王昌林 李偉 楊坤林

[摘? 要] 文章從兩堂“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的同課異構(gòu)研討課的教學(xué)實(shí)錄出發(fā)，對比兩堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)與現(xiàn)場實(shí)況，分析教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)中值得肯定與存在不足的地方，并提出明確的教學(xué)方法，給出領(lǐng)悟和開發(fā)教材的建議;最后以具有數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)觀為基礎(chǔ)，給出執(zhí)行數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)與案例.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)實(shí)錄;同課異構(gòu);學(xué)科本質(zhì);等差數(shù)列

問題提出

近期，筆者聽了兩堂“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的同課異構(gòu)研討課.根據(jù)課前了解，兩堂研討課的授課對象是兩個(gè)水平相近且在學(xué)校處于中等偏上的班級.教師甲以人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·必修5》（下文簡稱舊教材）開展授課，教師乙則以人教A版《普通高中教科書·選擇性必修第二冊》（下文簡稱新教材）開展授課.兩堂課有相同的教學(xué)設(shè)計(jì)，例如都用“小高斯”的故事作為課題引入;也有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，例如倒序相加法的講解過程，教師甲注重?cái)?shù)形結(jié)合，教師乙則注重?cái)?shù)列本身的邏輯推理.對于本節(jié)知識內(nèi)容所涉及的“小高斯”的故事是否起到引導(dǎo)作用、等差數(shù)列求和的奇偶項(xiàng)的困擾該如何處理、倒序相加法的講解是否突兀、數(shù)與形是否被埋沒、講與練是否失衡等問題的解決，到底哪位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？引發(fā)筆者深思.

課堂對比與評析

1. 情境導(dǎo)入

教師甲：

講述泰姬陵的傳說，指出泰姬陵的陵寢中有一個(gè)以大小相同的圓寶石鑲飾而成且共有100層的三角形圖案，讓學(xué)生思考并計(jì)算這個(gè)三角形圖案共花費(fèi)了多少顆圓寶石. 緊接著講述“小高斯”的故事以及高斯算法.

教師乙：

用多媒體設(shè)備播放“數(shù)學(xué)天才高斯的故事”微視頻，然后讓學(xué)生思考并回答問題“‘1，2，3，…，100是什么數(shù)列？高斯計(jì)算的問題實(shí)質(zhì)是什么？”

評析 教師甲導(dǎo)入的泰姬陵傳說和“小高斯”故事存在重復(fù)的現(xiàn)象，而且講述泰姬陵傳說時(shí)只給了一張?zhí)┘Я甑倪h(yuǎn)景圖片，并不能達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的. 泰姬陵傳說和“小高斯”故事雖為后面的數(shù)列求和埋下了伏筆，它們所占用的時(shí)間過多. 教師乙則目標(biāo)明確，直奔主題. 微視頻的引入使課堂更具直觀性與渲染力. 導(dǎo)入是教師在一個(gè)新的教學(xué)內(nèi)容或教學(xué)活動開始時(shí)，引起學(xué)生注意、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、形成學(xué)習(xí)動機(jī)的一類教學(xué)行為[1]. 好的導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)該既圍繞主題又富有新意、既簡潔明快又直奔主題.

2. “奇偶項(xiàng)”的處理

教師甲：

高斯算法是否具有一般性？換句話說，等差數(shù)列從第一項(xiàng)起至某一項(xiàng)的所有和能不能像高斯那樣去計(jì)算？你能解決以下問題嗎？

（1）數(shù)列1，2，3，…，該數(shù)列前201項(xiàng)的和是多少？

（2）數(shù)列1，2，3，…，n，該數(shù)列前n項(xiàng)的和是多少？

教師乙：

問題1：高斯算法的巧妙之處在哪里？

問題2：用高斯算法求S=1+2+3+4+…+100+101會出現(xiàn)什么問題？

問題3：請同學(xué)們計(jì)算S=1+2+3+…+n（n∈N*）.

評析 高斯算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離[2]. 兩位教師都成功設(shè)計(jì)了從特殊到一般的教學(xué)過程. 為了過渡，舊教材與新教材都設(shè)置了與1+2+3+…+n有關(guān)的篇幅，但舊教材沒有明確展示奇偶項(xiàng)的過程;新教材則注重奇偶項(xiàng)的處理，清晰羅列了n分別為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該給學(xué)生提供充足的時(shí)間讓其感受與探索知識本身的內(nèi)在規(guī)律.

3. “求和公式”的處理

教師甲：

步驟1：用圖案展示第1層到第100層的圓寶石排列情況，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系高斯算法，聯(lián)想“首尾配對”擺出幾何圖形，即引導(dǎo)學(xué)生思考如何將圖案與高斯的倒序相加聯(lián)系起來，將兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形.

步驟2：給出數(shù)列{a}前n項(xiàng)和的定義，引導(dǎo)學(xué)生探究任意的等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和的關(guān)系式，并寫出等差數(shù)列的求和公式S=.

步驟3：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d，推導(dǎo)出等差數(shù)列的另一求和公式S=na+d.

