賈龍才

【摘要】數(shù)形結(jié)合在課程教學(xué)中的應(yīng)用比較普遍，且應(yīng)用效果較好，可以助力于學(xué)生的知識(shí)理解，促進(jìn)學(xué)生思維拓展的作用.初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，將數(shù)字、圖形兩個(gè)知識(shí)要素進(jìn)行融合，可以準(zhǔn)確、直觀地表達(dá)出數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)系.文章對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行研究和分析，并對(duì)其在具體初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用進(jìn)行研究，提出了提高數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的措施.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；思維能力；數(shù)形互變

引 言

數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)比較廣泛的概念，在該思想的引領(lǐng)下，教師對(duì)初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的應(yīng)用靈活性有所增強(qiáng)，教學(xué)效果也進(jìn)一步增強(qiáng).數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以貫徹落實(shí)課程教學(xué)的各個(gè)階段，所應(yīng)用的方法也存在差異，在應(yīng)用形式上可以與多媒體技術(shù)融合，建立數(shù)學(xué)模型，助力于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，以符合對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的目標(biāo).

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方法

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的方法應(yīng)用上，教師應(yīng)充分考慮到數(shù)字與圖形之間的關(guān)系，判斷二者之間的內(nèi)在聯(lián)系.具體而言，教師將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在教學(xué)中，可以采用以形促數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互變的方法.

（一）以形促數(shù)

針對(duì)初中數(shù)學(xué)課程中比較復(fù)雜的內(nèi)容，如抽象化的數(shù)量關(guān)系，教師可以應(yīng)用圖形的方式將其直觀展現(xiàn)，學(xué)生在解題過(guò)程中根據(jù)圖形之間的聯(lián)系解決復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題.教師再次應(yīng)用以形促數(shù)的方式，對(duì)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行講解，幫助學(xué)生更加直觀地了解數(shù)學(xué)問(wèn)題.

以初中數(shù)學(xué)“一次函數(shù)”的課程教學(xué)為例，列出一次函數(shù)“y=ax+b”，其中a，b兩個(gè)數(shù)值均為常數(shù)，且a不為0.教師如果直接對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解釋，那么學(xué)生很難對(duì)其進(jìn)行理解，教師如果將數(shù)量關(guān)系繪制成為直觀的圖形，那么學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解將會(huì)更加深入.因此，教師可以在黑板上列出不同情況下的圖形，解釋一次函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系（如圖1）.

教師將原本抽象的數(shù)量關(guān)系以圖形的方式展示在黑板上，使學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的數(shù)量關(guān)系有了更加深入且直觀的理解.教師根據(jù)圖形和一次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)置例題“y=2x2+6”，在圖像中存在兩個(gè)點(diǎn)，分別為（2，y1），（-2，y2）.學(xué)生按照教師所應(yīng)用的數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行習(xí)題解析，將數(shù)量關(guān)系帶入函數(shù)中，對(duì)其進(jìn)行比較和分析，判斷y值的變化關(guān)系，最終得出答案.

以形促數(shù)方法的應(yīng)用是依據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解析，將原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系以圖形的方式直觀展示出來(lái)，并根據(jù)設(shè)置的不同條件，繪制成不同的圖形，通過(guò)對(duì)圖形的分析，直觀地了解習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系.

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形是指利用數(shù)量關(guān)系對(duì)圖形內(nèi)容進(jìn)行解析，采用定量計(jì)算的方式對(duì)一些復(fù)雜的圖形進(jìn)行條件展示，將題型中隱藏的條件進(jìn)行論述，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖中相關(guān)內(nèi)容的計(jì)算.該類方法應(yīng)用在幾何圖形解析中應(yīng)用比較常見(jiàn)，可以挖掘題型中無(wú)法直觀展示的隱藏條件，對(duì)具體的關(guān)系進(jìn)行解析.例如，在幾何圖形的解析中，采用以數(shù)解形的方式開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)（如圖2）.

條件：圖形中的四個(gè)長(zhǎng)方形為全等長(zhǎng)方形，由四個(gè)長(zhǎng)方形組成上述圖形，中間空白區(qū)域根據(jù)已知條件列出等式.

教師在此類題型的教學(xué)活動(dòng)中，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，采用以數(shù)解形的方式對(duì)習(xí)題進(jìn)行解析.考慮到四個(gè)長(zhǎng)方形全等，因此中間區(qū)域?yàn)檎叫危溥呴L(zhǎng)可以利用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即用（a-b）表示.根據(jù)正方形面積的計(jì)算公式，中間空白區(qū)域的面積為（a-b）2.根據(jù)已知條件列出恒等式（a+b）2-4ab，即可得出中間空白區(qū)域的面積.因此，（a+b）2-4ab=（a-b）2為最終的恒等式.

