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      立足微研究,提高復(fù)習(xí)效率

      2023-09-20 13:51:08王勇
      關(guān)鍵詞:復(fù)習(xí)教學(xué)問題

      王勇

      [摘? 要] 微研究是提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑. “微”并非力量薄弱之意,而是指找準(zhǔn)某個微小切入點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生深度參與的研究過程. 文章以“多變量”問題的復(fù)習(xí)教學(xué)為例,具體從微專題的選擇、微研究行動的演繹與微專題復(fù)習(xí)的思考三方面展開闡述.

      [關(guān)鍵詞] 微研究;復(fù)習(xí)教學(xué);“多變量”問題

      傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)常以知識點(diǎn)作為專題設(shè)計主線,將能力點(diǎn)散布在各個問題中,通過一定的反復(fù)訓(xùn)練,以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力. 雖然這種教學(xué)方式也能達(dá)到復(fù)習(xí)的任務(wù)目標(biāo),但對引導(dǎo)學(xué)生深刻理解知識的本質(zhì)與內(nèi)涵、提升學(xué)生的思維能力、實(shí)現(xiàn)新舊知識概念內(nèi)化等效果較差,學(xué)生在這種復(fù)習(xí)教學(xué)方式下獲得的思維容量明顯不足. 因此,傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)與核心素養(yǎng)背景下的新高考所倡導(dǎo)的“知識選擇考,能力必須考”的理念并不契合.

      為此,筆者對復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行了大量的實(shí)踐與研究,其中微研究復(fù)習(xí)方式取得了不錯的成效. 本文以“多變量”問題的復(fù)習(xí)教學(xué)為例,具體從以下幾方面談?wù)勅绾瘟⒆阄⒀芯?,提高?fù)習(xí)效率.

      微專題的選擇

      “多變量”問題常因多元和換元靈活,對學(xué)生的思維要求較高等特點(diǎn),導(dǎo)致不少學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地懼怕此類問題. 究竟用怎樣的教學(xué)手段,才能打破學(xué)生沉寂的思維呢?經(jīng)過大量的實(shí)踐與分析,筆者研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的“以知識點(diǎn)為主”的專題復(fù)習(xí)方式,應(yīng)用在“多變量”問題上復(fù)習(xí)的效果較差,學(xué)生難以從根本上掌握知識的本質(zhì),更談不上靈活應(yīng)用.

      想要改變這種現(xiàn)狀,最好的辦法就是將傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)方式改變成“以能力點(diǎn)為主”的專題復(fù)習(xí)方式,通過微研究行動的開展,撬開禁錮學(xué)生思維的框架,從多維度發(fā)散學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、深刻性等品質(zhì).

      教師可緊扣某個需要突破的能力點(diǎn)問題,以微專題的形式進(jìn)行復(fù)習(xí)設(shè)計,把握精準(zhǔn)知識與能力的訓(xùn)練,以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性、發(fā)散性以及靈活性等,讓學(xué)生在微專題復(fù)習(xí)中獲得良好的研究習(xí)慣.

      選擇“多變量”問題作為微研究的范例,目的在于將微研究的價值定位在“一少一小一大”上. “少”主要是指復(fù)習(xí)目標(biāo)要少、精準(zhǔn)、明確,主攻一個目標(biāo);“小”是指選擇的課題必須小,通過有效追問的方式挖掘其本質(zhì);“大”是指須擴(kuò)大課堂的視野與思維等. 課堂立足微研究,通過思維寬度、速度與方向進(jìn)行有效訓(xùn)練,可促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

      微研究行動的演繹

      “多變量”微專題整合復(fù)習(xí)設(shè)計主要體現(xiàn)在“溫故知新”“釋疑拓展”“反饋提升”三個層次上,每一個層次都需要設(shè)置精確的功能定位與能級目標(biāo),且所有設(shè)計都需要緊緊圍繞“多變量”問題的解題策略進(jìn)行. 教師可通過一個個彼此相關(guān)聯(lián)的問題的設(shè)計,讓學(xué)生收獲滿滿.