步驟4：利用梯形的面積公式，幫助學(xué)生記憶等差數(shù)列的求和公式.

教師乙：

步驟1：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系S=1+2+3+…+n（n∈N*），讓學(xué)生自主探討等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=a+a+a+…+a+a.

步驟2：詢問學(xué)生“等差數(shù)列的求和公式是根據(jù)什么特征推導(dǎo)而來的？數(shù)列求和的本質(zhì)是什么？”

步驟3：引導(dǎo)學(xué)生將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d代入S=，然后變形并整理得S=na+d.

評析 對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，教師甲注重?cái)?shù)形結(jié)合，教師乙則注重?cái)?shù)列本身的邏輯推理，都是可行的. 值得注意的是倒序相加法的教學(xué)不能強(qiáng)加于學(xué)生，應(yīng)在學(xué)生充分理解等差數(shù)列的特征性質(zhì)后，利用等差數(shù)列中的“平均數(shù)”，通過“倒序相加”實(shí)現(xiàn)“不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和”的目的，這是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的指導(dǎo)思想，也是本節(jié)課的教學(xué)主線[3]. 對等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo)，應(yīng)經(jīng)歷“首位配對—分類討論—倒序相加”的認(rèn)知過程，其中蘊(yùn)含著代數(shù)推理的一般方法，可使學(xué)生從中領(lǐng)悟到特殊到一般、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，也讓學(xué)生完整經(jīng)歷探索數(shù)學(xué)公式的代數(shù)思維過程.

4. 課堂總結(jié)

教師甲：

引導(dǎo)學(xué)生回顧特殊到一般的研究方法;讓學(xué)生體會等差數(shù)列的基本表示方法以及倒序相加法和數(shù)形結(jié)合思想;使學(xué)生掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡單應(yīng)用.

教師乙：

問題1：從這堂課中你學(xué)到了哪些重要的知識呢？

問題2：在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中用到了什么方法？

問題3：在獲得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過程中，你體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？在公式應(yīng)用中又體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問題4：在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們學(xué)到了函數(shù)的哪些知識？其研究路徑和方法是什么樣的？我們研究數(shù)列和研究函數(shù)的路徑和方法有何聯(lián)系？

評析 一堂好課不僅要有一個(gè)好的開端還要有一個(gè)好的結(jié)尾. 課堂總結(jié)的方法和形式是多樣且不拘一格的.教師甲采用歸納概括式的總結(jié)方式，教師乙則采用問題探究式的總結(jié)方式，其中歸納概括式的總結(jié)方式是絕大多數(shù)課堂的總結(jié)方式. 無論是哪一種總結(jié)方式，其目的都在于歸納總結(jié)學(xué)生所學(xué)知識，讓學(xué)生感悟思想方法，幫助學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，從而為學(xué)生繼續(xù)探索做鋪墊.

教學(xué)思考與感悟

1. 明確教學(xué)方法

數(shù)學(xué)教學(xué)就是在教材與教育之間搭建橋梁，橋梁穩(wěn)定與否取決于教師對教材的理解是否透徹、加工是否周密，從而創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)課堂. 常言道：學(xué)之道在于“悟”，教之道在于“度”.教學(xué)是講方法而不是簡單傳授知識，要讓學(xué)生學(xué)到方法從而領(lǐng)悟到知識的內(nèi)在本質(zhì). 如何教學(xué)呢？問題的合理設(shè)置就是一個(gè)好的應(yīng)對措施. 問題的合理設(shè)置可以從角度、梯度、深度、廣度和難度等五個(gè)“度”進(jìn)行，具體如下：

（1）緊扣教學(xué)目標(biāo)，符合學(xué)生實(shí)際，問題具有針對性;

（2）設(shè)問循序漸進(jìn)，思維逐次深入，問題具有層次性;

（3）引發(fā)認(rèn)知沖突，激活學(xué)生思維，問題具有挑戰(zhàn)性;

（4）解答思路多樣，思維活動開放，問題具有開放性;

（5）面向大眾學(xué)生，符合認(rèn)知水平，問題具有適切性.

2. 透徹領(lǐng)悟與開發(fā)教材

教材濃縮了數(shù)學(xué)家的思維成果，凝聚了編寫者的集體智慧，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源，也是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的主要依據(jù). 因此，透徹領(lǐng)悟教材首先應(yīng)該尊重教材. 透徹領(lǐng)悟教材的關(guān)鍵在于領(lǐng)悟教材的學(xué)科知識背景與基本要求，而領(lǐng)悟?qū)W科知識背景在于關(guān)注知識的學(xué)術(shù)形態(tài)與開發(fā)知識的教育形態(tài). 教材是靜態(tài)的，學(xué)生是動態(tài)的，文字是無聲的，思考才是熾熱的. 教材再創(chuàng)造是領(lǐng)悟?qū)W科知識背景的具體體現(xiàn)，也為課程的開發(fā)做好了鋪墊. 奧蘇貝爾指出：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”[5]因此，教材開發(fā)要立足學(xué)情，以學(xué)習(xí)水平中等偏下的學(xué)生作為參照起點(diǎn)，以教材結(jié)構(gòu)和知識聯(lián)系作為邏輯起點(diǎn)，以學(xué)生的認(rèn)知水平和知識基礎(chǔ)作為現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，最終設(shè)置合理的問題起點(diǎn)并對教材進(jìn)行再創(chuàng)造.