（三）數(shù)形互變

教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，將數(shù)量關(guān)系與圖形進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，根據(jù)已知條件計(jì)算最終結(jié)果，得出最終的結(jié)論.該方法應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)量關(guān)系與圖形之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在幾何圖形表達(dá)計(jì)算習(xí)題中的應(yīng)用具有可行性（如圖3）.

在解題過(guò)程中，根據(jù)已知條件，將HM的長(zhǎng)度設(shè)為x，AMHN的面積大小設(shè)為y.根據(jù)已知條件列出等式，并根據(jù)等式衡量圖形各邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系.通過(guò)數(shù)形互變的計(jì)算方式，最終得出結(jié)果，當(dāng)HM的長(zhǎng)度為30，可以計(jì)算長(zhǎng)方形的面積值的最大值為1200.解題過(guò)程中同時(shí)利用數(shù)量關(guān)系和圖形對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所列出的數(shù)量關(guān)系繪制成二次函數(shù)圖像，并在圖像中根據(jù)取值范圍計(jì)算HM的最大值，從而取得面積的最大值.

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用形式

（一）以多媒體技術(shù)為載體的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用

多媒體在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中被廣泛應(yīng)用，教師在深化教學(xué)改革的同時(shí)，積極探索數(shù)形結(jié)合思想與多媒體信息技術(shù)的融合應(yīng)用方式，并不斷對(duì)其進(jìn)行創(chuàng)新應(yīng)用.根據(jù)數(shù)形結(jié)合中的兩大要素，教師可以利用多媒體設(shè)備挖掘資源，使得數(shù)形的轉(zhuǎn)化過(guò)程更加直觀、清晰，教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效果可以滿足要求.多媒體的動(dòng)態(tài)化展示功能也為數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用創(chuàng)造了良好條件.

例如，在“幾何圖形”的課程教學(xué)中，當(dāng)涉及圓的課程時(shí)，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想與多媒體技術(shù)充分融合，利用電腦的繪圖軟件在畫(huà)板上繪制出圓形，當(dāng)涉及相交線或者平行線時(shí)，教師可以動(dòng)態(tài)對(duì)其進(jìn)行繪制，并在此過(guò)程中對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行解析.利用多媒體設(shè)備將知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行分解，使得教學(xué)更加直觀.教師通過(guò)多媒體設(shè)備的動(dòng)態(tài)演示功能應(yīng)用，使學(xué)生更加深入地了解幾何圖形的平行關(guān)系與位置關(guān)系，可以點(diǎn)擊鼠標(biāo)拉長(zhǎng)或者對(duì)位置信息改變，兩條線始終處于平行的狀態(tài)下.教師利用“形”的多元?jiǎng)討B(tài)變化對(duì)數(shù)量關(guān)系、性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行解析，有效地提高了學(xué)生的空間想象力.因此，多媒體與數(shù)形結(jié)合思想相結(jié)合的應(yīng)用可以發(fā)揮良好的作用，既可以進(jìn)一步將知識(shí)點(diǎn)直觀化，又可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解程度，空間幾何思維能力也得到一定程度的提高.

（二）以數(shù)學(xué)模型為載體的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型建立是數(shù)形結(jié)合思想中“形”的部分，由于課程教學(xué)目標(biāo)指出，初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳遞學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且應(yīng)該注重學(xué)生解題能力的提高，吸引學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，主動(dòng)解決難題，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.教師將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到課程教學(xué)，并通過(guò)建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的方式對(duì)數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，符合初中生心理發(fā)展目標(biāo)，可以增加學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度.例如，初中數(shù)學(xué)課程中涉及“數(shù)軸”的教學(xué)中，教師利用數(shù)軸點(diǎn)表達(dá)有理數(shù)的關(guān)系，并明確數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.部分學(xué)生由于基礎(chǔ)比較薄弱，數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系較差，所以在對(duì)應(yīng)關(guān)系的學(xué)習(xí)過(guò)程中存在一定的難度，難以保障教學(xué)質(zhì)量.因此，教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想建立數(shù)學(xué)模型，繪制若干個(gè)具有包含和被包含關(guān)系的圓圈，圓圈中包括有理數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)、非整數(shù)、正數(shù)等.當(dāng)數(shù)學(xué)模型建立完成后，學(xué)生們對(duì)數(shù)字之間的邏輯關(guān)系理解會(huì)更深入.在數(shù)學(xué)模型繪制過(guò)程中，教師采用引導(dǎo)的方式引發(fā)學(xué)生思考，與學(xué)生進(jìn)行有效互動(dòng)，或通過(guò)講故事的方式建立數(shù)學(xué)模型，學(xué)生的趣味性、參與度也在一定程度上有所提高.因此，教師應(yīng)嘗試應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的方式對(duì)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)內(nèi)容的滲透與解析.