      1. 溫故知新

      根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生的知識與能力基礎(chǔ),有意識地設(shè)計符合學(xué)情的問題,讓學(xué)生在先行思考中嘗試解題,以獲得一定的成就感,同時讓學(xué)生在解題中提出一些疑問. 學(xué)生所提出的疑問是教學(xué)導(dǎo)航,對復(fù)習(xí)來說具有定向意義. 在課前,筆者給了學(xué)生三個需要先行解決的問題,要求學(xué)生獨(dú)立分析,并從不同角度說說解題思路.

      問題1 若正實(shí)數(shù)m,n滿足mn+2m+n=4,求m+n的最小值.

      問題2 設(shè)對于任意的m∈[1,2],n∈[2,3],不等式mn≤am2+n2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

      問題3 若實(shí)數(shù)m,n滿足-n2=1,求3m2-2mn的最小值.

      設(shè)計意圖 三個“雙變量”問題的設(shè)置,意在讓學(xué)生初步回顧并理解“多變量”問題,提取此類問題常用解法的信息,為深入復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ). 課前提出問題,意在讓學(xué)生主動提供更多的解題方法,并從眾多方法中提取一些優(yōu)化方法.

      各小組成員交流自己的解題方法,組內(nèi)總結(jié)解題策略;小組展示解題策略后,由其他小組進(jìn)行補(bǔ)充,最后由教師進(jìn)行總結(jié)性點(diǎn)評,用時約一刻鐘.

      學(xué)生提出的優(yōu)化的解題方法主要有以下幾種:

      第一種,消元減元法. 如問題1,用n來表示m,構(gòu)造出基本不等式后便可輕松求解.

      第二種,換元減元法. 如問題2,通過分離參數(shù),形成a≥-,設(shè)t=,從而構(gòu)造出學(xué)生所熟悉的一元二次函數(shù)求最值的問題. 這里值得注意的是:求t的取值范圍,涉及數(shù)形結(jié)合思想與線性規(guī)劃法.

      第三種,基本不等式法. 如問題1,將等式mn+2m+n=4轉(zhuǎn)化為(m+1)(2+n)=6,再從基本不等式的角度求最值. 再如問題3,將換元與基本不等式結(jié)合在一起進(jìn)行處理:根據(jù)題意可得3m2-2mn=. 當(dāng)n=0時,則3m2-2mn=12. 當(dāng)n≠0時,則3m2-2mn=. 令t=,則3m2-2mn==8+12. 令s=6-t,則3m2-2mn=12+≥+12=4+6.

      第四種,方程思想. 如問題1,假設(shè)m+n=t,則n=t-m,將此式代入mn+2m+n=4后構(gòu)造新的方程,這里要注意正根的條件,通過根的分布情況求解. 再如問題3,令z=3m2-2mn,則n=,將此式代入-n2=1中,可得8m4-2(3z-2)m2+z2=0,從關(guān)于m2的方程有正數(shù)解出發(fā),同樣能處理該問題.

      最終,師生形成共識:解決此類問題的方法頗多,思維含量較高. 減元是解決“多變量”問題的核心. 在解題時,應(yīng)想方設(shè)法將“多變量”問題轉(zhuǎn)化為一元問題進(jìn)行處理.

      2. 釋疑拓展

      此環(huán)節(jié)在以上研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深化問題的難度,以微研究的方式激活學(xué)生的思維,最后由教師點(diǎn)評問題的共性部分,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,使學(xué)生掌握本節(jié)課的知識與技能,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

      問題4 若x,y,z∈R,且x,y,z的和為1,x,y,z的平方和為3,則z的取值范圍是多少?

      變式題:若x,y,z∈R,且x,y,z的和為1,x,y,z的平方和為3,則xyz的最大值是多少?

      問題5 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax,已知a≠0,在函數(shù)f(x)的圖象上取點(diǎn)A(x,f(x)),B(x,f(x)),使得x

      設(shè)計意圖 基于以上研究,將“多變量”問題延伸到“三變量”與“隱性多變量”問題,意在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解此類問題常規(guī)的處理策略與方法,從一定意義上打破學(xué)生的思維定式,鼓勵學(xué)生求新求異,從多維度、多方向、多層次上提升思維的深度.

      在此研究環(huán)節(jié)中,讓學(xué)生以小組合作交流的方式進(jìn)行討論、分析,各小組總結(jié)匯報研究成果,教師針對學(xué)生呈現(xiàn)的研究成果進(jìn)行總結(jié)、點(diǎn)評,用時約25分鐘.