3. 具有數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)觀

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出的高中課程的10條理念中的第3、第7、第9條分別指出：倡導(dǎo)積極主動、勇于探究的學(xué)習(xí)方式;強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注重適度形式化;注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的4條高中課程的基本理念中的第3條指出：把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué). 可能許多一線教師受希爾伯特的“形式主義”和布爾巴基學(xué)派的“結(jié)構(gòu)主義”思潮的影響且陷入其中，但丟掉數(shù)學(xué)的背景和本質(zhì)肯定是不可取的. 形式化雖然是數(shù)學(xué)的特征之一，但不能過度. 高中數(shù)學(xué)需要返璞歸真，應(yīng)該努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)[6]. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì). 通過獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

4. 執(zhí)行數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境為切入點(diǎn)，讓探究更加自然.

《辭海》把“情境”解釋為：“一個(gè)人在進(jìn)行某種行動時(shí)所處的社會環(huán)境，是人們社會行為產(chǎn)生的具體條件.”在核心問題的統(tǒng)領(lǐng)下，設(shè)計(jì)一系列的問題串，讓學(xué)生在疑慮中探究，在探究中經(jīng)歷深刻思考，通過一系列問題串的解決，核心問題被自然突破，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)也就水到渠成[7].

（2）體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓教學(xué)更具內(nèi)涵.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)育人的集中體現(xiàn)，是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的能力、品格和價(jià)值觀念. 基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[8]. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展.教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，幫助學(xué)生掌握基本技能、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的持續(xù)提升[9].

（3）教學(xué)設(shè)計(jì)路徑與案例.

教學(xué)設(shè)計(jì)的基本路徑是什么？從現(xiàn)代教學(xué)系統(tǒng)中的教師、學(xué)生、內(nèi)容、方法和媒體等5個(gè)根本要素中來看，可以學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解為基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)知識本質(zhì)以問題情境的創(chuàng)設(shè)、教學(xué)問題的設(shè)計(jì)以及知識邏輯的梳理等方式進(jìn)行教學(xué)形態(tài)的展現(xiàn). 其中對于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，本節(jié)課可通過數(shù)學(xué)史建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)——這并不是唯一的方式，具體應(yīng)參照教材與課程標(biāo)準(zhǔn). 教學(xué)設(shè)計(jì)路徑如圖1所示.

案例 與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)中“倒序相加”相關(guān)的教學(xué)片段.

師：對于1，2，3，…，100的求和問題，“小高斯”用到了“配對求和”的方法，同學(xué)們能否換一種方法也可以快速得到答案呢？（大多數(shù)學(xué)生都面露難色，教師堅(jiān)持讓學(xué)生探尋方法，逼迫學(xué)生思考）

生1：我只想得了一個(gè)一個(gè)地相加.（眾生一笑）

生2：以“小高斯”想到的是S=50×（1+100）=5050，我想到的就是S=50×（100+1）=5050.

師：非常好，為什么你會想到S=50×（100+1）=5050呢？

生2：我想不到其他的了，就想到簡單的加法交換律.

師：同學(xué)們對比一下50×（1+100）=5050與50×（100+1）=5050這兩個(gè)式子，有什么啟示嗎？

生3：我們可以把S=50×（100+1）=5050看作S=100+…+3+2+1.

師：對比S=1+2+3+…+100與S=100+…+3+2+1這兩個(gè)式子，還有什么啟示嗎？

生4：它們的和都是一樣的.

生5：這兩個(gè)式子一個(gè)是順著寫的，一個(gè)是倒著寫的，項(xiàng)數(shù)一樣且對應(yīng)項(xiàng)相加都等于101.

師：既然如此，如果把它們放在一塊，那么就有（教師板書過程）

[? ?S=1? ? ? +2? ? ?+3? ? ?+…+100

+? S=100? ? +99? ? ?+98? ? +…+1] [2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）]

我們就可以得到S==5050.

生（眾）：原來還可以這樣計(jì)算.

……

評注 該案例在核心問題的統(tǒng)領(lǐng)下，設(shè)計(jì)出了一系列的問題串引導(dǎo)學(xué)生思考.讓學(xué)生經(jīng)歷“跳一跳”的思考過程，最終解決一系列的問題串，從而獲得“倒序相加”的思想方法.

結(jié)語

學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)過程是以核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)的. “等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”這一堂課的知識內(nèi)容充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算. 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)列求和概念形成的前提，邏輯推理是學(xué)生從高斯算法的故事中感知命題轉(zhuǎn)化的過程，直觀想象能讓學(xué)生感受倒序相加法的意義所在，而數(shù)學(xué)運(yùn)算則能讓學(xué)生領(lǐng)會等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用. 從學(xué)科本質(zhì)出發(fā)的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)充分把握、凸顯、導(dǎo)出以及強(qiáng)化知識的本質(zhì).

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