三、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用理念

（一）課程導(dǎo)入設(shè)計(jì)

數(shù)形結(jié)合思想在初中課程教學(xué)中的應(yīng)用體系已經(jīng)趨于完善，在不同的教學(xué)階段應(yīng)用方式也很好.教師在課程導(dǎo)入階段應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以為后續(xù)的課程教學(xué)奠定良好的基礎(chǔ)，提高學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)能力的應(yīng)用.在課程導(dǎo)入階段，教師利用數(shù)形結(jié)合思想可以吸引學(xué)生的注意力，勾起學(xué)生的好奇心，整節(jié)課的教學(xué)氛圍將會(huì)變得十分良好.例如，在“三角形的內(nèi)角和與外角和”的課程導(dǎo)入階段，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)三角形的相關(guān)定理進(jìn)行導(dǎo)入，包括直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形的角度關(guān)系.教師應(yīng)用多媒體設(shè)備將三種三角形繪制在畫(huà)板上，要求學(xué)生根據(jù)繪制的圖形，講述自己的認(rèn)知，使得學(xué)生了解不同類型三角形的內(nèi)角關(guān)系大小不同，即直角三角形兩個(gè)銳角互余、外角互補(bǔ)等.在課程導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)用引導(dǎo)式、問(wèn)題式或者趣味性比較濃厚的教學(xué)導(dǎo)入方式，通過(guò)列出圖形的方式明確各角度的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)情緒、課堂投入程度將會(huì)有所增加.因此，教師應(yīng)善于將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到課程的導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，挖掘數(shù)形結(jié)合思想在課程導(dǎo)入階段的應(yīng)用理念，營(yíng)造良好的教學(xué)氛圍.

（二）教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)用

在問(wèn)題導(dǎo)入階段結(jié)束后，教師需要步入正題，對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行探究，使得學(xué)生在探究的過(guò)程中了解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，實(shí)現(xiàn)情感目標(biāo)、能力目標(biāo)同時(shí)滲透.數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)環(huán)節(jié)的應(yīng)用可以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.例如，在“幾何圖形”的課程教學(xué)中，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行探究.在講解“幾何圖形”的面積時(shí)，教師可以要求學(xué)生利用相關(guān)的工具在筆記本上繪制圖形，理解幾何圖形的邊長(zhǎng)關(guān)系，并對(duì)面積進(jìn)行計(jì)算.針對(duì)一些不規(guī)則的幾何圖形，學(xué)生們?cè)诶L制過(guò)程中通過(guò)增加邊線、分割等方式，將其分為若干個(gè)規(guī)則的圖形，再對(duì)其面積進(jìn)行計(jì)算.教師在課堂教學(xué)中發(fā)揮著對(duì)學(xué)生探究引導(dǎo)的作用，引導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決相應(yīng)的問(wèn)題，更好地幫助學(xué)生厘清圖形與數(shù)量之間的邏輯關(guān)系，采用線條分割、增加線條等方法對(duì)圖形進(jìn)行重構(gòu)，解決相應(yīng)的難題.因此，在課堂教學(xué)中，教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于解題的重要意義，引導(dǎo)學(xué)生掌握用數(shù)形結(jié)合思想解題的方法.

（三）教學(xué)理念深化

數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用可以起到升華主題、拓展知識(shí)、升華教學(xué)理念的作用.考慮到初中數(shù)學(xué)有很多知識(shí)對(duì)于學(xué)生而言存在一定的學(xué)習(xí)難度，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)效果較差.因此，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，滲透新型的教學(xué)理念，對(duì)課程的核心內(nèi)容進(jìn)行深化，使得學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加全面，基礎(chǔ)能力更加夯實(shí).例如，在“二元一次方程”的課程教學(xué)中，教師可以采用以數(shù)解形、以形促數(shù)等方式，將原本的圖形與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行靈活地轉(zhuǎn)化，不僅可以提高學(xué)生的圖形空間思維能力，而且對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力也有一定程度的提高.在具體教學(xué)中，考慮到學(xué)生個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)的差異性，教師可以應(yīng)用分層教學(xué)理念、分級(jí)教學(xué)理念、個(gè)性化教學(xué)理念，并利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透，將新型的教學(xué)理念與課程內(nèi)容教學(xué)有效融合.針對(duì)學(xué)生空間思維能力比較弱的學(xué)生，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想重點(diǎn)提高學(xué)生的圖形思維能力，針對(duì)解題能力較弱，數(shù)量邏輯關(guān)系較弱的學(xué)生，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想重點(diǎn)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯，實(shí)現(xiàn)教學(xué)理念的進(jìn)一步升華，在開(kāi)展教學(xué)的同時(shí)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行深入拓展.