      師:請各組說說問題4的解決方法.

      組1:我們發(fā)現(xiàn)問題4提出的兩個條件都可以列為等式,因此我們首先想到了方程思想,即將y=1-x-z代入等式x2+y2+z2=3中,獲得方程x2+(z-1)x+z2-z-1=0,利用Δ≥0即可得到問題的答案. 這個解題過程雖然稍顯繁雜,但不需要從根的分布情況進(jìn)行討論,我們組成員都覺得挺實(shí)用的.

      組2:你們這種解題方法缺乏含金量,來看看我們組的!

      師:哦?這么自信?(學(xué)生笑)

      組2:遇到求范圍的問題,首先想到的是建立不等式. 因此,我們組從基本不等式的角度進(jìn)行分析. 根據(jù)題意可知x2+y2+z2=3,由此可得不等式x2+y2=3-z2≥2xy;再根據(jù)x+y+z=1,可知x+y=1-z. 所以x2+2xy+y2=(1-z)2≤2(3-z2),解出不等式即可得到問題的答案.

      師:確實(shí)不錯,這是一種可以應(yīng)用的解題方法. 其實(shí)組1和組2使用的方法的本質(zhì)是一樣的,都是將多元轉(zhuǎn)化為一元后解題. 還有其他解題方法嗎?

      組3:其實(shí)從數(shù)形結(jié)合的角度也能解決本題,而且比較簡單.

      師:哦?怎么想到數(shù)形結(jié)合這個方法的?具體怎么處理呢?我們洗耳恭聽. (學(xué)生都流露出了期待的目光)

      組3:從二元一次方程和二元二次方程的幾何特征出發(fā),將x2+y2=3-z2視為一個圓,同時將x+y=1-z視為一條直線,借助直線和圓的位置關(guān)系,非常容易就能得到本題的答案.

      (學(xué)生贊同,并鼓掌)

      師:非常好!組3學(xué)生從二元等式的幾何特征出發(fā),為我們開辟了一條新的解題路徑.這種解題策略利用整體思想和數(shù)形結(jié)合思想能快速解決問題,簡便又高效,該解題策略值得大家細(xì)細(xì)品味并掌握. 既然大家的思維如此活躍,現(xiàn)在請大家繼續(xù)分組討論變式題并匯報成果.

      生1:以上環(huán)節(jié)我們已經(jīng)獲得了z的取值范圍,這里只要知道關(guān)于z的函數(shù)式即可解題.

      師:非常好!一語中的,繼續(xù)往下說.

      生2:用z表示xyz?(懷疑的語氣)

      師:具體該怎么做呢?

      生1:用z表示xyz(肯定的語氣). 由兩個等式可得xyz=z=z3-z2-z,然后用導(dǎo)數(shù)求最值.

      師:不錯!這種解法其實(shí)也是將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題,再利用函數(shù)的性質(zhì)求解. 接下來,我們一起來探索問題5,大家依然先小組合作交流,再匯報成果.

      師:k==-a,令φ(x)=f′(x)-k=ex-,接下來該怎么轉(zhuǎn)化呢?

      生3:接下來考慮將問題轉(zhuǎn)化成證明存在x∈(x,x)使φ(x)=0成立,也就是證明φ(x)=0在區(qū)間(x,x)內(nèi)有解.

      師:若要證明φ(x)=0在區(qū)間(x,x)內(nèi)有解,就要觀察φ(x)與φ(x)的值,須從φ(x)=-[ex2-x1-(x-x)-1]與φ(x)=-[ex1-x2-(x-x)-1]進(jìn)行考慮,接下來該怎么處理呢?

      生4:接下來就要分析φ(x)與φ(x)的值的大小.

      (學(xué)生討論)

      師:處理“多變量”問題,常用減元法,減元的目的在于建立一元方程或函數(shù),以簡化“多變量”問題的難度.

      生5(恍然大悟):我們可令t=x-x或t=x-x,構(gòu)造函數(shù)F(t)=et-t-1,再用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值的大小.

