，解決問題2采用的是方程思想. 解決這兩道題所需要的思維深度不同，思考角度也各有側(cè)重. 同時呈現(xiàn)這兩道題，有利于學生培養(yǎng)逆向思維.

總結(jié)

總而言之，針對初中數(shù)學應用題教學，教師既要主動做好新型高效課堂教學模式的探索工作，又要做好強化學生分析能力與歸納能力的工作，只有這兩方面的工作同時做好，才有助于提升學生的數(shù)學問題分析能力與思考能力，從而達到課堂學習期間學生主動提出想法、創(chuàng)新解題思路的效果. 在此期間，教師應以模式探索和學生指導工作為指引，全面關注提升學生審題分析能力、發(fā)展學生模型建構(gòu)能力、讓學生擁有必要的解題技巧等幾個方面，并采取切實可行的措施，給學生未來充分、深入地學習數(shù)學知識奠定基礎.