（四）教學(xué)目標(biāo)制訂

初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)重點(diǎn)目標(biāo)在于能力目標(biāo)、情感目標(biāo)的設(shè)定，而知識(shí)目標(biāo)的滲透是在以上兩個(gè)目標(biāo)建立的基礎(chǔ)上開(kāi)展的，這更加突出了學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中的主體地位.以學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力為目標(biāo)的數(shù)形結(jié)合思想滲透和以學(xué)生學(xué)習(xí)趣味為目標(biāo)的數(shù)形思想滲透所采用的教學(xué)方法不同，教師應(yīng)不斷探索不同的教學(xué)目標(biāo)與數(shù)形結(jié)合思想融合的可行性.例如，在“相交線與平行線”的課程教學(xué)中，教師可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想滲透以培養(yǎng)邏輯思維能力為目標(biāo)的課程教學(xué)活動(dòng).相交線與平行線之間的關(guān)系，相交線與平行線之間的不同，教師均可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行滲透.通過(guò)繪制圖形的方式對(duì)二者進(jìn)行對(duì)比.在“幾何圖形”的課程教學(xué)中，教師可以滲透以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、數(shù)學(xué)感知能力為目標(biāo)的教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)數(shù)形互變的方式明確幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)的感知更加直觀和具體.初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，應(yīng)將教學(xué)目標(biāo)與之結(jié)合，按照人才培養(yǎng)方案、教學(xué)綱要等文件要求，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行應(yīng)用，以更好地挖掘數(shù)形結(jié)合在人才培養(yǎng)中的應(yīng)用潛力與應(yīng)用價(jià)值.

（五）知識(shí)應(yīng)用滲透

教師在傳遞知識(shí)的同時(shí)應(yīng)重點(diǎn)提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，可以將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到生活解題中，解決生活中的難題.基于此，教師可以挖掘多媒體技術(shù)在數(shù)形結(jié)合思想中的應(yīng)用價(jià)值，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力.例如，在“三角形的內(nèi)角和與外角和”的課程教學(xué)中，教師可以挖掘生活資源，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行知識(shí)教學(xué).教師可為學(xué)生設(shè)置生活化問(wèn)題，如果一塊三角形玻璃被打碎，而他的底邊呈現(xiàn)出平直的狀態(tài)，側(cè)邊形成兩個(gè)向內(nèi)延伸的邊，但并未交叉，如何將其恢復(fù)成為完整的三角形玻璃.學(xué)生們開(kāi)始嘗試應(yīng)用拼接法、組合法、鑲嵌法等解決教師提出的問(wèn)題，在此過(guò)程中學(xué)生對(duì)三角形知識(shí)的應(yīng)用能力也有所提高.因此，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的提高，滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)應(yīng)用到生活解題中.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想的在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用具有靈活性，在方法、方式、理念滲透上的應(yīng)用均具有可行性，且可以有效提高課程教學(xué)質(zhì)量，滿足課程教學(xué)目標(biāo).初中數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，要進(jìn)一步探索數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的可行性、適用性，創(chuàng)新應(yīng)用手段，豐富應(yīng)用方式，使其可以發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生能力的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王先貴.數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究：以小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)為例[J].當(dāng)代家庭教育，2022（06）：4-7.

[2]陳濤.在轉(zhuǎn)換中化難為簡(jiǎn)：淺析數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用途徑[J].考試周刊，2022（02）：56-59.

[3]陳艷瓊.數(shù)形結(jié)合方法對(duì)初中生思維能力培養(yǎng)的重要性及實(shí)施策略研究[J].考試周刊，2022（01）：9-12.

[4]陳永暢，賴允玨.從教材的視角審視數(shù)形結(jié)合的內(nèi)隱價(jià)值：以數(shù)線圖、點(diǎn)子圖和矩形圖在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用為例[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（12）：26-28.

[5]沈愛(ài)平.經(jīng)由數(shù)學(xué)思想，走向核心素養(yǎng)：以數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（32）：43，82.