      ……

      師生共同總結(jié):遇到同一函數(shù)中存在兩個獨(dú)立變量的問題時,??赏ㄟ^換元、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造的策略解題. 如問題5,就是先將其條件轉(zhuǎn)化成含有x,x兩個獨(dú)立變量的等式;然后令t=x-x或t=x-x或t=等進(jìn)行換元;再構(gòu)造新函數(shù),借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題. 值得注意的是:這一類問題在考試中不一定會單獨(dú)出現(xiàn),常散布在一些綜合題中.

      3. 反饋提升

      反饋提升是師生共同梳理知識、建構(gòu)框架的過程. 在此環(huán)節(jié)中,常在教師的安排下完成課堂檢測與評價工作,幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu),促進(jìn)學(xué)生的知識技能以及思維能力提升. 這也是學(xué)生建模的重要階段,具有定法的重要意義. 在本節(jié)課中,筆者提供了兩道練習(xí)題,以訓(xùn)練學(xué)生的能力,用時約五分鐘.

      練習(xí)題1:若x,y都是正實(shí)數(shù),已知+=1,求xy的最小值.

      練習(xí)題2:已知對于任意實(shí)數(shù)x>1,y>,不等式P≤+是恒成立的,求實(shí)數(shù)P的最大值.

      拓展題:若xy-z=0,已知0<<,求的最大值.

      設(shè)計意圖 同類型問題不僅用來鞏固學(xué)生對“多變量”問題的理解,更重要的是幫助學(xué)生建構(gòu)模型,提高學(xué)生的思辨能力. 上述兩道練習(xí)題和一道拓展題,具有由淺入深的梯度性,能幫助學(xué)生固化概念,內(nèi)化學(xué)生的解題能力,使學(xué)生的思維能力得以螺旋式上升,尤其是拓展題,為學(xué)有余力的學(xué)生提供了深層次思考的方向.

      微專題復(fù)習(xí)的思考

      1. 提升思維品質(zhì)

      核心素養(yǎng)背景下的微研究復(fù)習(xí)教學(xué)關(guān)鍵在于通過小型的專題課堂,培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于思考、嚴(yán)謹(jǐn)周密的學(xué)習(xí)態(tài)度與科學(xué)精神. 數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)思維是凸顯數(shù)學(xué)能力的核心,若缺乏高水平的思維投入,則永遠(yuǎn)無法了解知識的本質(zhì).

      微研究可以讓學(xué)生將零碎、松散或缺乏邏輯性的知識與思維聚集到一起,豐滿學(xué)生的認(rèn)知體系,讓學(xué)生體會在知識間的縱橫聯(lián)系中建模. 微研究復(fù)習(xí)教學(xué)與常規(guī)復(fù)習(xí)教學(xué)的區(qū)別之處在于微研究更體驗(yàn)“觀察、抽象、探索、猜想與論證”的過程,學(xué)生的思維在觀察與分析中變得更加充實(shí)、深刻、靈活.

      2. 提升核心素養(yǎng)

      從不同角度、不同要求與不同深度去思考數(shù)學(xué)問題,不僅能提升學(xué)生的思維品質(zhì),還能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力、猜想能力、運(yùn)算能力與歸納總結(jié)能力等. 這些能力都是組成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素. 因此,微研究復(fù)習(xí)對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要價值.

      課程設(shè)計是提升核心素養(yǎng)的重要載體,是數(shù)學(xué)文化背景下思維活動的起點(diǎn). 受教學(xué)任務(wù)與時間的局限,微研究復(fù)習(xí)無法追求研究方法的嚴(yán)密性,也不能達(dá)到學(xué)術(shù)研究的精湛與規(guī)范,只能在實(shí)施要求上下功夫,在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行局部研究,以聯(lián)系系統(tǒng)內(nèi)的知識為目標(biāo).

      3. 暴露知識本質(zhì)

      復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)施建立在深度理解知識的基礎(chǔ)上,因此高水平的微研究離不開對知識的深刻理解.微研究的實(shí)施,關(guān)鍵在于開放式專題的設(shè)計,能讓學(xué)生充分感知知識本質(zhì). 尤其從不同角度對同一本質(zhì)問題的設(shè)置,能讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的魅力,使學(xué)生產(chǎn)生良好的情感態(tài)度與價值觀.

      總之,核心素養(yǎng)背景下的微研究,需要教師帶領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光與思維去觀察、分析與表達(dá),突破狹隘思維的限制,拓展思維寬度與深度,從真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與核心素養(yǎng).

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